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Motivare adeguatamente tutte le risposte.

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Academic year: 2021

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Geometria. Esame scritto del 26-0602017. Nome e Cognome:

Motivare adeguatamente tutte le risposte.

1. Per a, b ∈ R si considerino il piano M

a

= {(

12

, 0, 0) + t(3, 0, −2) + s(a, −5, a) | t, s ∈ R}

e la retta L

b

= {(1, b, 1) + t(1, 1, 1) | t ∈ R}. Determinare tutte le coppie (a, b) tali che la retta L

b

` e contenuta nel piano M

a

. Per tali coppie (a, b) determinare la retta contenuta in M

a

, perpendicolare a L

b

e passante per (1, b, 1) .

2. In V

4

, munito del prodotto scalare ordinario, si consideri il vettore v = (2, 1, 1, −1).

Tra tutti i vettori (x, y, z, t) di V

4

tali che  x + y − z + t = 0

x + y − z − t = 0 determinare quello che ha distanza minima da v.

3. Sia P

2

lo spazio lineare dei polinomi reali di grado ≤ 2. Si consideri la trasformazione lineare T : P

2

→ P

2

tale che

T (x − 1) = x

2

+ 1, T (x + 1) = x

2

+ 2x + 1, e T ((x + 1)

2

) = x

2

+ x − 1.

Dati a, b, c ∈ R determinare il polinomio T

−1

(ax

2

+ bx + c) in funzione di a, b, c.

4. Sia A =

12 12 12

1

2

12 12

1 2

1

2

12

. Verificare che λ = −1 ` e un autovalore di A. Determinare

gli altri autovalori di A (non si richiede di calcolare il polinomio caratteristico di A).

Determinare (se esiste) una matrice invertibile C tale che C

−1

AC ` e una matrice diagonale

(non si richiede di calcolare C

−1

).

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