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Svolgere i seguenti esercizi trascrivendo il risultato negli appositi spazi su questa facciata e lo svol- gimento nelle altre facciate di questo foglio, in modo ordinato e leggibile.

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(1)

Corsi di laurea in Ingegneria Biomedica e Ingegneria Civile Prova scritta di Analisi Matematica 2 del 20.02.2013

COGNOME ... NOME ...

Svolgere i seguenti esercizi trascrivendo il risultato negli appositi spazi su questa facciata e lo svol- gimento nelle altre facciate di questo foglio, in modo ordinato e leggibile.

1) Risolvere il problema di Cauchy

 y

00

+ y = cos x +

cos x1

y(0) = y

0

(0) = 0

(8) Risposta: y(x) =

32

x sin x + cos x log(cos x) per x ∈ (−

π2

,

π2

).

2) Studiare i punti stazionari della funzione

f (x, y) = x

2

y + xy

2

+ x

3

− x

e determinare f ([0, 1] × [−1, 1]) (5+4)

Risposta: I punti (0, ±1) sono di sella. Il punto (

23

,

13

) ` e di minimo locale e il punto (

23

,

13

) ` e di massimo locale. f ([0, 1] × [−1, 1]) = [−

49

, 2]

3) Calcolare il lavoro del campo vettoriale F (x, y, z) = (2x

2

y, xz, −x) lungo la curva γ(t) =

(1 + cos t, sin t, −2 sin

2

t), per t ∈ [0, 2π]. (7)

Risposta: −3π.

4) Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione intorno all’asse x del dominio

D := {(x, y) : 4x

2

+ 9y

2

≤ 36, x ≥ 0, y ≥ 0}.

(6)

Risposta: 8π.

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