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– Prova scritta Analisi I e II del secondo appello – 8 / 7 / 2009
– Compito n. 1
Domanda 1)
1. Dato il numero complesso w, spiegare il procedimento per calcolare le soluzioni complesse dell’equazione zn = w, con n numero naturale.
2. Sia w = 2 i:
disegnare w nel piano complesso e calcolarne modulo, par- te reale, coefficiente dell’immaginario, argomenti;
calcolare e disegnare le soluzioni complesse dell’equazione z3= w.
Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.
Domanda 2)
Rispondere ai seguenti punti sulla funzione definita da f (x) = (arctan(x+52 ) x <−5
x2− 5x x≥ −5
1. Determinare dominio, eventuali punti di discontinuit`a, punti angolosi e cuspidi della funzione definita da
F(x) = Zx
0
f(t)dt.
2. Determinare eventuali asintoti orizzontali e verticali di F . 3. Senza calcolare l’integrale, disegnare il grafico della
funzione F .
4. Calcolare F (x) per ogni x nel dominio di F . Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.
Domanda 3)
Rispondere alle seguenti domande sulla funzione definita da f(x) = x4sin(ln`1 − (25x)6)´ .
1. Determinare, se esiste, la parte principale per x → 0 della funzione f
2. La funzione ha ordine per x → 0? Se si, determinarlo.
3. Stabilire qual `e la prima derivata non nulla in x0 = 0 di fe determinarne il valore
4. Stabilire se la funzione ha in x0 = 0 un massimo o un minimo locale.
5. Per quali valori di n ∈ N , Dnf(0) 6= 0?
Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.
Domanda 4)
Sia f la funzione definita da f (x, y) = e2y+ 4exy+ 7x2. Deter- minare l’approssimazione di Taylor del secondo ordine centrata nell’origine di f e dedurne se l’origine `e un punto di estremo loca- le per la funzione. Dedurre inoltre la retta tangente nell’origine alla linea di livello f (x, y) = f (0, 0).
Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.
Domanda 5)
Si consideri il seguente problema di Cauchy contenente il parametro h > 0.
8
><
>:
y′′+ 2hy′+ h2y= 0 y(0) = 0
y′(0) = 1
1. Determinare, al variare di h > 0, la soluzione φh di tale problema specificando il dominio.
2. Determinare per quali valori di h > 0 esiste almeno un x0>0 tale che φh(x0) = 8
3. Facoltativo Disegnare, al variare di h > 0 il grafico di φh
Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.
Domanda 6)
1. Enunciare il teorema degli zeri per le funzioni di due variabili.
2. Applicare il precedente teorema per determinare e disegnare l’insieme
D= {(x, y) ∈ R2: |5x − 7y| ≤ 5 , |y| ≤ 2}
3. Sia f : R2→ R la funzione definita da f(x, y) = x2+y2−7.
Giustificare l’esistenza di massimo e minimo di f vincolato a D.
4. Calcolare il massimo e il minimo di f vincolato a D Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.
