E analogamente 4²II 1 ,..,²IIm(Y

1 Esistenza di equilibri ²-constrained; equili- bri perfetti

Consideriamo (X, Y, f, g), con X = {x₁, .., x_m} e Y = {y₁, .., y_n}.

Anzich´e considerare 4(X), 4(Y ) e le relative estensioni di f e g a tali insiemi supponiamo che sia dato ² > 0. E che siano dati 0 < ²^I₁, ...., ²^I_m, ²^II₁ , ...., ²^II_n ≤ ² Consideriamo 4_²^I

1,..,²^I_m(X) = 4_²^I(X), cio`e prendiamo {p ∈ R^m : P_m

i=1p_i = 1, p_i ≥ ²^I_i}. E analogamente 4_²^II

1 ,..,²^II_m(Y ) = 4_²^II(Y ).

Interessiamoci dell’estensione bilineare di f e g ristretti per`o su questi in- siemi.

Allora (4_²^I(X), 4_²^II(Y ), f, g) `e un gioco e soddisfa anche le condizioni del teorema di Nash!!!

Quindi ∀² > 0, ∃ almeno un equilibrio ²-vincolato.

Consideriamo ora ²n& 0.

Siano ( ¯x_n, ¯y_n) equilibri ²_n-vincolati.

La successione ( ¯x_n, ¯y_n) vive in un compatto di R^k. Allora esiste una sotto- successione estratta convergente a un certo (¯x, ¯y) ∈ 4(X) × 4(Y )

Esercizio 1.1 Dimostrare che (¯x, ¯y) `e un equilibrio di Nash.

Suggerimento: sfruttare il fatto che f `e uniformemente continua su 4(X) × 4(Y ).

Ora questi equilibri di Nash sono un po’ speciali: cio`e sono equilibri di Nash perfetti.

Un N.E. si dice perfetto se esiste una successione di equilibri ²_n-vincolati che converge verso di lui.

Esempio 1.1

I\II L R

T 1 1 0 0

B 0 0 0 0

1

(T, L) equilibrio di Nash perfetto. (B, R) equilibrio di Nash non perfetto.

Idea : “trembling hand”. Un tizio vuole premere il bottone (T, oppure B) che ha scelto, ma non pu`o escludere che ci sia una probabilit`a, per quanto piccola, che lui schiacci il pulsante sbagliato!

L’idea di equilibrio perfetto cerca di cogliere questo fatto.

2