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Campi vettoriali

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Academic year: 2021

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Tutoraggio Analisi II, Ing. Ambiente e Territorio Dott.ssa Silvia Marconi - 04 Maggio ’07 -

 Campi vettoriali

Campi vettoriali in R 2 e R 3 . Campi conservativi e irrotazionali.

• Sia F : R 3 −→ R 3 il campo vettoriale

F (x, y, z) = sin(x+y)−sin x sin z ; sin(x+y)−cos(y−z) ; cos x cos z+cos(y−z)  - Stabilire se F ammette potenziale e in caso affermativo calcolarlo.

- Calcolare il lavoro di F lungo il bordo dell’insieme

{(x, y, z) ∈ R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 < 1 ; x + y + z = 0}

 Integrali doppi

- Integrali su domini normali rispetto a x e/o y

Calcolare i seguenti integrali doppi nei domini a fianco indicati:

• Z Z

A

(x+2y) dxdy A = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2 ; min{x 2 ; x} ≤ y ≤ max{x 2 ; x}}

• Z Z

A

x sin |x 2 − y| dxdy A = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1}

• Z Z

B

|y − x| dxdy B = {(x, y) ∈ R 2 : y + 2x ≤ 2; x ≥ 0; y ≥ 0}

- Integrali doppi con coordinate polari

Calcolare i seguenti integrali doppi nei domini a fianco indicati:

• Z Z

D

e x

2

+y

2

−arctan

yx

dxdy D = {(x, y) ∈ R 2 : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0}

• Z Z

D

p x 2 + y 2 dxdy D = {(x, y) ∈ R 2 : (x − 1) 2 + y 2 ≤ 1 ; y ≥ x}

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