CAPITOLO 3:
Il modello di getto ideale
Il modello di Schlichting
Il modello teorico presentato da Schlichting /1/ descrive un getto che si forma da una piccola apertura circolare e si miscela con il fluido circostante. Le equazioni del moto sono risolte sia per getti laminari sia per getti turbolenti. In effetti le equazioni per getti turbolenti sono molto simili a quelle per i getti laminari.
Trattandosi di un getto libero la pressione al suo interno è assunta costante. Il fluido è incomprimibile con densità pari a , la composizione del fluido in uscita è uguale a quella del fluido circostante, il fenomeno è assunto completamente isotermo, la sorgente è puntiforme. Non sono considerate condizioni soniche nella sorgente, quindi il getto di fatto è subcritico.
Il sistema di coordinate prevede come asse z, l’asse verticale del getto mentre con y la distanza radiale nello spazio rispetto all’asse del getto.
Il modello si basa sull’assunzione della conservazione della:
• quantità di moto
• della massa del fluido emesso.
Definiti:
u velocità di fuoriuscita (m/s) ( 7
K = J/ momento cinematico (m*m³/s²) ( 8
J = u² A quantità di moto (Kg*m/s²) ( 9
W = u A portata in massa del fluido emesso (Kg/s) ( 10 L’andamento delle velocità in un getto turbolento è formalmente identico a quello ottenuto tramite un modello ideale di getto in condizioni laminari a meno di un parametro “ε0” (viscosità cinematica virtuale) che contiene un parametro empirico proprio della natura turbolenta del getto in esame.
χ
ε0 =b*u* ( 11
dove rappresenta la costante empirica del flusso turbolento b l’ampiezza del getto
Il valore di ε0 rimane costante durante lo sviluppo del getto.
Il getto uscendo dalla bocca del pozzo tende a trascinare il fluido circostante, perde di velocità ed aumenta in ampiezza. Alla diminuzione della velocità corrisponde un aumento in massa e risulta essere costante il momento cinematico K lungo l’asse z.
E’ possibile calcolare ε0 con la seguente formula empirica:
K 0161 .
0 =0
ε ( 12
Equazione del bilancio della quantità di moto
I getti e le scie, che sono tipici campi di moto a turbolenza libera, sono caratterizzati da una regione di spazio che si estende prevalentemente in una direzione (il proprio asse z) e molto meno in direzione trasversale dove però vi sono forti gradienti di velocità. Come indicato da Schlichting, tali campi di moto sono considerati analoghi allo strato limite dimodochè l'unica equazione di bilancio di quantità di moto mediata da considerare in tale approssimazione è soltanto quella lungo z. Tale equazione viene semplificata considerando la stazionarietà del moto medio, la simmetria rispetto all’asse e tenendo presente dai dati sperimentali che la pressione nel getto è praticamente costante e uguale alla pressione che è presente nell'ambiente esterno (Abramovich /2/). Si osserva inoltre che gli sforzi tangenziali laminari τl sono trascurabili rispetto a quelle turbolente τt.
Nel presente contesto l'equazione di bilancio di quantità di moto media secondo z si riduce a:
r r r r V U z
U U t
∂
= ∂
∂ + ∂
∂
∂ τ
ρ
1 ( 13
mentre l'equazione di continuità risulta:
=0 + r
rV z rU
∂
∂
∂
∂ ( 14
Moltiplicando la 1.3.1 per rρ e integrando rispetto ad r tra 0 e ∞ si ha:
( )a ( )b ( )c
0 0
0
∞
∞
∞ + = dr
r dr r r rV U zdr
rU U t
∂ τ
∂
∂ ρ ∂
∂ ρ ∂
( 15 Si analizzi l'integrale (a), tenendo presente che:
z U z
U U
∂
∂
∂
∂ 2
2
= 1 ( 16
si ha scambiando i segni di integrale e derivata,
dr U dz r
dr d z r U zdr
rU U 2
0 2
0
0 2
1 2
1 ∞
∞
∞ = = ρ
∂ ρ ∂
∂
ρ ∂ ( 17
L'integrale (c) è nullo,
0
0 0
0 0
=
⋅
−
=
= ∞ ∞
∞
t t
t dr r t r
r
r τ τ τ
∂ τ
∂ ( 18
Si consideri infine l'integrale (b):
∞ 0
r dr rV U
∂
ρ ∂ ( 19
Per trattare questo termine occorre sfruttare l'equazione di continuità; si inizi considerando la seguente derivata:
( ) ( ) ( )
r U rV r rV U r
rV U
∂ ρ ∂
∂ ρ ∂
∂
ρ∂ = + ( 20
da cui segue immediatamente:
( )rV ∂U ρ∂U( )rV ρU ∂( )rV
ρ = − ( 21
e sfruttando l'equazione di continuità, si ha:
( ) ( )
z rU r
rV
∂
∂
∂
∂ =−
( 22 che sostituita nella precedente fornisce:
( ) = ( )− − ( )
z U rU r
rV U r
rV U
∂ ρ ∂
∂ ρ∂
∂
ρ ∂ ( 23
A questo punto si può passare all'integrazione, come indicato nella (21
( ) ( )dr
z U rU r dr
rV dr U
r rV U
∂ ρ ∂
∂ ρ∂
∂
ρ ∂ ∞ ∞
∞ = +
0 0
0
( 24
da cui risulta, considerando che r non dipende da z nel secondo integrale a membro destro,
z dr rU U rUV
r dr rV U
∂ ρ ∂
∂ ρ
ρ ∂ ∞ ∞
∞ = +
0 0 0
( 25
Notando che ρrUV 0∞ =0 poiché V( )∞ =V( )0 =0 e che il secondo integrale coincide con l'integrale (a) dell'equazione originale, si ha:
dr U dz r
dr d r
rV U 2
0
0 2
∞ 1
∞ = ρ
∂
ρ ∂ ( 26
In definitiva l'equazione originale 3.3.1, risulta scritta in forma equivalente come:
2 0
2 1 2
0
∞ =
dr U dz r
d ρ ( 27
In questo caso, moltiplicando l'integrando per una costante non cambia il risultato, per cui moltiplicando per 2π si ha:
0
2 2
0
∞ =
dr U dz r
d πρ ( 28
da cui si dimostra che il flusso di quantità di moto totale è costante lungo l'asse
Equazioni del campo di velocità
Posto z come asse verticale e y come asse radiale perpendicolare a z, le equazioni che regolano il campo di velocità di un getto ideale e laminare risultano essere le seguenti:
2 2
4 1 1
1 8
) 3 , (
+
= ν η π z z K
y u
t
( 29
con z
y K νt
η π 16
= 3 . ( 30
Sostituendo al posto di νt (viscosità reale) il parametro ε0 (viscosità cinematica apparente) si ottengono le equazioni del campo di velocità per un getto turbolento:
2 0 2
4 1 1
1 8
) 3 , (
+
= ε η π z z K
y
u ( 31
z y K 16 0
3 ε
η= π ( 32
Figura 3: Rappresentazione di un getto ideale
Angolo di apertura
Test sperimentali effettuati da TEA SISTEMI e l’analisi computazionale, confermando la teoria dei getti monofase, indicano che l’angolo di apertura del getto è costante ed indipendente dalle caratteristiche dinamiche del fluido alla sorgente e pari a:
°
α = 6 ( 33
In questo modo è possibile determinare l’apertura del getto ad ogni altezza, usando la formula:
α
∗tan
= z
b ( 34
Differenze fra le ipotesi di Schlichting e le condizioni reali
Le ipotesi alla base del modello teorico non rispecchiano quella che è la realtà di un tipico scenario di un evento Blowout reale. Le principali differenze sono descritte nella seguente tabella:
Ipotesi di Schlichting Condizioni reali
Sorgente puntiforme Getto monofase gas
Densità fluido emesso uguale a fluido trascinato
Fenomeno completamente isotermo
Sorgente areale
Getto multicomponente e multifase
Densità fluido emesso (miscela di HC) diversa da fluido entrante (aria)
Presenza di scambi di calore getto-atmosfera
Il modello semplificato, sviluppato nell’ambito di questa tesi, prevede alcune correzioni empiriche che adattano le ipotesi dei modelli di getto ideali a casi reali.
Getti circolari non confinati: Modelli di letteratura /3/
Yuu et al. /4/ utilizzano polinomi per approssimare i dati sperimentali.
Il getto viene diviso in tre regioni principali: una in cui la velocità assiale non cambia denominata nucleo potenziale e altre due zone, Mixing layer e Regione Completamente Sviluppata,in cui la velocità assiale viene descritta mediante l’uso di equazioni diverse.
Indicando con U0 la velocità di sbocco del jet, D il diametro dell'ugello e ponendo U U U= 0, z z D= , r r D= e η = r z si hanno le seguenti espressioni per le varie regioni del getto:
1. Nucleo potenziale z≤ 7
=1 U
2. Mixing layer z≤ 7
3 2
6 . 13
1 5 . 340 0 6
. 13
1 5 . 6 0 . 92
1− − + + − +
= z
r z
U r ( 35
3. Per la regione principale (completamente sviluppata) z > 7, Beér et al. /5/
riportano la seguente:
( 2)
5exp . 1 16 . 0
1 Kuη
U z −
= − ( 36
Figura 4: Regioni principali del getto
Rajaratnam /6/ riporta la seguente espressione alternativa per l'andamento della diminuzione di Uc con la distanza assiale z :
z U
Uc 6.13
0
= ( 37
Nel caso che vi sia un jet a concentrazione C0 allo sbocco, poiché i meccanismi di trasferimento di quantità di moto e massa sono gli stessi, esiste la seguente relazione per la distribuzione assiale e radiale di concentrazione:
( 2)
0
5exp . 1 22 . 0
1 Kcη
z C
C C −
= −
= ( 38
in cui Kc è una costante sperimentale che assume i valori 54≤Kc ≤57
