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Ad esempio, per n = 2, possiamo considerare la generica matrice quadrata del secondo ordine A

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Academic year: 2021

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(1)

Algebra/ Algebra Lineare; 05.03.07 - seconda parte

1. Cosiderata la generica matrice A quadrata di ordine n

A =



a11 . . . a1n

... ... an1 . . . ann

 ,

ci chiediamo sotto quali condizioni sui parametri aij succede che A e’ non singolare o, equivalentemente, che A e’ invertibile.

2. Ad esempio, per n = 2, possiamo considerare la generica matrice quadrata del secondo ordine

A =

· a b c d

¸

e chiederci sotto quali condizioni sui parametri a, b, c, d succede che A e’

non singolare, cioe’ succede che tutti i sistemi lineari che ammettono A come matrice dei coefficienti

½ ax + by = p cx + dy = q sono determinati.

Osserviamo che possiamo combinare linearmente le due equazioni in modo da ottenere una nuova equazione che non contenga l’incognita y :

d(ax + by) − b(cx + dy) = dp − bq

(da − bc)x = dp − bq,

e possiamo combinare linearmente le due equazioni in modo da ottenere una nuova equazione che non contenga l’incognita x :

1

(2)

c(ax + by) − a(cx + dy) = cp − aq

(cb − ad)y = cp − aq.

Osserviamo che, sotto la condizione

ad − bc 6= 0,

possiamo ricavare univocamente sia l’incognita x che l’incognita y :

x = dp − bq ad − bc y = aq − cp ad − bc. Si verifica che questa e’ davvero una soluzione.

3. Definiamo il determinante DetA della generica matrice A quadrata del secondo ordine ponendo:

DetA = Det

· a b c d

¸

= ad − bc.

Possiamo allora riformulare cio’ che abbiamo provato nel punto precedente dicendo che, per ogni matrice A quadrata del secondo ordine,

• se DetA 6= 0, allora A e’ non singolare.

4. Proposizione. Il determinante della matrice prodotto AB di due matrici A, B e’ il prodotto dei determinanti delle matrici fattori:

Det(AB) = DetA DetB.

Verifica Consideriamo due generiche matrici del secondo ordine

A =

· a b c d

¸

, B =

· p q r s

¸ .

e calcoliamo il determinante della matrice loro prodotto

2

(3)

AB =

· ap + br aq + bs cp + dr cq + ds

¸ .

Abbiamo

Det(AB) = (ap + br)(cq + ds) − (aq + bs)(cp + dr)

= acpq + adps + bcqr + bdrs − acpq − adqr − bcps − bdrs

= adps + bcqr − adqr − bcps

= ad(ps − qr) − bc(ps − qr)

= (ad − bc)(ps − qr)

= DetADetB.

5. Possiamo ora affermare che, per ogni matrice A quadrata del secondo ordine,

• se A e’ invertibile, allora DetA 6= 0.

Infatti, se la matrice A possiede inversa, allora si ha

Det(A)Det(A−1) = Det(AA−1) = Det(I2) = Det

· 1 0 0 1

¸

= 1,

e cio’ implica DetA 6= 0.

6. Da quanto visto nei punti precedenti segue che, per ogni matrice A quadrata del secondo ordine, le tre proposizioni

• A e’ non singolare;

• A e’ invertibile;

• DetA 6= 0 sono equivalenti.

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