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Corso di Fisica Argomento 2
Vettori
La definizione di vettore
I vettori sono enti matematici descritti compiutamente da tre caratteristiche:
• modulo
• direzione
• verso
In Fisica si considera una quarta caratteristica:
• punto di applicazione
3
punto di applicazione direzione
verso modulo
𝒗
La posizione reciproca di due vettori
Vettori paralleli e concordi
Vettori paralleli e discordi
Vettori sghembi Vettori perpendicolari
𝒖 𝒗
𝒖
𝒗
𝒖
𝒖
𝒗
𝒗
Il prodotto tra uno scalare e un vettore
Il prodotto tra uno scalare 𝑎 e un vettore Ԧ𝑣 è un vettore che si scrive come 𝑎 Ԧ𝑣 e avente le seguenti caratteristiche:
• modulo: 𝑎 Ԧ𝑣 = 𝑎 Ԧ𝑣
• direzione: la stessa di Ԧ𝑣
• verso: ൝quello di Ԧ𝑣 se 𝑎 > 0
quello opposto di Ԧ𝑣 se 𝑎 < 0
5
𝒗
𝟐𝒗 𝒗
−𝟐𝒗
𝒗
−𝒗
(Opposto)
Esercizio 2.1
Il vettore 3𝜔 è definito come quel vettore:
a) perpendicolare a 𝜔 e con modulo 3𝜔 b) perpendicolare a 𝜔 e con modulo 𝜔/3
c) parallelo e concorde a 𝜔 e con modulo 3𝜔 d) parallelo e discorde a 𝜔 e con modulo 3𝜔 e) nessuna delle risposte precedenti
La somma vettoriale:
il metodo del parallelogramma
La somma di due vettori 𝑢 e Ԧ𝑣 è ancora un vettore che si denota come Ԧ𝑠 = 𝑢 + Ԧ𝑣 ; direzione e verso di Ԧ𝑠 di determinano con il metodo del parallelogramma:
7
𝒖
𝒗
𝒖
𝒗
𝒖
𝒗
00 01 02 03
La somma vettoriale:
il metodo del punta-coda
È un metodo alternativo al metodo del parallelogramma ma che conduce, ovviamente, allo stesso risultato:
𝒖 𝒖
𝒗 𝒖
𝒗 𝒗
00 01 02
Esercizio 2.2
Quale fra i seguenti casi rappresenta la somma dei vettori a) il numero 1
b) il numero 2 c) il numero 3 d) il numero 4
e) nessuno fra i casi
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La somma di vettori paralleli con il metodo del punta-coda
Il metodo del punta-coda risulta particolarmente vantaggioso quando si calcola la somma di vettori paralleli; in questo caso si riesce anche a determinare immediatamente il modulo del vettore somma. Esempi:
𝒂 𝒃
𝒂 𝒃
𝒂
𝒂 𝒃
𝒃
𝒔 = 𝒂 + 𝒃
𝒔 = 𝒂 + 𝒃 𝒔 = 𝒗 + −𝒗 = 𝒗 − 𝒗 = 𝟎
𝒗
−𝒗
Ԧ𝑠 = Ԧ𝑎 + 𝑏 Ԧ𝑠 = 𝑏 − Ԧ𝑎
Esercizio 2.3
La somma dei vettori 𝑎 e 𝑏 rappresentati in figura è: Ԧ a) un vettore di modulo 7 parallelo ad 𝑎 e 𝑏Ԧ
b) un vettore di modulo 5 parallelo ad 𝑎 e 𝑏Ԧ
c) un vettore di modulo 5 perpendicolare ad 𝑎 e 𝑏Ԧ
d) un vettore di modulo 1 parallelo ad 𝑎 e 𝑏 e concorde ad ԦԦ 𝑎 e) un vettore di modulo 1 parallelo ad 𝑎 e 𝑏 e concorde a 𝑏Ԧ
11
Ԧ 𝑎 𝑏 Ԧ
𝑎 = 3 𝑏 = 4
Calcolo del modulo del vettore somma nel caso di vettori non paralleli
𝒖
𝒗
Ԧ𝑠 = 𝑢 2 + Ԧ𝑣 2 = 𝑢2 + 𝑣2
Teorema di Pitagora
𝒖 𝒗
Ԧ𝑠 = 𝑢2 + 𝑣2 + 2𝑢 𝑣cos 𝜗
Teorema di Carnot
Esercizio 2.4
Due vettori perpendicolari hanno moduli di 5 e 12. Il modulo del vettore somma vale:
a) 13 b) 169 c) 17 d) 7 e) -7
13
Esercizio 2.5
La somma di due vettori, di modulo 1 e 2 rispettivamente, ha modulo 7; quanto vale l’angolo tra i due vettori?
a) 0°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) 90°
Scomposizione in componenti
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𝒗
𝒗𝒙 𝒗𝒚
𝒐 𝒙
𝒚
𝝑
Ԧ
𝑣 ≡ 𝑣
Ԧ
𝑣 = Ԧ𝑣𝑥 + Ԧ𝑣𝑦
ቊ𝑣𝑥 = 𝑣 cos 𝜗 𝑣𝑦 = 𝑣 sin 𝜗
𝑣 = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 𝜗 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑣𝑥 𝑣𝑦
Il vettore 𝑣 si scrive come somma Ԧ vettoriale dei suoi vettori
componenti.
Conoscendo 𝑣 e 𝜗 è possibile ricavare il modulo dei vettori componenti.
Conoscendo 𝑣𝑥 e 𝑣𝑦 è possibile ricavare 𝑣 e 𝜗 .
Il prodotto scalare
Il prodotto scalare tra due vettori 𝑢 e Ԧ𝑣, che si denota come 𝑢 ∙ Ԧ𝑣, è uno scalare (ovvero un numero), definito come:
𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜗 = 𝑢𝑣 cos 𝜗Ԧ
𝒖
𝒖 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝒗
𝒗 𝐜𝐨𝐬 𝝑
𝝑
Esercizio 2.6
Il prodotto scalare tra due vettori 𝑢 e Ԧ𝑣, entrambi diversi dal vettore nullo, è nullo quando:
a) 𝑢 e Ԧ𝑣 sono paralleli e concordi b) 𝑢 e Ԧ𝑣 sono paralleli e discordi
c) 𝑢 e Ԧ𝑣 sono paralleli, discordi e hanno lo stesso modulo d) 𝑢 e Ԧ𝑣 sono paralleli, concordi e hanno modulo opposto e) sono perpendicolari
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Esercizio 2.7
Il prodotto scalare tra due vettori 𝑢 e Ԧ𝑣, entrambi diversi dal vettore nullo, è positivo:
a) sempre, indipendentemente dalle caratteristiche dei due vettori b) mai
c) quando i due vettori formano tra loro un angolo acuto d) quando i due vettori formano tra loro un angolo ottuso
e) quando i moduli dei due vettori sono entrambi positivi oppure entrambi negativi
Il prodotto vettoriale
Dati due vettori 𝑎 e 𝑏, il loro prodotto vettoriale è ancora un vettore,Ԧ che si denota come 𝑎 × 𝑏, avente le seguenti caratteristiche:Ԧ
• modulo: Ԧ𝑎 𝑏 sin 𝜗 ≡ 𝑎𝑏 sin 𝜗
• direzione: retta perpendicolare al piano individuato da 𝑎 e 𝑏Ԧ
• regola della mano destra
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Esercizio 2.8
Il prodotto vettoriale tra due vettori 𝑢 e Ԧ𝑣, entrambi diversi dal vettore nullo, è nullo quando:
a) i due vettori sono paralleli
b) i due vettori sono perpendicolari
c) i due vettori hanno modulo di segno opposto
d) non è possibile rispondere poiché non si hanno abbastanza informazioni sui due vettori
a) nessuna delle risposte precedenti
Compiti
Teoria: Editest, Manuale di Teoria, Capitolo 1 (pagg. 271-278) Esercizi: Editest, Manuale di Esercizi, n° 96-111
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