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Find a parametric equation of the line r

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Name:

Matriculation number:

June 14, 2019

2nd Midterm L.A.G. exam

Solve the following exercises, explaining clearly each passage:

1) Consider in the 3-dimensional space the line l with cartesian equation (x + 2y = 0

x − 2z = −2

and the line r passing through the point P = (2, 3, 4) and the point Q = (1, 4, 3).

• Find a parametric equation of the line r.

• Determine the mutual position of the two lines l and r.

• Find the angle between the lines l and r.

• Find the area of the triangle with vertices the origin, P and Q.

2) Consider the matrix

A =

−1 −1 0 0

1 1 0 0

0 0 1 1

0 0 1 1

• Find the eigenvalues of A.

• Determine if A is diagonalizable.

• For each eigenvalue compute an orthonormal basis of its eigenspace.

3) Consider the conic

xy + x + y = 0

• Determine a rotation and a translation that puts it in canonical form

• Identify the type of conic

• Find, if they exist, vertices, axis and centre of symmetry.

(2)

Name:

Matriculation number:

June 14, 2019

2nd Midterm L.A.G. exam

Solve the following exercises, explaining clearly each passage:

1) Consider in the 3-dimensional space the line l with cartesian equation (x + 2y = 0

x − 2z = 2

and the line r passing through the point P = (2, 3, 2) and the point Q = (1, 4, 3).

• Find a parametric equation of the line r.

• Determine the mutual position of the two lines l and r.

• Find the angle between the lines l and r.

• Find the area of the triangle with vertices the origin, P and Q.

2) Consider the matrix

A =

−1 −1 0 0

−1 1 0 0

0 0 1 1

0 0 1 1

• Find the eigenvalues of A.

• Determine if A is diagonalizable.

• For each eigenvalue compute an orthonormal basis of its eigenspace.

3) Consider the conic

xy + x + y + 1 = 0

• Determine a rotation and a translation that puts it in canonical form

• Identify the type of conic

• Find, if they exist, vertices, axis and centre of symmetry.

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