UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PISA - FACOLTA' DI INGEGNERIA INGEGNERIA AEROSPAZIALE
INGEGNERIA NUCLEARE E DELLA SICUREZZA E PROTEZIONE CORSO DI FISICA GENERALE II
Prova n. 1 - 24/10/2009
6) La distribuzione di carica presenta simmetria sferica e pertanto il campo elettrico ha la forma:
E = Er[r] e`
r
La carica q[r] complessivamente presente in una sfera con centro nell'origine e raggio r < r0, dove r0 è il raggio dato della distribuzione di carica, vale:
q[r] =
Ÿ
0r
r
c@sD 4 p s2„s
=Ÿ
0 rbs
4
ps
2„ s
= 2p b r2 [6.1]Applicando il teorema di Gauss alla stessa sfera si ottiene:
F(E) = Er[r] 4 p r2 = q@rD
e0 [6.2]
Da 6.1 e 6.2 si ricava il campo elettrico:
Er[r] = b2e0 [6.3]
7) La soluzione è del tutto analoga a quella del punto precedente, ma questa volta r > r0. Perciò, nel calcolo di q[r], è sufficiente integrare fino all'estremo r = r0, essendo nulla la densità di carica oltre questo limite.
Si ottiene:
q[r] =
Ÿ
0rr
c@sD 4 p s2„s
=Ÿ
0r0r
c@sD 4 p s2„s
=Ÿ
0rbs4
ps
2„ s
= 2p b r02 [7.1]F(E) = Er[r] 4 p r2 = q@rD
e0 [7.2]
Er[r] = b r02
2e0r2 [7.3]
8) Il potenziale V[r] si ottiene dalla definizione:
V[r] =
Ÿ
PrgP¶ E◊ ‚ sdove l'integrale di linea si estende da un punto Pr, a distanza r < r0 dal centro, fino all'infinito.
Scegliendo come percorso g quello radiale, si ha:
V[r] =
Ÿ
r¶E@sD „s =
Ÿ
r r0E@sD „s +
Ÿ
r0¶E@sD „s =
Ÿ
r r0 b2e0 „s +
Ÿ
r0¶ b r02 2e0s2 „ s
\ V[r] = bH2 r0-rL 2e0
9) Il valor medio di Sin@xD2, su un periodo o un semiperiodo di Sin[x], è 1/2.
In effetti si ha:
Sin@xD2 = 12 - 12Cos[2 x] [9.1]
dalla quale segue p1
Ÿ
0pJ 12 - 1
2 Cos@2 xDN „x = 1 2
Questo risultato appare chiaro anche dal grafico della 9.1:
1 2 3 4 5 6
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Il semiperiodo della funzione di t del testo, A Sin[w t + f], è p/w; da quanto sopra risulta quindi che il valor medio della funzione su un numero intero di semiperiodi vale A/2 e l'integrale richiesto, estenden- dosi su un intervallo di 5 semiperiodi, vale:
5 pw A 2
2 ac09-10_1s.nb
10) Il campo elettrico dato è simmetrico per riflessione rispetto al piano x = 0 e simmetrico per traslazioni lungo gli assi y e z. Di conseguenza la distribuzione di carica che genera il campo gode delle stesse simme- trie:
r = r[x] [10.1]
r[-x] = r[x] [10.2]
Applicando il teorema di Gauss a un cilindro con asse parallelo all'asse x e basi di area A poste su piani simmetrici rispetto all'origine (ascisse rispettive x e -x, con 0 < x <
x
0), si ha:F(E) = Ex[x] A - Ex[-x] A = 2 h x2A = 1e0
Ÿ
-xxr@sD A „s = 2 A 1e0
Ÿ
0xr@sD A „s
\ h x2 = 1e0
Ÿ
0xr@sD „s [10.3]
Derivando rispetto a x entrambi i membri della 10.3, si ottiene:
r[x] = 2 h e0 x
ac09-10_1s.nb 3
