per la Valutazione

David Vetturi

Università degli Studi di Brescia

DIMI – Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Industriale

Utilizzo del Metodo Monte Carlo per la Valutazione

dell’Incertezza di Misura

• Valutazione dell’incertezza secondo la GUM

• Metodo Monte Carlo

• Valutazione dell’Incertezza mediante il metodo Monte Carlo

• Esempio 1 – Rettilineità guida

• Esempio 2 - Planck LFI Alignment

Sommario

Secondo la norma UNI 4546 la Misura

un’informazione costituita da tre componenti:

• numero / valore di riferimento

• incertezza

• unità di misura

assegnati a rappresentare un parametro in un determinato stato del sistema

lunghezza della sala : 23.0 ± 0.1 m

La Misura

La GUM - Guide to the expression of Uncertainty in Measurement – è, dal 1995, lo strumento che indica come operare per valutare l’incertezza di misura (UNI-CEI-ENV 13005)

Il contributo più importante che questa norma ha dato è stato quello di guidare l’operatore nella valutazione dell’incertezza di misura con una modalità definita.

Misura

La norma dal 1995 introduce il termine INCERTEZZA e il termine STIMA che sostituiscono i termini di ERRORE e VALORE VERO ancora comunemente utilizzati in

diversi ambiti.

Misura

Valore di riferimento

Incertezza

• Quando si parla di incertezza ci si riferisce alla sola componente casuale (modello di distribuzione

probabilistica)

• Se esiste una componente di deviazione sistematica delle misure questa va corretta prima

• Se un effetto sistematico non è conoscibile, non

sarà neppure possibile correggerlo e rientrerà nella stima dell’incertezza della misura

Misura

• INCERTEZZA: parametro, associato al risultato di

una misurazione, che caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando.

• INCERTEZA STANDARD: incertezza espressa come deviazione standard

• INCERTEZZA ESTESA: incertezza espressa come

ampiezza di un intervallo in cui si aspetta ricada una certa frazione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando

Incertezza

Il concetto di INCERTEZZA si basa su

una visione probabilistica della realtà, o meglio descrive il risultato di una

misurazione attraverso una funzione densità di probabilità.

f_x(X)

Incertezza

Quando la misura da effettuare è indirette è

necessario comprendere come l’incertezza delle misure dirette si propaga sulla misura indiretta

y=f(x₁,x₂,x₃, …, x_n)

Incertezza composta / combinata

y x₁

x₂

x_n f

Esempio:

𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à = 𝑆𝑝𝑎𝑧𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑠𝑜 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑜 𝑑𝑖 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜

In questo caso la GUM propone di propagare

l’incertezza delle misure dirette sulla misura indiretta attraverso la Legge di Propagazione dell’Incertezza Ipotesi:

• Buona linearità del legame fra misure dirette e indirette

• Variabili concentrate attorno alla media (bassa varianza=bassa incertezza)

GUM

La GUM propone quindi di valutare l’incertezza composta di y -> u(y) attraverso la relazione:

𝑢_𝑐 𝑦 =

𝑖

𝑐_𝑖. 𝑢 𝑥_𝑖 ²

Incertezza composta

I limiti sono:

• conoscere il legame funzionale/analitico fra y e x

• legame lineare

• Valutare i coefficienti di propagazione c_i

Il metodo Monte Carlo è una tecnica matematica che consente di valutare e studiare determinati problemi attraverso l’uso della simulazione.

Prende origine nella seconda metà del ‘900 anche grazie alla diffusione degli strumenti di calcolo

automatico (computer)

Si basa sull’analisi statistica dei risultati delle

simulazioni che singolarmente rappresentano uno scenario possibile

Cosa è il metodo Monte Carlo

Se volessi conoscere quale è la probabilità, lanciando 5 dadi, di ottenere come somma dei valori almeno 20, dovrei risolvere un problema di calcolo combinatorio / calcolo delle probabilità.

Dal punto di vista teorico il problema è estremamente banale, tuttavia dal punto di vista operativo è

decisamente oneroso!

Metodo Monte Carlo: esempio

Nel gioco del Risiko l’attaccante lancia tre dadi e

ottiene 6 - 5 - 2. Che probabilità sconfiggere le truppe avversarie? E quante ne sconfigge?

Metodo Monte Carlo: esempio 2

2 4 5 2 5 4 2 2 3 233 23%

3 2 3 5 5 3 2 2

4 6 3 1 6 3 1 2 simulazioni 1000

5 2 5 6 6 5 2 0

6 2 5 5 5 5 2 1

7 2 5 1 5 2 1 3

8 1 2 3 3 2 1 3

9 4 6 2 6 4 2 1

10 6 1 1 6 1 1 2

11 6 5 2 6 5 2 0

12 1 4 2 4 2 1 3

13 1 1 6 6 1 1 2

14 6 4 6 6 6 4 0

15 1 1 6 6 1 1 2

16 3 6 5 6 5 3 0

17 3 6 3 6 3 3 1

18 4 1 2 4 2 1 3

19 4 4 5 5 4 4 2

20 5 3 3 5 3 3 2

21 2 1 6 6 2 1 2

22 3 6 1 6 3 1 2

23 2 6 1 6 2 1 2

24 5 6 4 6 5 4 0

25 4 1 4 4 4 1 3

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

0 1 2 3

Numero vittorie

Non è facilmente definibile una relazione analitica fra ingresso (lancio dei dadi) e uscita

• Consente di valutare l’incertezza anche nel caso di relazioni ingresso-uscita fortemente non lineari

• Non richiede la definizione analitica della reazione fra la misura indiretta e quella diretta

• Non richiede ipotesi sulla tipologia di distribuzione statistica delle misure in ingresso

• Permette di valutare anche uscite multidimensionali (analisi multivariata)

• … non richiede di conoscere troppa matematica

Perché il metodo Monte Carlo

Modello della Misura

y = f(x₁,…, x_n) Y

Nel caso del metodo Monte Carlo la valutazione avviene attraverso la simulazione di N diversi casi possibili selezionati casualmente

Il cuore della GUM è la definizione del modello della misura

1. Viene ipotizzata una fdp per ogni ingresso x_i

2. Si implementa un sistema di calcolo che permette di valutare y in funzione di tutte le x_i (non

necessariamente una relazione analitica)

3. Si genera casualmente una n-pla di valori x₁, x₂, .., x_n 4. Si computa y corrispondente

5. Si eseguono i passi 3-4 per N volte (N molto grande!!!) 6. Si ottiene un campione che rappresenta la fdp di Y

Come funziona con la GUM

Si eseguono N simulazioni e si

ottengono N valori equiprobabili di Y Questo campione permette di

stimare la fdp di Y

Simulazioni

y = f(x₁,…, x_n) x₁₁

x₂₁ x₃₁

x₁₂ x₂₂ x₃₂

…

…

…

x_1N x_2N x_3N

y₁ y₂

… y_N

Y

media

Analisi dei risultati

mediana

Up 95%

Lw 95%

s = dev.st Y

Benini, Gelmi, Magalini, David Vetturi “Impiego di strumentazione laser nel collaudo geometrico di macchine utensili in ambienti debolmente controllati”, VI Congresso Nazionale MMT – 2005

NORME ISO serie 230

• 230-1: Precisione Geometrica

Esempio 1 –Rettilineità guida

Rettilineità

Tr (Scostamento dalla rettilineità)

A

B

Profilo rilevato

Esempio 1 –Rettilineità guida

Livella elettronica

Il misurando Y (rettilineità) è funzione delle singole misure di inclinazione registrate dalla livella

elettronica e risulta essere una funzione fortemente non lineare (presenza dell’operatore MAX)

Esempio 1 –Rettilineità guida

Problema:

Valutare l’incertezza associata alla misura della rettilineità (misura indiretta) conoscendo l’incertezza dello strumento (livella elettronica)

Soluzione:

Implementazione del metodo Monte Carlo per valutare la propagazione dell’incertezza

Esempio 1 – Rettilineità guida

• Si divide la guida in una serie tratti a lunghezza fissa (100 mm)

• Per ogni tratto si misura l’inclinazione con una livella elettronica

• Si ricostruisce il profilo della guida come una spezzata di tratti rettilinei

• Si definisce la rettilineità come distanza fra le due linee parallele di massima distanza fra le creste

rettilineità della guida

x_i g(x_i)

) ,...,

,

(X₁ X₂ X_N f

Y 

) ,...,

,

( _{1 2 N}

r f

T     Livella

P₁ P₂ P₃ P_i P_N

1

• distribuzione normale

• s dovuta allo strumento

_1j

_1j

_2j

_2j

_ij

_ij

_Nj

_Nj

2

j

3

T_Rj

4

Ogni quantità X_i viene trattata come una variabile casuale a cui viene assegnata una certa pdf g(x_i)

Per ognuna delle X_i si possono generare M valori x_ij compatibili con la distribuzione assegnata

Per il j-esimo profilo è possibile calcolare il j-esimo valore dello scostamento dalla rettilineità T_Rj

Vengono generati M possibili profili ed M possibili valori T_Rj

xi g(xi)

xi g(xi)

xi g(xi)

X_1j X_2j

X_ij T_Rj • Stima dell’incertezza tipo ed

estesa di T_R

Il lavoro presentato aveva lo scopo di confrontare il risultato atteso (in termine di incertezza) utilizzando metodi di misura tradizionali (livella elettronica) con metodi ottici (interferometria)

Confronto con metodi ottici

Risultati

Cambiaghi, Magalini, Vetturi, “Numerical method to estimate tolerances combined effects on a mechanical system”, Design 2004 - 8th International Design Conference, Dubrovnik 2004

Missione Planck – ESA

The Planck mission was devised to collect and characterise radiation from the Cosmic Microwave Background (CMB) using sensitive radio receivers operating at extremely low temperatures. These receivers determined the black body equivalent temperature of the background radiation and were capable of distinguishing temperature variations of about one microkelvin. These measurements have been used to

Cambiaghi, Magalini, Vetturi, “Numerical method to estimate tolerances combined effects on a mechanical system”, Design 2004 - 8th International Design Conference, Dubrovnik 2004

Esempio 2 - Planck LFI Alignment

Valutare gli effetti delle tolleranze geometriche (di progetto)

sull’allineamento finale dei Feed Horn (sensori)

Progetto Planck -ESA

1

2

3 4

Effetto delle Tolleranze

L’accoppiamento fra gli elementi avviene mediante:

• un piano di riferimento (3 gdl)

• foro/spina e asola/spina – cerniera carrello (3 gdl)

x y

z

P P _z

y

xx

Mediante la simulazione con il metodo Monte Carlo si analizza quale sia l’impatto delle tolleranze geometriche di progetto sull’allineamento finale del sensore

x y

z

P P _z

y

xx

• Ogni elemento geometrico viene variato nella sua

posizione geometrica di una quantità compatibile con i valori della tolleranza assegnata

• Viene definita la terna di accoppiamento fra i pezzi e quindi la variazione di posizione di ciascun elemento in catena

• Viene valutata la posizione finale del sensore

• Questa sequenza viene effettuata N volte in modo da generare una distribuzione di probabilità della posizione finale del sensore (incertezza di posizionamento)

• Possibilità di valutare l’impatto complessivo delle prescrizioni di progetto sulla qualità del risultato ex- ante e senza un modello matematico analitico

(funzione)

• Possibilità di valutare l’impatto singolo di una sola

tolleranza e quindi del budget complessivo di incertezza imputabile alla singola causa

• Possibilità di valutare congiuntamente output multipli (posizione e orientamento di ogni sensore – 6 gdl)