2. Calcolare la probabilit´ a che X > Y , sapendo che Y + X < 1.

Esercizi

Probabilit` a 2

Esercizio 1. Sia dato il vettore (X, Y ) con densit´ a uniforme sulla corona circolare R = {1 < x ² + y ² < 4}.

1. Determinare le densit´ a marginale di X e Y .

2. Calcolare la probabilit´ a che X > Y , sapendo che Y + X < 1.

3. Calcolare la matrice delle varianze di (X, Y ).

4. Posto (R, A) = ( √

X ² + Y ² , arctan ^X _Y ), calcolare la densit´ a di R.

5. Calcolare il vettore delle medie di (R.A).

Esercizio 2. Sia data la funzione

f (x, y) =







α(x + 2y), 0 < x < 1, 1 − x < y < 1, β ^x _y

²2

, −1 < x < 0, −1 < y < −1 − x

0, altrimenti

1. Determinare α e β in modo che f sia la ensit´ a di un vettore aleatorio e E(Y ) = 0.

2. Calcolare la probabilit´ a che X > 0.

3. Calcolare la probabilit´ a che XY > 0 oppure X < Y . 4. Determinare le densit´ a marginale di X e Y .

5. Calcolare la varianza di X − 2Y .

Ora porre β = 0 e dopo aver determinato α in moddo che f sia una densit´ a, 6. Calcolare la E(X|Y = 1/2).

7. Calcolare la E(Y ² − 2Y |X)

Esercizio 3. ´ E assegnata la densit´ a f di una variabile aleatoria X,

f (x) =

 ₁

3 xe ^−x , x > 0

2

3 e ^x , x < 0 1. Verificare che f ´ e una densit´ a.

2. Calcolare la probabilit´ a che |X| < 1.

3. Dire se ` e finita la speranza di p|X|e ^−X .

1

4. Determinare la densit´ a di Y = X ³

5. Provare che Y e X non sono indipendenti.

Esercizio 4. Scrivere un vettore gaussiano (X, Y, Z) tale che Cov(X, Y ) = 0 e Cov(X, Z) = 1 e Cov(Y, Z) = −1. In base alla scelta fatta

1. calcolare la varianza di X − 2Y + Z;

2. calcolare la probabilit´ a che X − Y > Z;

3. scrivere l’espressione della densit´ a condizionata di X dato Z = z. ´ E una densit´ a nota?

4. scrivere l’espressione della densit´ a condizionata di (X, Y ) dato Z = z. ´ E una densit´ a nota?

5. calcolare la speranza condizionata di X ² − X dato Y = y.

Esercizio 5. Si sa che X| _{Y =y} ∼ E(y) con Y con densit´ a

f _Y (y) =  2y, 0 < y < 1 0, altrimenti 1. Calcolare la densit´ a di (X, Y ) e di X.

2. Calcolare la E(X + Y ² |Y ).

3. Determinare la E(Y |X = 1).

4. Se si sapesse che y = 1/3, quale valore numerico sarebbe la ”migliore” approssimazione di X.

2