FORMULE DI GAUSS-GREEN NEL PIANO. CAMPI VETTORIALI

FORMULE DI GAUSS-GREEN

NEL PIANO.

CAMPI

VETTORIALI

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Formule di Gauss-Formule di Gauss- Green nel piano

Green nel piano

 Campi vettoriali Campi vettoriali (forme differenziali) (forme differenziali)

FORMULE DI FORMULE DI GAUSS-GREEN GAUSS-GREEN

NEL PIANO

NEL PIANO

Un teorema di topologia piana Un teorema di topologia piana

fortemente intuitivo, ma difficile da fortemente intuitivo, ma difficile da

dimostrare, è il famoso teorema di dimostrare, è il famoso teorema di

Jordan (Marie Ennemond Camille) Jordan (Marie Ennemond Camille)

(1887):

(1887):

Se Se (t)(t) è una curva continua è una curva continua semplice semplice chiusa in

chiusa in RR²², il suo sostegno divide, il suo sostegno divide il piano in due aperti: uno

il piano in due aperti: uno limitatolimitato,, detto dei

detto dei punti interni alla curvapunti interni alla curva; ; l’altro illimitato dei

l’altro illimitato dei punti esternipunti esterni

La prima dimostrazione rigorosa del La prima dimostrazione rigorosa del

teorema si deve al matematico teorema si deve al matematico

americano Oswald Veblen (1905) americano Oswald Veblen (1905)

punti

punti interniinterni

punti

punti esterniesterni



Un aperto connesso che ha come Un aperto connesso che ha come

frontiera una curva generalmente frontiera una curva generalmente

regolare, semplice, chiusa si dice regolare, semplice, chiusa si dice

semplicemente connesso semplicemente connesso..

Se la frontiera del dominio aperto è Se la frontiera del dominio aperto è

costituita da più curve generalmente costituita da più curve generalmente

regolari semplici e chiuse i sostegni regolari semplici e chiuse i sostegni delle quali sono contenuti nei punti delle quali sono contenuti nei punti

interni di un’unica curva e che hanno interni di un’unica curva e che hanno

le chiusure dei punti interni a due a le chiusure dei punti interni a due a due disgiunte, diremo che il dominio due disgiunte, diremo che il dominio è è molteplicemente connessomolteplicemente connesso

Una situazione tipica è la seguente Una situazione tipica è la seguente

₀₀

₁₁

₂₂

₃₃ tt nn

Evidentemente la frontiera del Evidentemente la frontiera del

dominio

dominio AA è trascurabile e quindi il è trascurabile e quindi il dominio è misurabile secondo PJ.

dominio è misurabile secondo PJ.

Infatti la frontiera è l’unione di un Infatti la frontiera è l’unione di un numero finito di grafici di funzioni numero finito di grafici di funzioni

continue. Un tale dominio si dirà continue. Un tale dominio si dirà un un dominio regolaredominio regolare. Una curva . Una curva

chiusa generalmente regolare ha chiusa generalmente regolare ha un’orientazione intrinseca: siano un’orientazione intrinseca: siano tt

il versore tangente e

il versore tangente e nn un versore un versore normale.

normale.

Diremo che l’orientazione della curva Diremo che l’orientazione della curva

 è positiva se, essendo la coppia è positiva se, essendo la coppia t nt n congruente

congruente ai versori degli assi ( ai versori degli assi (ii e e jj o o ee₁₁ ed ed ee₂₂), la normale ), la normale nn punta verso punta verso

l’l’internointerno di di ..

Tale orientazione si dice anche Tale orientazione si dice anche

antioraria

antioraria. Se il bordo di . Se il bordo di AA è dato da è dato da più curve chiuse, l’orientazione

più curve chiuse, l’orientazione positiva della curva

positiva della curva esternaesterna è è antioraria

antioraria mentre quella delle curve mentre quella delle curve interne

interne è è orariaoraria

Teorema

(Formule di Gauss-Green o di Green-Riemann)

Sia Sia AA un dominio regolare, di frontiera un dominio regolare, di frontiera

∂∂A =A =  = = ₀₀ + + ₁₁ + .. + + .. + _kk positivamente positivamente orientata e siano

orientata e siano X(x,y)X(x,y) e e Y(x,y)Y(x,y)

continue su A  ∂A insieme

con le loro derivate X_y(x,y) e Y_y(x,y).

Allora si ha Allora si ha

X (x, y)dxdy   Xdx   Xdx





i0 k

A

 

A



y

Y (x, y)dxdy  Ydy  Ydy





i0 k

A

 

A



(Y

 X

)dxdy  (Xdx  Ydy)



A



Dimostreremo la formula in un caso semplificato, nel quale A è un

dominio normale rispetto all’asse x Sia dunque

A = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, h(x) ≤ y ≤ k(x)}

con h(x) e k(x) di classe C¹([a,b])

Allora

X

(x, y)dxdy  dx X

dy 

h(x ) k (x) a



b



A



X(x, k(x))  X(x, h(x))

 dx  

b

 Xdx

A



Si è tenuto conto che dx è nullo lungo i lati verticali

A

h(x) k(x)

a b

In modo analogo si dimostra la

seconda formula; la terza è la somma delle due precedenti e una

simmetrizzazione delle stesse.

Osserviamo che quanto abbiamo

dimostrato è il primo passo per una dimostrazione completa del teorema come l’abbiamo enunciato.

Tuttavia i metodi per giungere a una dimostrazione rigorosa della formula travalicano le nostre possibilità e gli scopi di questo corso

È interessante l’applicazione della

formula precedente al calcolo di aree piane.

Sia  una curva piana generalmenteuna regolare semplice chiusa che forma il bordo del dominio A. Poiché la

costante 1 è la derivata rispetto a x di x o rispetto a y di y

m(A)  dxdy  xdy   ydx 



A



A



1

2 (xdy  ydx)

A



La formula è particolarmente utile quando si conoscono le equazioni parametriche di  = +∂A = +∂A..

Esempi

1) Si calcoli l’area dell’ellisse di semiassi a e b

L’equazione parametrica

dell’ellisse è x= a cos t, y = b sen t 0 ≤ t ≤ 2π

m(A)  dxdy  xdy  ab cos² t dt

0 2

A 

A

= πab

2) Si calcoli l’area racchiusa dal cappio del “folium Cartesii”,

d’equazioni

x  t(t  1)

y  t(t  1)(2t  1) t  R

 

 

Il cappio si ottiene prendendo 0 ≤ t ≤ 1

Si vuole calcolare

x(t)  y (t)dt  (6t

 12t

 7t

 t)dt  1

0

30

1



0 1



00 -0.1

-0.2 -0.3

-0.4

-0.5 0

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

0 1 2 0

-1

-2 0

1

0.5

0

-0.5

-1

Il “foglio di Cartesio”

CAMPI

VETTORIALI (FORME

DIFFERENZIALI)

Supponiamo che ad ogni punto di Supponiamo che ad ogni punto di

un aperto

un aperto AA contenuto in contenuto in RR³³ ( (RR²²) sia) sia assegnato un vettore

assegnato un vettore FF di di RR³³ ( (RR²²).).

Diremo che in A è assegnato un Diremo che in A è assegnato un

campo vettoriale:

campo vettoriale: F = (FF = (F₁₁,F,F₂₂,F,F₃₃))^TT

Se invece, in ogni punto di

Se invece, in ogni punto di AA è è

assegnato il valore di una funzione assegnato il valore di una funzione

f(x,y,z)

f(x,y,z) diremo che abbiamo a che diremo che abbiamo a che fare con un campo scalare

fare con un campo scalare

Nella

Nella FisicaFisica abbondano gli esempi abbondano gli esempi

di di campi vettorialicampi vettoriali (campo di velocità (campo di velocità in un fluido, campo elettrico o

in un fluido, campo elettrico o

magnetico o campo gravitazionale magnetico o campo gravitazionale

nel piano o nello spazio) e di

nel piano o nello spazio) e di campicampi scalari

scalari (pressione, densità o (pressione, densità o

temperatura in un fluido o in un temperatura in un fluido o in un

corpo piano o solido) corpo piano o solido)

In In MatematicaMatematica si preferisce parlare si preferisce parlare invece di

invece di forme differenziali lineariforme differenziali lineari in in RR²² o in o in RR³³ o semplicemente di o semplicemente di

funzioni (

funzioni (forme di gradoforme di grado 00))

Useremo il linguaggio della Fisica, Useremo il linguaggio della Fisica,

formalmente più semplice.

formalmente più semplice.

Dato il campo vettoriale

Dato il campo vettoriale F F in in RR^{3 3} sappiamo che cosa significa

sappiamo che cosa significa

F , 



 _{ds  F(  (t )),  } ^(t)

0



^dt

che, nel caso

che, nel caso FF sia una forza, dà il sia una forza, dà il lavoro di

lavoro di FF per lo spostamento per lo spostamento lungo

lungo ..

Un campo vettoriale

Un campo vettoriale FF su su AA si dice si dice conservativo

conservativo se esiste una funzione se esiste una funzione U(x,y,z)

U(x,y,z) definita sull’aperto definita sull’aperto AA, tale , tale cheche

F = grad U =

F = grad U =  U U

La funzione

La funzione U(x,y,z)U(x,y,z) si dice un si dice un potenziale

potenziale di di FF. Si noti che se . Si noti che se U(x,y,z)

U(x,y,z) è un potenziale, anche è un potenziale, anche U(x,y,z) + costante

U(x,y,z) + costante è un potenzialeè un potenziale

Teorema

Sia F un campo conservativo continuo su un

aperto

aperto A A  R R^{m m} e e  : [a,b] : [a,b]  RR^{m m} unauna curva regolare con

curva regolare con (I) (I)  AA, allora, allora

per ogni x, y  A l’integrale di linea

F , 



 ds  U(y) - U(x)

Infatti

F , 



 _{ds  F} ^

^x

_{ (t)  F}

^x

_{ (t)  F}

^x

_ ^(t) 

0

1

 ^dt

dipende solo da x e y

 U_x

1(x₁(t), x₂, x₃) x ₁(t)  U^x₂ x ₂(t)  U_x

3 x ₃(t)





0 1

 dt

d

 0 dt

1

 ^{U(x1(t), x2(t), x3(t)dt  U( (1))  U( (0))}

= U(y) - U(x), come si doveva dimostrare

Teorema

Sia F un campo vettoriale continuo su un aperto

connesso

connesso A A  R R^{m m} . Allora . Allora FF è è

conservativo se e solo se, per ogni conservativo se e solo se, per ogni

per ogni x, y  A e per ogni ₁₁ e e ₂₂

congiungenti

congiungenti x x concon y y è è

F ,  ds 

F,  ^ds

2







Se Se FF è conservativo, per il teorema è conservativo, per il teorema precedente la proprietà vale.

precedente la proprietà vale.

Mostriamo che vale il viceversa;

Mostriamo che vale il viceversa;

per semplicità ci ambientiamo in

per semplicità ci ambientiamo in RR²²

Se Se xx⁰⁰ è un punto arbitrario di è un punto arbitrario di AA, , definiamo

definiamo

U(x

, x

)  F,

  ^ds

essendo

essendo  un qualsiasi cammino un qualsiasi cammino congiungente

congiungente xx⁰⁰ con con xx..

Se Se x’ = (xx’ = (x₁₁+h, x+h, x₂₂))^TT e e  è il segmento è il segmento congiungente

congiungente xx con con x’x’, si ha, si ha

U(x₁  h, x² )  U(x¹, x₂)

h 

F, ^ds



h

 1

h F₁

0

1 ^(x_{1  th, x2)hdt  F1}^(x_{1 } ^{h, x}₂⁾

con con 0 ≤0  ≤ 1 1. Per la continuità del. Per la continuità del campo, se

campo, se h h  0 0

U

x

 F

(x

, x

)

Analogamente si valuta la derivata Analogamente si valuta la derivata

rispetto a rispetto a xx₂₂

Si trova poi che Si trova poi che

Corollario

Sia F un campo vettoriale continuo su un aperto

connesso

connesso A A  R R^{m m} . Allora . Allora FF è è

conservativo se e solo se, per ogni conservativo se e solo se, per ogni

curva gen. regolare chiusa  è

F ,  ^{ds }





Se F è un campo vettoriale di classe C¹(A) diremo rotore di F, rot F =  F F

il seguente vettore il seguente vettore

rot F 

e

e

e



x



x



x

F

F

F

 e ¹(F³

x₂  F²

x₃)  e2(F¹

x3

 F³

x₁)  e3(F²

x₁  F¹

x₂ )

Un campo vettoriale F di classe C¹(A) si dice irrotazionale se rot F = 0

È banale osservare che ogni campo conservativo di classe C¹(A) è

irrotazionale

Se A è connesso e semplicemente connesso, si può dimostrare che la condizione di irrotazionalità è

anche sufficiente.