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Corso di Algebra - a.a. 2005-2006

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Corso di Algebra - a.a. 2005-2006 Prova scritta del 19.6.2006

1. Dare un esempio di gruppo finito G generato da due elementi di ordine 2, ma il cui ordine non sia una potenza di 2.

2. Sia G un gruppo, e siano H e K suoi sottogruppi. Supponiamo che:

• K sia normale;

• la composizione dell’inclusione H → G e dell’applicazione quoziente G → G/K sia suriettiva.

Mostrare che:

(a) G = HK = KH;

(b) se H ` e abeliano e K ` e contenuto nel centro di G, allora G ` e abeliano.

3. Sia f : A → B un omomorfismo di anelli commutativi, e per ogni ideale I di A denotiamo con I

e

l’ideale di B generato da f (I). Dimostrare che, se I e J sono due ideali di A, allora:

(a) (I + J )

e

= I

e

+ J

e

; (b) (IJ )

e

= I

e

J

e

.

4. Dire se l’anello K[X]/(X

4

+ 7) ` e un dominio d’integrit` a in ciascuno dei seguenti casi:

(a) K = Q;

(b) K = R;

(c) K = Z/2Z.

5. Sia F = Z/5Z, e sia p(X) ∈ F [X] il polinomio X

6

− 1. Sia L il campo di spezzamento di p(X) su F . Calcolare [L : F ].

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Ogni risposta va giustificata.

Su ogni foglio dell’elaborato vanno indicati nome e cognome dello studente.

Riferimenti

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