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(2) Si detemini il carattere di ciascuna delle seguenti tre serie, avendo cura di motivare adeguatamente le risposte.

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Academic year: 2021

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(1)

Prima prova di esonero dagli esami scritti di Calcolo I per il corso di laurea in Scienze dei Materiali

9 Dicembre 2014

(1) Si determinino tutte le soluzioni esistenti nel campo complesso della seguente equazione:

8z 6 − 63z 3 − 8 = 0

(2) Si detemini il carattere di ciascuna delle seguenti tre serie, avendo cura di motivare adeguatamente le risposte.

(2a)

+∞

X

n=1

e 1 /n − 1 − log 1 + n 1 

Ch n 1  ,

dove si ricorda che il coseno iperbolico `e definito in modo tale che Ch(x) = (e x + e x )/2 .

(2b)

+∞

X

n=1



sin  1 n



− tan

 1 n

  .

(2c)

+∞

X

n=0



(−1) n n 8 + 4n 7 e n

 .

Nel caso in cui la serie riportata in formula (2c) sia convergente a un val- ore reale σ ∈ R , allora si descriva la procedura che consente di calcolare il minimo valore N che verifica la disuguaglianza

(2c )

σ −

N

X

n=0



(−1) n n 8 + 4n 7 e n



< 0.01 ;

inoltre, facoltativamente, si determini esplicitamente tale valore di N , grazie all’aiuto di una macchina calcolatrice.

(3) Si calcolino i seguenti tre limiti, avendo cura di motivare adeguatamente i passaggi, laddove `e necessario.

(3a) lim

x→+∞

log 1 + 1 x  x 4 cos x 1 

− 1 

1 − e −4 /x

3

 .

(3b) lim

x→1

+

e x−1 1 log x .

(3c) lim

x→0

√ 1 + x 2 1 − x 2

! 1 /x

2

.

Riferimenti