Analisi Stocastica – Foglio di esercizi n. 2

Analisi Stocastica – Foglio di esercizi n. 2

Esercizio 1. Siano X, Y variabili aleatorie reali indipendenti, tali che X ∼ N (0, 1) mentre P(Y = +1) = p, P(Y = −1) = 1 − p, dove p ∈ (0, 1) `e un parametro fissato.

Definiamo Z := XY .

(a) Si mostri che Z ∼ N (0, 1).

(b) (*) Si mostri che il vettore (X, Z) non `e normale.

(c) Si mostri che le variabili X e Z non sono indipendenti.

[Sugg. Pu`o essere utile ricordare l’identit`a 1 = 1_{{Y =1}}+ 1_{{Y =−1}}]

Esercizio 2. Sia {B_t}_t∈[0,∞) un moto browniano.

(a) Si mostri che inf_t∈[0,1]B_t non `e una variabile normale.

(b) Si mostri che R1

0 B_tdt `e una variabile aleatoria normale e se ne calcoli media e varianza.

[Sugg. Ricordarsi le somme di Riemann e il Teorema di Fubini]

Esercizio 3. Sia {B_t}_t∈[0,∞) un moto browniano e definiamo gli eventi A := {B_t}_t∈[0,1] `e crescente ,

C_n := B_i/2ⁿ − B_(i−1)/2ⁿ ≥ 0 , per ogni 1 ≤ i ≤ 2ⁿ , n ∈ N . (a) Si mostri che vale l’inclusione A ⊆ C_n, per ogni n ∈ N.

(b) Si dimostri che P(A) = 0. Quindi, q.c., il moto browniano non `e crescente sull’intervallo [0, 1].

(c) (*) Si dimostri che, q.c., il moto browniano non `e crescente in nessun sotto- intervallo di [0, 1].

Ultima modifica: 9 gennaio 2010.