Campi Vettoriali

(1)

Campi Vettoriali

Francesca G. Alessio ¹

Si dice campo vettoriale in Rⁿ un’applicazione F : A ⊂ Rⁿ → Rⁿ. Posto F(x) = (F₁(x), F₂(x), ..., F_n(x)), x ∈ A, le funzioni F_i : A ⊂ Rⁿ → R, i = 1, ..., n, che definiscono il campo verranno dette componenti del campo vettoriale F.

Possiamo pensare ad un campo vettoriale come ad un’applicazione che ad ogni punto x ∈ A ⊂ Rⁿ associa un vettore F(x) ∈ Rⁿ che rappresenta la forza che agisce sulla particella di posizione x ∈ A (con tale interpretazione si usa parlare di campo di forze in luogo di campo vettoriale).

Come esempio notevole vediamo il campo gravitazionale determinato da una massa pun- tiforme M posta nell’origine di R³ ed agente su una particella di massa m posta nel punto P (x, y, z). Detta G la costante di gravitazione universale, tale campo `e descritto da

F(x, y, z) = −GmM x

(x² + y²+ z²)³², y

(x²+ y²+ z²)³², z

(x²+ y²+ z²)³²

!

Come ulteriore esempio, pensiamo a delle particelle in Rⁿ che si muovono lungo delle traiettorie γ ⊂ Rⁿ: se denotiamo con T (x) il vettore tangente alla traiettoria γ di una particella nella posizione x ∈ Rⁿ, il campo vettoriale F(x) = T (x) descriverà la velocità della particella, parleremo quindi di campo di velocità. Ad esempio il campo F(x, y, z) = ω(−y, x, 0) descriverà la velocità di un solido in rotazione attorno all’asse z:

1Dipartimento di Scienze Matematiche - Universit`a Politecnica delle Marche

(2)

Un altro esempio notevole `e dato dal gradiente di una funzione derivabile f : A ⊂ Rⁿ→ R:

∇f (x) = ∂f

∂x₁(x), ∂f

∂x₂(x), ..., ∂f

∂x_n(x)

Ad esempio, considerata la funzione f (x, y) = x²− y², abbiamo ∇f (x, y) = (2x, −2y):

Osserviamo che il campo gravitazionale F(x, y, z) risulta essere il gradiente della funzione U : R³\ {(0, 0, 0)} → R definita da

U (x, y, z) = GmM px²+ y²+ z²

Il campo gravitazionale `e un esempio di campo conservativo secondo la seguente definizione.

Si dice che un campo vettoriale F : A ⊂ Rⁿ → Rⁿ `e conservativo in A se esiste una funzione derivabile U : A ⊂ Rⁿ → R tale che ∇U(x) = F(x) per ogni x ∈ A, essendo

∇U : A ⊂ Rⁿ → Rⁿ il gradiente di U :

∇U (x) = (∂U

∂x₁(x), ∂U

∂x₂(x), ..., ∂U

∂x_n(x)) x ∈ A.

In tal caso la funzione U `e detta potenziale del campo vettoriale F in A.

Osserviamo che se F(x) = (F1(x), F2(x), ..., Fn(x)) sono le componenti del campo, allora la condizione ∇U (x) = F(x) per ogni x ∈ A risulta verificata se e solo se

∂U

∂x_i(x) = Fi(x), per ogni x ∈ A, i = 1, ..., n.

Osserviamo inoltre che se U (x) `e un potenziale del campo F(x) in A ⊂ Rⁿ, allora per ogni k ∈ R, la funzione V (x) = U (x)+k `e ancora un potenziale del campo F(x). Viceversa, dal Teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso, abbiamo che se A ⊂ Rⁿ

`e un aperto connesso, due potenziali U (x) e V (x) del campo F(x) in A differiscono per una costante: esiste k ∈ R tale che V (x) = U (x) + k per ogni x ∈ A. Vale quindi

Proposizione

Sia F(x) un campo vettoriale conservativo in un aperto connesso A ⊂ Rⁿ e sia U (x) un suo potenziale in A. Allora tutti e soli i potenziali del campo F(x) in A sono della forma U (x) + k con k ∈ R.

Lavoro di un campo vettoriale

Dato un campo vettoriale F(x) continuo in A ⊂ Rⁿ(ovvero di componenti continue in A) e data una curva γ : [a, b] ⊂ R → Rⁿ regolare con supporto contenuto in A, si definisce lavoro del campo F lungo la curva γ la quantit`a

Z

γ

F(x) · T(x) ds

(3)

essendo T(x) `e il versore tangente a γ in x. Denoteremo il lavoro conR

γF · ds oppure con L_γ(F).

Se γ(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)), t ∈ [a, b], sono le equazioni parametriche della curva e se F(x) = (F₁(x), F₂(x), ..., F_n(x)) sono le componenti del campo, risulta

Z

γ

F · ds = Z b

a

F(γ(t)) · γ⁰(t)

kγ⁰(t)kkγ⁰(t)k dt = Z b

a

F(γ(t)) · γ⁰(t) dt

= Z b

a

F1(γ(t))x⁰₁(t) + F2(γ(t))x⁰₂(t) + ... + Fn(γ(t))x⁰_n(t) dt

Osserviamo che essendo il verso del versore tangente T(x) dipendente dall’orientamento della curva, il lavoro

Z

γ

F · ds dipende dall’orientamento della curva γ. Precisamente, se

−γ `e curva equivalente alla curva γ ma con orientamento opposto, allora Z

−γ

F · ds = − Z

γ

F · ds

Osserviamo inoltre che dalle proprietà di additività e di linearità dell’integrale curvilineo si ottengono le seguenti proprietà:

(i) linearit`a: se F(x) e G(x) sono campi continui in A ⊂ Rⁿ e γ `e curva regolare con supporto contenuto in A, per ogni α, β ∈ R si ha

Z

γ

(αF + βG) · ds = α Z

γ

F · ds + β Z

γ

G · ds

(ii) additività: se F(x) è campo continuo in A ⊂ Rⁿ, γ è curva regolare con supporto contenuto in A tale che γ = γ₁∪ γ₂ allora

Z

γ

F · ds = Z

γ1

F · ds + Z

γ2

F · ds

Possiamo infine estendere la definizione di lavoro di un campo continuo F(x) lungo una curva regolare a tratti γ ponendo

Z

γ

F · ds =

n

X

i=1

Z

γi

F · ds

essendo γ = γ₁∪ γ₂∪ ... ∪ γ_n e γ_i curva regolare per ogni i = 1, ..., n.

Esempi

(4)

• Calcolare il lavoro del campo F (x, y) = (−_x2+y^y ²,_x2+y^x ²) lungo la curva γ avente per sostegno la circonferenza di centro l’origine e raggio 1 percorsa in senso antiorario.

Considerata la parametrizzazione ϕ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π], della curva γ si ha Z

γ

F · ds = Z 2π

0

F(ϕ(t)) · ϕ⁰(t) dt

= Z 2π

0

(− sin t, cos t) · (− sin t, cos t) dt = Z 2π

0

sin²t + cos²t dt = 2π

• Calcolare il lavoro del campo F(x, y, z) = (√^y²

x²+y²,√^y²

x²+y², z²) lungo l’elica cilin- drica γ(t) = (cos t, sin t, t), t ∈ [0, 2π]. Osserviamo innanzitutto che Dom F = {(x, y, z) | x² + y² 6= 0} e che il sostegno della curva `e contenuto in tale dominio.

Dalla definizione otteniamo Z

γ

F · ds = Z 2π

0

F(γ(t)) · γ⁰(t) dt = Z 2π

0

(sin²t, cos²t, t²) · (− sin t, cos t, 1) dt

= Z 2π

0

− sin³t + cos³t + t²dt = 8 3π³

Riguardo al lavoro di un campo conservativo abbiamo il seguente risultato Teorema sul lavoro di un campo conservativo

Sia F : A ⊂ Rⁿ → Rⁿ campo vettoriale continuo e conservativo sull’aperto A ⊂ Rⁿ. Se γ

`e curva regolare a tratti con sostegno contenuto in A di punto iniziale e finale x₀, x ∈ A, allora

Z

γ

F(x) · ds = U (x) − U (x₀) essendo U un potenziale di F in A.

Dim. Sia γ(t), t ∈ [a, b], una parametrizzazione della curva γ tale che γ(a) = x₀ e γ(b) = x. Allora, dalla definizione

Z

γ

F · ds = Z b

a

F(γ(t)) · γ⁰(t) dt

Poichè il campo F(x) è conservativo ed U (x) è un suo potenziale risulta, F(γ(t)) =

∇U (γ(t)) per ogni t ∈ [a, b]. Inoltre, posto f (t) = U (γ(t)), dal Teorema di derivazione di una funzione composta abbiamo che f⁰(t) = ∇U (γ(t)) · γ⁰(t) e quindi, dalla formula fondamentale del calcolo integrale, otteniamo

Z

γ

F · ds = Z b

a

∇U (γ(t)) · γ⁰(t) dt = Z b

a

f⁰(t) dt = f (b) − f (a) = U (γ(b)) − U (γ(a)).

(5)

Dal precedente risultato abbiamo quindi che il lavoro compiuto da un campo conservativo F lungo una curva γ non dipende dalla curva ma solo dal punto iniziale e finale della curva. In particolare, si ottiene che il lavoro lungo una curva chiusa risulta nullo.

Ad esempio, il lavoro compiuto dal campo gravitazionale F(x, y, z) = −GmM ( x

(x²+ y²+ z²)³², y

(x²+ y²+ z²)³², z

(x²+ y²+ z²)³²)

per spostare un corpo da P₀(0, 0, 2) a P (0, 2, 0) lungo una qualunque curva γ regolare a tratti tale che γ ⊂ R³\ {(0, 0, 0)} `e pari a

Z

γ

F · ds = U (P ) − U (P₀) = GmM (1 2 − 1

2) = 0 essendo U (x, y, z) = √^GmM

x²+y²+z² un potenziale di F(x, y, z). Si osservi che P e P₀ hanno la stessa distanza dall’origine e che il potenziale dipende solo dalla distanza dall’origine, quindi il lavoro `e nullo.

La condizione che il lavoro non dipenda dalla curva ma solo dal punto iniziale e finale `e condizione non solo necessaria ma anche sufficiente affinch`e un campo risulti conservativo in aperti connessi. Vale difatti il seguente risultato:

Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi

Sia F : A ⊂ Rⁿ → Rⁿ un campo vettoriale continuo sull’aperto connesso A ⊂ Rⁿ. Sono equivalenti le seguenti affermazioni

(i) F `e conservativo in A,

(ii) per ogni curva γ semplice, chiusa, regolare a tratti con sostegno contenuto in A risulta R

γF(x) · ds = 0,

(iii) per ogni coppia γ₁ e γ₂ di curve semplici, regolari a tratti con sostegno contenuto in A aventi medesimo punto iniziale e finale, si ha R

γ1F(x) · ds =R

γ2F(x) · ds.

Dim. (i) ⇒ (ii) Segue dal Teorema sul lavoro dei campi conservativi: se U (x) è un potenziale di F(x), poichè la curva è chiusa, punto iniziale e finale della curva coincideranno e quindi

Z

γ

F · ds = U (x₀) − U (x₀) = 0

(ii) ⇒ (iii) Considerata la curva γ = γ1∪ (−γ2), avremo che γ è curva semplice, chiusa, regolare a tratti con sostegno contenuto in A. Allora da (ii) e dalla proprietà di additività avremo

0 = Z

γ

F · ds = Z

γ1

F · ds + Z

−γ2

F · ds = Z

γ1

F · ds − Z

γ2

F · ds

(6)

e dunqueR

γ1F(x) · ds = R

γ2F(x) · ds.

(iii) ⇒ (i) Da (iii) abbiamo che il lavoro del campo lungo una qualunque curva γ dipende solo dal punto iniziale e finale. Fissato x₀ ∈ A, poich`e A `e connesso, per ogni x ∈ A esiste una curva γ_x semplice, regolare a tratti con sostegno contenuto in A congiungente x₀ con x ². Risulta allora ben definita la funzione U : A ⊂ Rⁿ→ R definita da

U (x) = Z

γx

F · ds

Proviamo che U (x) `e un potenziale di F(x) in A, ovvero che per ogni x ∈ A e ogni i = 1, ..., n risulta

∂U

∂x_i(x) = F_i(x).

Sia x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ A e sia h ∈ R sufficientemente piccolo di modo che xh = (x₁+ h, x₂, ..., x_n) ∈ A. Avremo che

U (x_h) − U (x) = Z

γ_xh

F · ds − Z

γx

F · ds

dove γ_x `e una qualunque curva congiungente x₀ con x e γ_x_h = γ_x∪ γ₀ essendo γ₀ la curva avente per sostegno il segmento congiungente x con x_h. Essendo ϕ₀(t) = (x₁+t, x₂, ..., x_n), t ∈ [0, h] (se h > 0, altrimenti t ∈ [h, 0]), una parametrizzazione della curva γ₀, otteniamo

U (xh) − U (x) = Z

γ_xh

F · ds − Z

γx

F · ds = Z

γ0

F · ds = Z h

0

F(ϕ0(t)) · ϕ⁰₀(t) dt

= Z h

0

F₁(x₁+ t, x₂, ..., x_n) dt

Poich`e il campo `e continuo, dal Teorema della media integrale si ha che esiste t_h ∈ [0, h]

tale che

U (x_h) − U (x) = Z h

0

F₁(x₁ + t, x₂, ..., x_n) dt = hF₁(x₁+ t_h, x₂, ...., x_n) Infine, essedo t_h → 0 per h → 0 e F₁(x) funzione continua, ne segue che

lim

h→0

U (x_h) − U (x)

h = lim

h→0

1 h

Z h 0

F₁(x₁+ t, x₂, ..., x_n) dt

= lim

h→0F₁(x₁ + t_h, x₂, ...., x_n) = F₁(x₁, x₂, ..., x_n) = F₁(x)

2per provarlo `e sufficiente osservare che gli insiemi

A1= {x ∈ A | ∃ γ curva semplice, regolare a tratti con sostegno contenuto in A congiungente x0con x}

A2= {x ∈ A | 6 ∃ γ curva semplice, regolare a tratti con sostegno contenuto in A congiungente x0 con x}

sono aperti e tali che A₁∪ A2= A e A₁∩ A2= ∅.

(7)

e quindi che _∂x^∂U

1(x) = F₁(x) per ogni x ∈ A. Analogalmente si prova che _∂x^∂U

i(x) = F_i(x)

per ogni i = 1, ..., n e ogni x ∈ A.

Il precedente risultato ci fornisce delle condizioni per provare che un campo non `e conservativo. Ad esempio, avendo provato che per il campo F(x, y) = (−_x2+y^y ²,_x2+y^x ²) il lavoro lungo la curva semplice, chiusa γ con sostegno la circonferenza di centro l’origine e raggio 1 `e non nullo, possiamo concludere che il campo non risulta conservativo sul suo dominio.

Il Teorema di caratterizzazione dei campi vettoriali fornisce nella dimostrazione un metodo per determinare un potenziale in un dominio connesso di un dato campo vettoriale conservativo. Difatti, se F `e campo conservativo nell’aperto connesso A, allora fissato x₀ ∈ A, risulta un potenziale di F in A la funzione

U (x) = Z

γx

F · ds, x ∈ A,

essendo γ_x una curva regolare a tratti con supporto in A congiungente x₀ con x ∈ A.

Campi vettoriali irrotazionali

Osserviamo che se F(x) = (F₁(x), F₂(x), ..., F_n(x)) `e un campo vettoriale conservativo di classe C¹ in un aperto A ⊂ Rⁿ e U (x) un suo potenziale in A, dalla condizione

∂U

∂x_i(x) = F_i(x), ∀x ∈ A, i = 1, ..., n,

avremo che U (x) risulta di classe C² in A e dal Teorema di Schwartz otteniamo che

∂²U

∂xi∂xj

(x) = ∂²U

∂xj∂xi

(x), ∀x ∈ A, i, j = 1, ..., n Dalle precedenti condizioni otteniamo allora che risulta

(I) ∂F_i

∂x_j(x) = ∂F_j

∂x_i(x), ∀x ∈ A, i, j = 1, ..., n.

Un campo vettoriale F(x) = (F₁(x), F₂(x), ..., F_n(x)) di classe C¹ in un aperto A ⊂ Rⁿ soddisfacente la condizione (I) è detto campo vettoriale irrotazionale in A. Abbiamo quindi provato che condizione necessaria affinchè un campo vettoriale di classe C¹ in un aperto A ⊂ Rⁿ risulti conservativo è che sia irrotazionale:

Teorema

Se F(x) `e campo vettoriale conservativo e di classe C¹ sull’aperto A ⊂ Rⁿ allora F(x) `e irrotazionale in A.

(8)

Nel caso n = 2, la condizione di irrotazionalit`a (I) di un campo F(x, y) = (F₁(x, y), F₂(x, y)), (x, y) ∈ A ⊂ R², si scrive:

∂F1

∂y = ∂F2

∂x , in A,

mentre nel caso n = 3, avremo che un campo F(x, y, z) = (F₁(x, y, z), F₂(x, y, z), F₃(x, y, z)), (x, y, z) ∈ A ⊂ R³, risulta irrotazionale se

∂F₁

∂y = ∂F₂

∂x , ∂F₁

∂z = ∂F₃

∂x , ∂F₂

∂z = ∂F₃

∂y , in A Il campo vettoriale

rot F = (∂F₃

∂y − ∂F₂

∂z , ∂F₁

∂z − ∂F₃

∂x , ∂F₂

∂x −∂F₁

∂z )

`e detto rotore del campo vettoriale F. La condizione di irrotazionalit`a in questo caso chiede appunto che rot F = 0 in A (da qui il termine irrotazionale che, con abuso di terminologia, utilizziamo anche in Rⁿ con n qualunque).

Esempi

• Il campo F(x, y) = (xy, x² + y²) non `e conservativo nel suo dominio non essendo irrotazionale in quanto:

∂F₁

∂y (x, y) = x 6= ∂F₂

∂x (x, y) = 2x,

mentre risulta irrotazionale il campo F(x, y) = (2xy, x²+ y²) essendo

∂F₁

∂y (x, y) = 2x = ∂F₂

∂x (x, y)

Tale campo abbiamo provato essere conservativo avendo determinato un suo potenziale, U (x, y) = x²y +¹₃y³.

• Il campo F (x, y) = (−_x2+y^y ²,_x2+y^x ²) `e campo irrotazionale nel suo dominio A = R²\ {(0, 0)} poich`e

∂F₁

∂y = y² − x²

x²+ y² = ∂F₂

∂x

ma abbiamo provato che tale campo non `e conservativo (essendo R

γF · ds 6= 0 con γ circonferenza di centro l’origine e raggio 1). Osserviamo per`o che tale campo risulta conservativo nell’aperto A₀ = {(x, y) | x 6= 0} essendo U (x, y) = arctan^y_x un suo potenziale in tale insieme (il campo risulta inoltre conservativo nell’aperto A₁ = {(x, y) | y 6= 0} con V (x, y) = − arctan^x_y come potenziale).

(9)

• Il campo F(x, y, z) = (^2x_z ,^2y_z, −^x²_z^+y2 ²) risulta irrotazionale nel suo dominio A = {(x, y, z) ∈ R³| z 6= 0} essendo

∂F₁

∂y = 0 = ∂F₂

∂x , ∂F₁

∂z = −2x

z² = ∂F₃

∂x , ∂F₂

∂z = 2y

z² = ∂F₃

∂y ,

Il campo risulta inoltre conservativo, U (x, y, z) = ^x²^+y_z ² `e difatti un suo potenziale.

• Il campo F(x, y, z) = (−_x2+y^y ²,_x2+y^x ², z) `e campo irrotazionale nel suo dominio A = {(x, y, z) ∈ R³| x²+ y² 6= 0} poich`e

∂F₁

∂y = y²− x²

x²+ y² = ∂F₂

∂x , ∂F₁

∂z = 0 = ∂F₃

∂x , ∂F₂

∂z = 0 = ∂F₃

∂y ma non risulta conservativo in A essendo R

γF · ds 6= 0 con γ(t) = (cos t, sin t, 0), t ∈ [0, 2π].

I precedenti esempi mostrano che la condizione di irrotazionalità non è sufficiente affinchè un campo risulti conservativo. Abbiamo difatti bisogno di un condizione supplementare sul dominio del campo.

Un aperto connesso A ⊂ Rⁿ è detto semplicemente connesso se ogni curva semplice e chiusa γ con sostegno contenuto in A si può deformare con continuità in A in un punto x₀ ∈ γ. Precisamente, se γ(t), t ∈ [a, b], è una parametrizzazione della curva γ tale che γ(a) = γ(b) = x0, esiste un’applicazione continua Φ : [a, b] × [0, 1] → A tale che

- Φ(t, 0) = γ(t) per ogni t ∈ [a, b], - Φ(t, 1) = x₀, per ogni t ∈ [a, b],

- per ogni s ∈ [0, 1], Φ(a, s) = Φ(b, s) = x₀.

Con i termini della topologia algebrica si dice che Φ `e un’omotopia tra γ e x0 ∈ γ e che la curva γ `e omotopa ad un punto.

Ad esempio, sono semplicemente connessi gli aperti convessi di Rⁿ (un aperto A ⊂ Rⁿ `e detto convesso se per ogni x0, x ∈ A il segmento che li congiunge risulta contenuto in A).

Sono semplicemente connessi gli aperti stellati di Rⁿ(un aperto A ⊂ Rⁿ`e detto stellato se esiste x₀ ∈ A tale che per ogni x ∈ A il segmento che congiunge x₀ con x risulta contenuto in A).

In R² si pu`o provare che un aperto connesso A ⊂ R² `e semplicemente connesso se ogni curva semplice chiusa e regolare γ ⊂ A risulta frontiera di un sottoinsieme D ⊂ A: γ = ∂D con D ⊂ A.

Esempi

(10)

• L’insieme A = R²\ {(0, 0)} è connesso ma non è semplicemente connesso, la curva γ avente per sostegno la circonferenza di centro l’origine e raggio 1 è frontiera del disco D di centro l’origine e raggio 1 ma D 6⊂ A.

• La corona circolare A = {(x, y) | 1 < x² + y² < 9} `e aperto connesso ma non semplicemente connesso (la curva γ ⊂ A avente per sostegno la circonferenza di centro l’origine e raggio 2 `e frontiera del disco D di centro l’origine e raggio 2 ma D 6⊂ A).

• L’aperto {(x, y) | y 6= 0} non `e semplicemente connesso non essendo connesso.

• Gli aperti R², {(x, y) | x² + y² < 4}, {(x, y) | y 6= 0 se x > 0} sono semplicemente connessi.

In R³ si ha invece che un aperto connesso A ⊂ R³ `e semplicemente connesso se ogni curva semplice, chiusa e regolare γ ⊂ A risulta bordo di una superficie con bordo S con sostegno contenuto in A: γ = ∂S con S ⊂ A.

Esempi

• L’insieme A = R³ \ {(0, 0, 0)} è semplicemente connesso, ogni curva chiusa γ con sostegno in A è deformabile con continuità in A in un punto.

• La corona sferica A = {(x, y, z) | 1 < x²+ y²+ z² < 9} `e semplicemente connesso.

• Il toro T , ottenuto dalla rotazione attorno all’asse z di un disco D = {(x, z) | (x − x₀)²+ (z − z₀)² ≤ r²} (con r >px²₀+ z₀²), non è semplicemente connesso: la curva γ avente per sostegno la circonferenza del piano z = z₀ di centro (0, 0, z₀) e raggio x₀ non è deformabile con continuità ad un punto in T .

• L’insieme A = {(x, y, z) ∈ R³| x² + y² 6= 0} è connesso ma non è semplicemente connesso, la curva γ avente per sostegno la circonferenza di centro l’origine e raggio 1 del piano z = 0 non è deformabile con continuità ad un punto in A.

Vale il seguente risultato (della cui prova accenneremo pi`u avanti):

Teorema

Se F(x) `e campo vettoriale irrotazionale nell’aperto semplicemente connesso A ⊆ Rⁿ allora F(x) `e conservativo in A.

Negli esempi che seguono, vedremo come stabilire che un dato campo vettoriale risulta conservativo utilizzando il precedente risultato. Vedremo inoltre un metodo per determinare un potenziale di un dato campo conservativo.

(11)

Esempi

• Il campo F(x, y) = (xy², x²y + y) `e conservativo in R². Infatti risulta irrotazionale:

∂F₁

∂y = 2xy = ∂F₂

∂x

sull’aperto semplicemente connesso R². Per determinarne un potenziale, osserviamo che se U (x, y) `e un potenziale di F(x, y) in R², allora U (x, y) dovr`a verificare le condizioni

∂U

∂x(x, y) = F₁(x, y) = xy² e ∂U

∂y(x, y) = F₂(x, y) = x²y + y

Dalla prima delle due condizioni abbiamo che U (x, y) dovr`a essere una primitiva rispetto ad x della funzione xy² e dunque

U (x, y) = Z

xy²dx = x²

2 y²+ c(y)

essendo c(y) funzione incognita della sola variabile y. Utilizziamo la seconda condizione per determinare l’incognita c(y):

x²y + y = ∂U

∂y(x, y) = x²y + c⁰(y)

Ne segue che c⁰(y) = y e dunque che c(y) =R y dy = ^y₂² + c, c ∈ R. Quindi U (x, y) = 1

2x²y²+ 1

2y²+ c, c ∈ R

`e il generico potenziale del campo dato.

• Il campo F(x, y, z) = (2xy − z², 2yz + x², y² − 2xz) `e campo conservativo essendo irrotazionale sull’aperto semplicemente connesso R³:

∂F₁

∂y = 2x = ∂F₂

∂x , ∂F₁

∂z = −2z = ∂F₃

∂x , ∂F₂

∂z = 2y = ∂F₃

∂y .

Per determinarne un potenziale, osserviamo che un potenziale U (x, y, z) del campo F(x, y, z) dovr`a verificare le condizioni:

∂U

∂x(x, y, z) = F₁(x, y, z) = 2xy − z²,

∂U

∂y(x, y, z) = F₂(x, y, z) = 2yz + x²,

∂U

∂z(x, y, z) = F₃(x, y, z) = y²− 2xz.

(12)

Dalla prima delle tre condizioni abbiamo che U (x, y, z) `e una primitiva rispetto ad x della funzione 2xy − z² e dunque

U (x, y, z) = Z

2xy − z²dx = x²y − z²x + c₁(y, z)

essendo c₁(y, z) funzione incognita delle variabili (y, z). Determiniamo tale incognita utilizzando le restanti due condizioni. Dalla seconda condizione otteniamo

2yz + x² = ∂U

∂y(x, y, z) = x² +∂c₁

∂y(y, z) da cui

∂c₁

∂y(y, z) = 2yz e quindi

c₁(y, z) = Z

2yz dy = y²z + c₂(z)

essendo c₂(z) funzione incognita della sola variabile z. Utilizziamo infine la terza condizione per determinare c2(z). Avendo trovato che

U (x, y, z) = x²y − z²x + c₁(y, z) = x²y − z²x + y²z + c₂(z) dalla terza condizione si ha

y²− 2xz = ∂U

∂z (x, y, z) = −2zx + y²+ c⁰₂(z)

da cui c⁰₂(z) = 0 e quindi c₂(z) = c ∈ R. Otteniamo quindi che il generico potenziale del campo dato `e

U (x, y, z) = x²y − z²x + c1(y, z) = x²y − z²x + y²z + c

• Il campo F(x, y, z) = (^2x_z ,^2y_z − ^x²_z^+y2 ²) abbiamo già provato essere irrotazionale sul suo dominio A = {(x, y, z) ∈ R³| z 6= 0}. Poichè il dominio A non è semplicemente connesso (non è difatti connesso) non possiamo concludere che il campo risulta conservativo in A. Possiamo però concludere che il campo risulta conservativo sulle due componenti semplicemente connesse

A⁺ = {(x, y, z) ∈ R³| z > 0} e A⁻ = {(x, y, z) ∈ R³| z < 0}.

Determinati allora due potenziali U⁺(x, y, z) e U⁻(x, y, z) del campo F rispettivamente in A⁺ e A⁻, essendo A⁺∩ A⁻= ∅, avremo che

U (x, y, z) =

(U⁺(x, y, z) se(x, y, z) ∈ A⁺ U⁻(x, y, z) se(x, y, z) ∈ A⁻

(13)

risulta un potenziale di F(x, y, z) in tutto il suo dominio e dunque il campo risulta conservativo in A.

Per determinare i potenziali U^± procediamo come nel precedente esempio. Un potenziale U (x, y, z) del campo in A^± dovr`a verificare

∂U

∂x(x, y, z) = F₁(x, y, z) = 2x z ,

∂U

∂y(x, y, z) = F₂(x, y, z) = 2y z ,

∂U

∂z (x, y, z) = F₃(x, y, z) = −x²+ y² z² . Dalla prima delle tre condizioni abbiamo

U (x, y, z) = Z 2x

z dx = x²

z + c₁(y, z) Dalla seconda condizione otteniamo

2y z = ∂U

∂y(x, y, z) = ∂c₁

∂y(y, z) da cui

∂c₁

∂y(y, z) = 2y z e quindi

c₁(y, z) = Z 2y

z dy = y²

z + c₂(z)

Utilizziamo la terza condizione per determinare c₂(z). Avendo trovato che U (x, y, z) = x²

z + y²

z + c₂(z) dalla terza condizione si ha

−x²+ y²

z² = ∂U

∂z(x, y, z) = −x²+ y²

z² + c⁰₂(z)

da cui c⁰₂(z) = 0 e quindi c₂(z) = c ∈ R. Otteniamo quindi che il generico potenziale del campo in A^± `e U^±(x, y, z) = ^x_z² + ^y_z² + c^± con c^± ∈ R e dunque il generico potenziale del campo dato `e

U (x, y, z) = (x²

z +^y_z² + c⁺ se(x, y, z) ∈ A⁺

x²

z +^y_z² + c⁻ se(x, y, z) ∈ A⁻ con c^± ∈ R non necessariamente uguali.

(14)

Teorema di Green e Teorema della divergenza di Gauss in R²

Vediamo ora un’importante risultato che lega il concetto di integrale curvilineo di un campo vettoriale con il concetto di integrale doppio.

Teorema di Green

Sia F(x, y) = (F₁(x, y), F₂(x, y)) un campo vettoriale di classe C¹ in un aperto A ⊂ R² e sia D un dominio normale regolare in A. Allora, denotata con ∂D⁺ la curva semplice, chiusa e regolare a tratti avente per sostegno la frontiera di D positivamente orientata, risulta

Z

∂D⁺

F · ds = Z Z

D

∂F₂

∂x − ∂F₁

∂y dxdy

Dim. Ci limitiamo a considerare il caso semplice in cui D `e un rettangolo D = {(x, y) ∈ R²| x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]}. La frontiera ∂D⁺ risulta allora unione delle quattro curve γ_i con i = 1, 2, 3, 4 di parametrizzazioni: γ₁(t) = (t, c), t ∈ [a, b], γ₂(t) = (b, t), t ∈ [c, d],

−γ₃(t) = (t, d), t ∈ [a, b], −γ₄(t) = (a, t), t ∈ [c, d]. Allora Z

∂D⁺

F · ds = Z

γ1

F · ds + Z

γ2

F · ds − Z

γ3

F · ds − Z

γ4

F · ds

= Z b

a

F₁(t, c)dt + Z d

c

F₂(b, t)dt − Z b

a

F₁(t, d)dt − Z d

c

F₂(a, t)dt

= Z d

c

F₂(b, t) − F₂(a, t) dt − Z b

a

F₁(t, d) − F₂(t, c) dt

Dalla formula fondamentale del calcolo integrale e dalle formule di riduzione per gli integrali doppi si ottiene allora

Z

∂D⁺

F · ds = Z d

c

( Z b

a

∂F₂

∂x (x, y)dx)dy − Z b

a

( Z d

c

∂F₁

∂y (x, y)dx)dy

= Z Z

D

∂F2

∂x − ∂F1

∂y dxdy

Osserviamo che se γ è curva semplice, chiusa e regolare a tratti con sostegno in un aperto semplicemente connesso A ⊂ R² allora γ è frontiera di un dominio D ⊂ A unione di domini normali regolari D_i ⊂ A, i = 1, ..., n. Dalle proprietà di additività degli integrali curvilinei e doppi e dal precedente risultato si ottiene allora

Z

∂D⁺

F · ds =

n

X

i=1

Z

∂D_i⁺

F · ds =

n

X

i=1

Z Z

Di

∂F₂

∂x − ∂F₁

∂y dxdy = Z Z

D

∂F₂

∂x − ∂F₁

∂y dxdy

(15)

Ne segue quindi che se F `e campo vettoriale irrotazionale sull’aperto semplicemente connesso A allora per ogni curva γ semplice, chiusa e regolare a tratti con sostegno in A risulta R

γF · ds = 0 e dal Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi F risulta campo vettoriale conservativo in A.

Come conseguenza immediata del precedente risultato abbiamo inoltre le seguenti formule per il calcolo dell’area di una regione piana.

Corollario

Sia F(x, y) un campo vettoriale di classe C¹ in aperto A ⊂ R² tale che

∂F₂

∂x −∂F₁

∂y = 1, in A Allora per ogni dominio regolare D ⊂ A risulta m(D) =R

∂D⁺F · ds

La condizione precedente `e verificata ad esempio dai campi F(x, y) = (0, x), F(x, y) = (−y, 0) e F(x, y) = ¹₂(−y, x).

Esempi

• Calcoliamo l’area della regione del piano D delimitata dall’ellisse ^x_a²2 + ^y_b2² = 1.

Abbiamo

m(D) = Z

∂D⁺

F · ds

essendo F(x, y) = ¹₂(−y, x). Allora, posto γ(t) = (a cos t, b sin t), t ∈ [0, 2π], risulta m(D) =

Z 2π 0

F(γ(θ)) · γ⁰(θ) dθ = 1 2

Z 2π 0

(−b sin t, a cos t) · (−a sin t, b cos t) dt

= 1 2

Z 2π 0

ab dθ = abπ

• Calcoliamo l’area della regione del piano D delimitata dal cardioide ρ(θ) = 1 + cos θ, θ ∈ [−π, π]. Abbiamo

m(D) = Z

∂D⁺

F · ds

essendo F(x, y) = ¹₂(−y, x). Allora, posto γ(θ) = (ρ(θ) cos θ, ρ(θ) sin θ), θ ∈ [−π, π], risulta

m(D) = Z π

−π

F(γ(θ)) · γ⁰(θ) dθ

= 1 2

Z π

−π

ρ²(θ) dθ = 1 2

Z π

−π

(1 + cos θ)²dθ = 3 2π

(16)

Teorema equivalente al Teorema di Green `e il seguente Teorema della divergenza di Gauss in R²

Sia F(x, y) = (F₁(x, y), F₂(x, y)) un campo vettoriale di classe C¹ in un aperto A ⊂ R² e sia D un dominio regolare in A. Allora,

Z

∂D⁺

F · N_eds = Z Z

D

div F dxdy

essendo Ne(x, y) il versore normale esterno a ∂D⁺ nel punto (x, y) ∈ ∂D⁺ e divF =

∂F1

∂x +^∂F_∂y² la divergenza del campo.

Dim. Posto G = (−F2, F₁), risulta G · T = F · N_e, essendo T(x, y) il versore tangente a

∂D⁺ nel punto (x, y) ∈ ∂D⁺ e ^∂G_∂x² − ^∂G_∂y¹ = ^∂F_∂x¹ + ^∂F_∂y². Dunque, dal Teorema di Green si ottiene

Z

∂D⁺

F · N_eds = Z

∂D⁺

G · T ds = Z

∂D⁺

G · ds = Z Z

D

∂G₂

∂x − ∂G₁

∂y dxdy

= Z Z

D

∂F₁

∂x + ∂F₂

∂y dxdy = Z Z

D

div F dxdy

Flusso di un campo vettoriale

Sia F(x, y, z) un campo vettoriale continuo in un aperto A ⊂ R³ e sia ϕ : D ⊂ R² → R³ una superficie regolare con sostegno S contenuto in A. Si dice flusso del campo vettoriale F attraverso la superficie S nella direzione del versore normale alla superficie N l’integrale

Z

S

F · N dσ

Dalla definizione di versore normale alla superficie e di integrale di superficie, abbiamo Z

S

F · N dσ = Z Z

D

F(ϕ(u, v)) · ϕu(u, v) ∧ ϕv(u, v)

kϕ_u(u, v) ∧ ϕ_v(u, v)kkϕ_u(u, v) ∧ ϕ_v(u, v)k dudv

= Z Z

D

F(ϕ(u, v)) · (ϕ_u(u, v) ∧ ϕ_v(u, v)) dudv

Osserviamo che l’integrale di flusso non dipende dalla particolare parametrizzazione scelta della superficie a meno dell’orientamento indotto al versore normale. Difatti cambiando verso al versore normale, l’integrale cambier`a segno.

Osserviamo inoltre che dall’additivit`a dell’integrale doppio, la definizione di flusso di un campo pu`o essere estesa anche a superfici regolari a tratti (unione finita di superfici regolari).

(17)

Se la superficie regolare S `e frontiera di un dominio E ⊂ R³, si parler`a di flusso entrante o uscente dalla frontiera S di E a seconda che il versore normale sia orientato verso l’interno o verso l’esterno del dominio E.

Se pensiamo ad R³ pieno di un fluido che si muove secondo un campo di forze F, sia S una superficie in R³ che non costituisca barriera per il fluido. L’integrale R

SF · N dσ misurer`a la rapidit`a (massa al secondo) con cui il fluido attraversa la superficie S nella direzione N.

Esempi

• Calcolare il flusso del campo F(x, y, z) = (x, y, 2z) uscente dalla superficie laterale S del cilindro di equazione x² + y² = 1, z ∈ [0, 3]. Parametrizzando la superficie laterale del cilindro utilizzando le coordinate cilindriche ϕ(u, v) = (cos u, sin u, v), u ∈ [0, 2π], v ∈ [0, 3], si ottiene

ϕ_u(u, v) ∧ ϕ_v(u, v) = (cos u, sin u, 0)

che determina il vettore normale ϕ_u ∧ ϕ_v(^π₂, 1) = (0, 1, 0) (dunque la parametrizzazione determina l’orientamento richiesto). Allora, posto D = [0, 2π] × [0, 3] si ottiene

Z

S

F · N dσ = Z Z

D

F(ϕ(u, v)) · (ϕ_u(u, v) ∧ ϕ_v(u, v)) dσ

= Z Z

D

sin²u + cos²u dudv = 6π

• Calcolare il flusso del campo F(x, y, z) = (y, −x, z) entrante nella superficie S avente per sostegno la sfera di raggio 1 e centro l’origine. Parametrizzando la sfera utilizzando le coordinate sferiche ϕ(u, v) = (sin u cos v, sin u sin v, cos u), u ∈ [0, π], v ∈ [0, 2π], si ottiene

ϕ_u(u, v) ∧ ϕ_v(u, v) = (sin²u cos v, sin²u sin v, sin u cos u)

che determina il vettore normale (ϕ_u∧ ϕ_v)(^π₂,^π₂) = (0, 1, 0) orientato verso l’esterno della sfera (dunque la parametrizzazione determina l’orientamento opposto a quello richiesto). Allora, posto D = [0, π] × [0, 2π] si ottiene

Z

S

F · N dσ = − Z Z

D

F(ϕ(u, v)) · (ϕ_u(u, v) ∧ ϕ_v(u, v)) dσ

= − Z Z

D

sin u cos²u dudv

= −2π Z π

0

sin u cos²u du = −4 3π

(18)

Teorema di Stokes e Teorema della divergenza di Gauss in R³

Il seguente risultato generalizza il Teorema di Green al caso di campi vettoriali in R³ Teorema di Stokes

Sia F(x, y, z) campo vettoriale di classe C¹ nell’aperto A ⊂ R³ e sia S superficie regolare con bordo con sostegno contenuto in A. Denotato con ∂S⁺il bordo positivamente orientato della superficie, risulta

Z

∂S⁺

F · ds = Z

S

rot F · N dσ, essendo N il versore normale alla superficie.

La precedente formula, detta formula di Stokes, esprime il fatto che il lavoro del campo lungo il bordo di S (la circuitazione del campo attorno a ∂S) `e uguale al flusso del rotore attraverso la superficie S.

Si può provare che se γ è curva semplice, chiusa e regolare a tratti con sostegno in un aperto semplicemente connesso A ⊆ R³, allora γ è bordo di una superficie S unione di superfici regolari con bordo S_i ⊂ A, i = 1, ..., n. Dalle proprietà di additività degli integrali curvilinei e di superficie e dal Teorema di Stokes, ne segue che se F è campo vettoriale irrotazionale sull’aperto semplicemente connesso A allora per ogni curva γ semplice, chiusa e regolare a tratti con sostegno in A, risultaR

γF·ds = 0. Dal Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi, F risulta campo vettoriale conservativo in A.

Vale inoltre

Teorema della divergenza di Gauss in R³

Sia F(x, y, z) = (F₁(x, y, z), F₂(x, y, z), F₃(x, y, z)) un campo vettoriale di classe C¹ in un aperto A ⊂ R³ e sia T un dominio normale regolare in A. Allora,

Z

∂T

F · N_eds = Z Z Z

T

div F dxdy

essendo N_e(x, y, z) il versore normale esterno alla superficie ∂T frontiera del dominio T nel punto (x, y, z) ∈ ∂T e div F = ^∂F_∂x¹ + ^∂F_∂y² + ^∂F_∂z³ la divergenza del campo.

Esempi

• Calcoliamo il flusso del campo F(x, y, z) = (0, yz, x) uscente dalla superficie esterna della porzione di parabolide T = {(x, y, z) ∈ R³| x²+ y² ≤ z ≤ 2}. Dal Teorema di Gauss, essendo div F(x, y, z) = z, risulta

Z

∂T

F · N_edσ = Z Z Z

T

div F dxdy = Z Z Z

T

z dxdydz

(19)

ed integrando per strati, posto D_z = {(x, y) | x²+ y² ≤ z}, otteniamo Z

∂T

F · N_edσ = Z 2

0

( Z Z

Dz

z dxdy) dz = Z 2

0

πz²dz = 8 3π

• Calcolare il flusso del campo F(x, y, z) = (y, −x, z) entrante nella superficie S avente per sostegno la sfera di raggio 1 e centro l’origine. Dal Teorema di Gauss, posto T = {(x, y, z) ∈ R³| x²+ y²+ z² ≤ 1}, avremo S = ∂T e

Z

∂T

F · N ds = − Z

∂T

F · N_eds = − Z Z Z

T

div F dxdydz = − Z Z Z

T

dxdydz = −4 3π

• Calcoliamo il flusso del campo F(x, y, z) = (x, y, 2z) uscente dalla superficie laterale S della porzione di cilindro di equazione x² + y² = 1, z ∈ [0, 3]. Osserviamo che posto T = {(x, y, z) | x²+ y² ≤ 1, z ∈ [0, 3]}, risulta ∂T = S ∪ S₀ ∪ S₃, essendo S₀ (rispettivamente S3) la superficie avente per sostegno il disco di equazione x²+ y² = 1, z = 0 (rispettivamente, z = 3). Dal Teorema della divergenza avremo

Z

S

F · N_edσ + Z

S0

F · N_edσ + Z

S3

F · N_edσ = Z

∂T

F · N_edσ = Z Z Z

T

div Fdxdydz.

Essendo div F(x, y, z) = 4 risultaRRR

T div Fdxdydz = 4m(T ) = 12π e quindi avremo che il flusso uscente dalla superficie laterale del cilindro sar`a data da

Z

S

F · Nedσ = 12π − Z

S0

F · Nedσ − Z

S3

F · Nedσ.

Considerata la parametrizzazione ϕ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, 0), ρ ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π], della superficie S₀, risulta ϕ_ρ∧ϕ_θ(ρ, θ) = (0, 0, ρ), vettore parallelo al versore (0, 0, 1) (dunque l’orientamento non `e concorde alla direzione uscente). Avremo allora

Z

S0

F · Nedσ = − Z Z

[0,1]×[0,2π]

F(ϕ(ρ, θ)) · ϕρ(ρ, θ) ∧ ϕθ(ρ, θ)dρdθ = 0

Analogalmente, considerata la parametrizzazione ψ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, 3), ρ ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π], della superficie S₃, risulta ψ_ρ∧ ψ_θ(ρ, θ) = (0, 0, ρ), vettore parallelo al versore (0, 0, 1) (dunque l’orientamento `e concorde alla direzione uscente dal cilindro). Avremo allora

Z

S3

F · N_edσ = Z Z

[0,1]×[0,2π]

F(ψ(ρ, θ)) · ψ_ρ(ρ, θ) ∧ ψ_θ(ρ, θ)dρdθ

= Z Z

[0,1]×[0,2π]

6ρdρdθ = 6π da cui

Z

S

F · N_edσ = 12π − 6π = 6π

(20)

Forme differenziali e Campi vettoriali

Si dice forma differenziale in Rⁿ un’applicazione ω : A ⊂ Rⁿ→ (Rⁿ)^∗, dove con (Rⁿ)^∗ si

`e denotato il duale di Rⁿ, ovvero l’insieme delle applicazioni lineari da Rⁿ in R. Denotati con dx_i ∈ (Rⁿ)^∗ gli elementi della base duale:

dx_i(h) = h_i, ∀h = (h₁, h₂, ..., h_n) ∈ Rⁿ, per ogni x ∈ A potremo scrivere ω(x) ∈ (Rⁿ)^∗ come

ω(x) = a₁(x)dx₁+ a₂(x)dx₂+ ... + a_n(x)dx_n

e le funzioni a_i : A ⊂ Rⁿ → R, i = 1, ..., n verranno dette coefficienti della forma differenziale ω.

Ad esempio, la forma differenziale ω(x, y) = x²dx + xydy `e l’applicazione lineare da R² in R tale che ω(x, y)(h, k) = x²h + xyk per ogni (h, k) ∈ R².

Osserviamo che ad ogni forma differenziale ω : A ⊂ Rⁿ → (Rⁿ)^∗ possiamo associare il campo F_ω : A ⊂ Rⁿ → Rⁿ avente per componenti i coefficienti di ω

ω(x) = a₁(x)dx₁+ a₂(x)dx₂+ ... + a_n(x)dx_n⇐⇒ F_ω(x) = (a₁(x), a₂(x), ..., a_n(x))

Si dice che una forma differenziale ω : A ⊂ Rⁿ → (Rⁿ)^∗ `e esatta se esiste una funzione U : A ⊂ Rⁿ → R tale che DU(x) = ω(x) per ogni x ∈ A essendo DU : A ⊂ Rⁿ → (Rⁿ)^∗ la forma differenziale:

DU (x) = ∂U

∂x₁(x)dx₁+ ∂U

∂x₂(x)dx₂+ ... + ∂U

∂x_n(x)dx_n, x ∈ A

detta differenziale di U . In tal caso la funzione U `e detta primitiva della forma differenziale ω in A.

Osserviamo che se ω(x) = a₁(x)dx₁+a₂(x)dx₂+...+a_n(x)dx_n, la condizione DU (x) = ω(x) per ogni x ∈ A risulta verificata se e solo se risulta

∂U

∂x_i(x) = ai(x), ∀x ∈ A

E chiaro allora che se F` _ω è il campo associato alla forma differenziale ω, avremo che ω risulta esatta in A se e solo se il campo F_ω risulta conservativo in A. Inoltre avremo che U è una primitiva di ω se e solo se U è un potenziale di Fω:

DU = ω ⇐⇒ ∇U = Fω

(21)

Data una forma differenziale ω continua in A ⊂ Rⁿ (ovvero di coefficienti continui in A) e data una curva γ : [a, b] ⊂ R → Rⁿ di classe C¹ si definisce

Z

γ

ω = Z

γ

ω(x)(T (x))ds

dove T (x) `e il versore tangente a γ in x. Se γ(t) = (x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t)), t ∈ [a, b], sono le equazioni parametriche della curva e se ω(x) = a₁(x)dx₁+ a₂(x)dx₂ + ... + a_n(x)dx_n, risulta

Z

γ

ω = Z b

a

a1(γ(t))x⁰₁(t) + a2(x)x⁰₂(t) + ... + an(x)x⁰_n(t)dt

Osserviamo che se F_ω `e il campo associato alla forma differenziale ω, l’integrale lungo γ della forma ω corrisponde al lavoro del campo F_ω lungo γ:

Z

γ

ω = Z

γ

F_ω(x) · ds

Valgono allora i seguenti risultati corrispondenti ai Teoremi sul lavoro di un campo conservativo e sulla caratterizzazione dei campi conservativi

Teorema

Se ω `e forma differenziale esatta e continua sull’aperto A ⊂ Rⁿ allora per ogni curva γ : [a, b] ⊂ R → Rⁿ di classe C¹ risulta

Z

γ

ω = U (γ(b)) − U (γ(a)) essendo U una primitiva di ω in A.

e

Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte

Sia ω forma differenziale continua sull’aperto connesso A ⊂ Rⁿ. Sono equivalenti le seguenti affermazioni

(i) ω `e esatta in A,

(ii) per ogni curva γ chiusa, semplice, regolare a tratti con sostegno contenuto in A risulta R

γω = 0,

(iii) se γ₁ e γ₂ sono curve semplici, regolari a tratti con sostegno contenuto in A aventi medesimo punto iniziale e finale, allora R

γ1ω = R

γ2ω

(22)

Una forma differenziale ω(x) = a₁(x)dx₁+ a₂(x)dx₂ + ... + a_n(x)dx_n di classe C¹ in un aperto A ⊂ Rⁿ `e detta forma differenziale chiusa se risulta

∂a_i

∂x_j(x) = ∂a_j

∂x_i(x), ∀x ∈ A, i = 1, ..., n.

Osserviamo che se F_ω`e il campo vettoriale associato alla forma differenziale ω, avremo che ω risulta forma differenziale chiusa se e solo se il campo vettoriale F_ω risulta irrotazionale.

Si ha allora Teorema

Se ω(x) `e forma differenziale esatta di classe C¹ sull’aperto A ⊂ Rⁿ allora ω `e chiusa in A.

Inoltre Teorema

Se ω(x) `e forma differenziale chiusa in un aperto semplicemente connesso A ⊂ Rⁿ allora ω `e esatta in A.

Nel caso di forme differenziali del piano R², abbiamo le seguenti formule equivalenti al Teorema di Green e di Gauss

Teorema (Formule di Gauss-Green)

Sia f (x, y) una funzione di classe C¹ in un aperto A ⊂ R² e sia D un dominio regolare in A. Allora, denotata con ∂D⁺ la curva semplice e chiusa avente per sostegno la frontiera di D positivamente orientata, risulta

Z

∂D⁺

f (x, y)dy = Z Z

D

∂f

∂x(x, y) dxdy e Z

∂D⁺

f (x, y)dx = − Z Z

D

∂f

∂y(x, y) dxdy Dalle precedenti formule si ottengono le seguenti formule per il calcolo dell’area di un dominio regolare D ⊂ A

m(D) = Z

∂D⁺

x dy = − Z

∂D⁺

y dx = 1 2

Z

∂D⁺

x dy − y dx Infine, il Teorema di Stokes per una forma differenziale ω in R³ diventa Teorema (Formula di Stokes)

Sia ω = a₁dx + a₂dy + a₃dz una forma differenziale di classe C¹ nell’aperto A ⊂ R³ e sia S una superficie regolare con bordo con sostegno contenuto in A. Denotato con ∂S⁺ il bordo positivamente orientato della superficie, risulta

Z

∂S⁺

ω = Z

S

(∂a₃

∂y −∂a₂

∂z ,∂a₁

∂z −∂a₃

∂x,∂a₂

∂x − ∂a₁

∂y ) · N dσ, essendo N il versore normale alla superficie.