PARTE 2: VETTORI LIBERI

PARTE 2: VETTORI LIBERI

2.1 Introduzione

Ad un segmento orientato PQ sono associati un ORIENTAMENTO (insieme di una direzione ed un verso), un'ORIGINE (punto P), un ESTREMO (punto Q) ed una lunghezza o modulo (distanza fra P e Q). L'insieme degli infiniti segmenti equiorientati aventi uno stesso modulo ed un'origine arbitraria nello spazio ordinario (SEGMENTI EQUIPOLLENTI), individuano un ente astratto, che si chiama VETTORE LIBERO e che viene indicato con una lettera sovrastata da una freccia ( &

V ). Il modulo di sarà indicato con V oppure con | &

V |. Ognuno dei segmenti orientati equipollenti che costituiscono il vettore viene chiamato RAPPRESENTANTE o vettore APPLICATO. Il rappresentante di &

V con origine in P ed estremo in Q sarà indicato con le notazioni PQ, oppure (P, &

V ).

2.2 Componente di un vettore secondo una direzione orientata

Su una qualunque retta r appartenente ad un fascio di rette parallele equiorientate si proiettino ortogonalmente l'origine e l'estremo del generico

rappresentante PQ del vettore &

V (Fig. 2.1).La quantità scalareV_r, data dalla espressione

V_r =x_Q'−x_P' (2.1)

dove xP' e xQ' sono le ascisse dei punti proiezione P' e Q', si chiama la COMPONENTE di &

V secondo la direzione orientata della retta r. Di &

V si consideri il rappresentante P'P" e si

indichi con θ l'angolo ≤ π che la retta orientata v ad esso sovrapposta forma con r. Si osserva che V_r è positiva, negativa o nulla a seconda che θ sia minore, maggiore od uguale a π/2 e che

V_r = cosθ Vale pertanto l'identitàV

V_r = cosθV (2.2)

Rispetto alla terna cartesiana Oxyz di Fig. 2.2 risulta

V_x =x_Q −x_P; V_y = y_Q− y_P; V_z =z_Q −z_P (2.3)

P Q

P′ θ

O P′′

r Q′

Fig. 2.1

v

Il modulo del vettore &

V coincide con la distanza fra P e Q, esso è quindi dato da

( ) ( ) ( ) ( )

V = x_Q−x_P + y_Q− y_P + z_Q −z_P V_x V_y V_z

 

 = + +

2 2 2 1

2 2 2 2

1

2 (2.4)

Nel caso in cui P≡ O le componenti cartesiane divengono

V_x =x; V_y = y; V_z =z (2.5)

dove x,y,z rappresentano le coordinate dell'estremo del rappresentante OQ. Per indicare che V_x, V_y e V_z sono le componenti del vettore &

V si scrive: ^{V& =}

(

^{Vx, V Vy, z}

)

^Siano

α, β e γ i COSENI DIRETTORI della retta r sovrapposta al rappresentante OP e con esso equiorientata, cioè i coseni degli angoli ≤ π che r forma con gli assi della terna stessa.

Dalla (2.2) segue

V_x =αV; V_y =βV; V_z =γV (2.6)

e quindi

α =V β= γ =

V

V V

V V

x; y; z (2.7)

Un vettore di modulo unitario che abbia l'orientamento del vettore &

V (o della retta orientata r) si chiama VERSORE di &

V (o di r) e lo si indica con il simbolo V . Per i versori di una terna cartesiana Oxyz si useranno, nell'ordine, i simboli i , j e k . Dalla (2.5) segue che le componenti cartesiane di V coincidono con i coseni direttori α, β e γ.

ESEMPIO 1. Un vettore il cui modulo V è uguale a 3 forma angoli di π/3, π/4 e 2π/3 rad, rispettivamente con gli assi x,y e z di una terna cartesiana. Se ne calcolino le componenti V_x,

V_y e V_z. Soluzione:

I coseni direttori α , β e γ risultano essere:

α π

β π

γ π

=cos = ; = ; = −

3 1 2

2

2 3

1 = cos 2

4 = cos2

x

y z

x_P x_Q

z_P z_Q

P O

Q

P′

Q′

Fig. 2.2

V_x =αV = 3 V =βV = V_z =γV = − 2

3 2 2

3

; _y ; 2

2.3 Somma geometrica (o risultante) di più vettori

Di un generico sistema di N vettori si considerino I rappresentanti P1P2, P2P3...PN-1PN, con P1

arbitrario, i quali individuano una linea spezzata P1P2...PN che risulta generalmente aperta (Fig. 2.3). Si definisce SOMMA GEOMETRICA o RISULTANTE degli N vettori, e lo si indica con &

R il vettore che ha come rappresentante il segmento orientato P1PN. Dalla definizione segue, come osservato in Fig.3, che la somma geometrica non muta ove si inverta l'ordine degli addendi o si sostituisca a due o più vettori la loro somma geometrica. Valgono quindi per questa operazione fra vettori proprietà analoghe a quelle valide per la

ope- razione di somma fra numeri (proprietà COMMUTATIVA ed ASSOCIATIVA). Dalle (3) segue che la somma delle componenti cartesiane dei vettori addendi è uguale alla omologa componente del loro risultante &

R . Si ha infatti

(

^{x2 −x1}

) (

^{+ x3 −x2}

)

^{+ +}

(

^{xN −xN−1}

)

^{=xN − =x1 Rx}

(

^{y2− y1}

) (

^{+ y3−y2}

)

^{+ +}

(

^{yN −yN−1}

)

^{= yN − y1 = Ry (2.8)}

(

^{z2 −z1}

) (

^{+ z3−z2}

)

^{+ +}

(

^{zN −zN−1}

)

^{=zN − =z1 Rz}

Nel caso di due soli vettori, P1P2 e P2P3, &

R ha come rappresentante la diagonale P1P3 del parallelogramma costruito sui due vettori.

2.4 Decomposizioni notevoli di un vettore

Date le tre rette r1, r2, r3 passanti per un medesimo punto O e non complanari, del vettore &

V si consideri il rappresentante OQ e si conducano per Q tre piani rispettivamente paralleli ai piani rkrl (k, l=1,2,3 con k≠ l) (Fig. 2.4). Resta così delimitato un parallelepipedo i cui spigoli individuano tre vettori &

V₁, &

V₂ e &

V₃ rispettivamente paralleli alle rette r1, r2 ed r3 ed aventi per

P₁

P₃ P₂

P₄ P₅ P_N

P_4’

&v₂

&v₅

&v₃

&v₄

& &

v₁ +v₂

&

R

&v₁

&v₃

&v₄

Fig. 2.3

somma geometrica il vettore &

V . Se &

V è parallelo ad uno qualunque dei piani rkrl, il parallelepipedo si riduce ad un

parallelogramma ed uno dei tre vettori COMPONENTI risulta nullo. Nel caso in cui le tre rette coincidano con gli assi cartesiani si ha:

& & &

V₁ =V i V_x; ₂ =V j V_y; ₃ =V k_z e quindi

&

V =V i V j V k_x+ _y+ _z (2.9) Altra decomposizione notevole del vettore &

V è quella secondo la direzione orientata di versore r e la GIACITURA comune ad un

fascio di piani fra loro paralleli ed ortogonali ad r . Siano OQ un rappresentante di &

V ed r e π la retta ed il piano passanti per O , rispettivamente appartenenti alla direzione ed alla giacitura considerate (Fig. 2.5). Siano Q' e Q" le proiezioni ortogonali di Q su r e su π, rispettivamente. I lati del

parallelogrammaOQ'QQ" individuano due vettori che hanno &

V come somma geometrica e che sono rispettivamente paralleli alla direzione orientata di versore r ed alla giacitura di π .

ESEMPIO 2. Dati i vettori ^V&1 ≡ −

(

1 2 2, , ,

)

^V&2 ≡ , ,

(

0 3 2 ,

)

^V&3 ≡ − , ,

(

1 2 0 si determinino:

)

a) il risultante &

R ;

b) il versore ed i coseni direttori di &

R . Soluzione:

a) ^R& = + −

(

1 0 1

) (

ⁱ+ − + +2 3 2

) (

^j+ + +2 2 0

)

^k b) ^R=

(

^{Rx2 +R2y}

)

^{21 =}

⁽

^{32 +42}

⁾

^{12 =5}

α = R = β = γ = =

R

R R

R R

x 0 y 3 z

5

4

; = ; 5

r₁

r₃

r₂ O

Q

Fig. 2.4

Q′ Q

π O

Q′′

Fig. 2.5 r

  

R R

R j k

= = +

&

3 5

4 5

2.5 Prodotto di un vettore per uno scalare Dato un numero reale a ed un vettore &

V , si definisce loro prodotto quel vettore &

U che ha modulo uguale ad a V , direzione coincidente con quella di &

V , verso concorde con &

V se a>0, discorde se a<0. Dalla definizione segue che le componenti di &

U sono legate a quelle di &

V dalle relazioni

( )

U_l =Uα_l = a V α_l = ±a V_l =aV_l (l=1,2,3) (2.10)

dove αl è il coseno direttore rispetto all'asse cartesiano ellesimo del vettore &

U . Dalla definizione segue che moltiplicando il vettore &

V per lo scalare positivo 1/V si ottiene un vettore di modulo unitario concorde con &

V . Si ha pertanto la relazione

V V

=V

&

(2.12) che fornisce un modo alternativo per rappresentare un versore.

2.6 Prodotto scalare fra due vettori

È la quantità SCALARE definita come il prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo fra di essi compreso

& &

V U VU⋅ = cosθ (2.13)

Si osserva che il prodotto scalare ( )⋅ fra due vettori è un numero relativo il cui segno coincide con quello di cosθ . Poichè ^{V cos}θ rappresenta per la (2.2) la componente Vudi &

V secondo la retta u sovrapposta a &

U e U cosθ la componente Uvdi &

U secondo la retta v sovrapposta a &

V , si ha anche

& &

V U VU⋅ = _v =V U_u (2.14)

Nel caso in cui il secondo vettore sia il versore di una retta orientata u , il prodotto scalare di

&

V per U rappresenta la componente secondo u di &

V ; si ha cioè

&

V U V⋅ = _u (2.14’)

Dalla (13) segue che: condizione necessaria e sufficiente affinchè due vettori siano ortogonali è che il loro prodotto scalare sia nullo. Risulta inoltre che il prodotto scalare di un vettore per se stesso è uguale al quadrato del modulo del vettore

& &

V V⋅ =V² (2.15)

Dalla definizione (2.13) e dalla proprietà commutativa ed associativa valida per il prodotto fra numeri segue che

( )

^{aV U}& &

^{( )}

^{a V U V a U}

^{( )}

^{V aU}&

( )

&

⋅ = cosθ = cosθ = ⋅ (2.16)

essendo a un numero reale.

Per il prodotto scalare valgono le proprietà COMMUTATIVA e DISTRIBUTIVA. Si ha infatti

& & & &

V U⋅ =VUcosθ =UVcosθ = ⋅U V (2.17)

( ) ^{( ) ( )}

& & & & & & &

V U W⋅ + =V U W+ _v =V U_v +W_v =VU_v +VW_v = ⋅ + ⋅V U V W (2.18)

Ove si tenga conto della ortogonalità dei versori i , j e k e del loro modulo unitario si riconosce che

     

i j⋅ = ⋅ = ⋅ = 0i k j k (2.19)

      i i⋅ = ⋅ = ⋅ = 1j j k k

Facendo uso della proprietà distributiva del prodotto scalare e della rappresentazione cartesiana dei vettori si ottiene la seguente importantissima espressione per il prodotto scalare

( ) ( )

& &

V U⋅ = V i V j V k_x+ _y+ _z ⋅ U i U j U k_x+ _y+ _z =V U_{x x} +V U_{y y} +V U_{z z} (2.20) dalla quale, per confronto con la (2.13),si ricava l'espressione cartesiana del coseno dell'angolo fra i due vettori

cosθ =V U +V U +V U VU

x x y y z z

(2.21)

In forma cartesiana la condizione di ortogonalità diviene quindi

V U_{x x} +V U_{y y} +V U_{z z} = 0 (2.22)

2.7 Prodotto vettoriale

Si definisce come prodotto vettoriale di &

U per &

V e lo si indica con il simbolo & &

U V× il vettore

&

W , ortogonale ad &

U ed a &

V , il quale, personificato, veda il primo vettore ruotare di un angolo ≤ π in senso antiorario per andare a sovrapporsi al secondo ed il cui modulo sia uguale all'area del parallelogramma costruito sui due vettori. Dalla Fig. 2.6, si riconosce che

W =UVsinθ ⁰≤ ≤θ π (2.23)

la quale implica che: condizione necessaria e sufficiente affinchè due vettori siano fra di loro paralleli è che si annulli il loro prodotto

vettoriale.Dalla definizione di prodotto vettore segue che

  ;   ;   

i × =j k j k × =i k i× = j (2.24)

     

i i× = × = × = 0j j k k

Il prodotto vettore non gode della proprietà commutativa, infatti dalla definizione risulta:

& & & &

V U× = − ×U V (2.25)

2.8 Prodotto misto Dati tre vettori &

U , &

V e &

W si chiama prodotto misto la quantità scalare che si ottiene moltiplicando scalarmente il prodotto vettore dei primi due per il terzo vettore

(

^{U V W& × &}

)

^{⋅ & (2.26)}

Si indichi con θ l'angolo fra U e V e con ϕ quello fra

(

^{U V&× &}

)

^e W (cfr. Fig.7); risulta^&

(

^{U V W& × &}

)

^{⋅ =& U V W&× & cosϕ =}

⁽

^VUsinθ

⁾

^{Wcosϕ θ ϕ π, ≤ (2.27)}

&

U θ

&

& & V U V×

& &

V U×

V sinθ

Fig. 2.6

Di &

U , &

V e &

W si considerino tre rappresentanti applicati in uno stesso punto O e si costruisca su di essi un parallelepipedo. La quantità

(

^{VU sin}θ rappresenta l'area S del parallelogramma

)

di base costruito sui vettori &

U e &

V , mentre la quantità (W cosϕ ) ne dà l'altezza con segno. Si deduce dalla (27) e dalla Fig. 2.7 che il prodotto misto fornisce il volume con segno del parallelepipedo costruito sui tre vettori e che il suo annullamento esprime la condizione di COMPLANARITÀ fra i tre vettori. Il prodotto misto risulta positivo se ϕ π< / 2 , cosa che accade quando la terna dei vettori &

U , &

V e &

W sia levogira. Il carattere levogiro della terna ed il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori risultano INVARIANTI rispetto ad una PERMUTAZIONE CICLICA dei vettori; quindi

(

^{& &}

)

^&

(

^{& &}

)

^&

(

^& & &

)

U V W× ⋅ = V W U× ⋅ = W U V× ⋅ (2.28)

Quando si applichi la regola di sviluppo di un determinante in termini degli elementi di una riga e si usi la rappresentazione cartesiana dei vettori, è facile constatare la seguente identità, che costituisce un'utile regola mnemonica per il calcolo del prodotto misto

( )

( ) ^{( )} ( )

& & &

U V W

U U U

V V V

W W W

U V W V W U V W V W U V W V W

x y z

x y z

x y z

x y z z y y x z z x z x y y x

× ⋅ = =

= − − − + −

(2.29)

2.9 Proprietà e componenti cartesiane del prodotto vettore Il prodotto vettore gode della proprietà DISTRIBUTIVA

(

^{U V& + &}

)

^{×W U W V W& = × + ×& & & & (2.30)}

Infatti, dalla invarianza del prodotto misto rispetto ad una permutazione ciclica dei fattori (2.28) risulta

&

U

& &

U V×

Fig. 2.7 θ

&

V φ

&

W

( ) ( )

( )

& & & & & & & & & &

& & & & & & & &

U V W i W i U V W i U W i V

U W i V W i U W V W i

+ × ⋅ = × ⋅ + = × ⋅ + × ⋅ =

= × ⋅ + × ⋅ = × + × ⋅

   

   (2.31)

Per la (2.14') il primo e l'ultimo termine della (2.31) rappresentano la componente secondo l'asse x dei vettori

(

^{U V& + &}

)

^{× e W&}

(

^{U W V W&× + ×& & &}

)

, rispettivamente. Analoghe identità valgono per le altre due componenti cartesiane. Ciò garantisce l'uguaglianza fra i vettori e quindi prova la (2.30). Sia

( ) ( )

& & &

W U V= × = U i U j U k_x+ _y+ _z × V i V j V k_x+ _y+ _z (2.32) Dalle (2.30) e (2.24) si ha

( ) ^{( )} ( )

& & &

W U V= × = U V_{y z} −U V i_{z y} + U V_{z x} −U V j_{x z} + U V_{x y} −U V k_{y x}  (2.33) ossia

W_x =U V_{y z} −U V_{z y}

W_y =U V_{z x} −U V_{x z} (2.34)

W_z =U V_{x y} −U V_{y x}

le quali rappresentano le componenti cartesiane del prodotto vettore. Una regola mnemonica atta ad esprimere in forma cartesiana il prodotto vettore è ancora basata sullo sviluppo di un determinante secondo gli elementi di una riga:

( ) ^{( )} ( )

& & &

W U V

i j k

U U U

V V V

U V U V i U V U V j U V U V k

x y z

x y z

y z z y z x x z x y y x

= × ⋅ = =

= − + − + −

  

  

(2.35)

In base alla (2.35) la condizione di annullamento del prodotto vettoriale e quindi di PARALLELISMO fra due vettori è espressa in forma cartesiana dalle seguenti condizioni

U V

U V

U V

x x

y y

z z

= = (2.36)

ESEMPIO 3. Rispetto ad una terna trirettangola Oxyz siano dati i vettori: &

V₁ = +i 3j−2k ;

&

V₂ =  ; 2i &

V₃ = − +i 3k e la retta r di coseni direttori:α =1 2/ ; β =1 2/ ; γ = 2 2/ . Si determinino:

a) i prodotti scalare e vettoriale dei vettori &

V₂ e &

V₃ ed il prodotto misto di &

V₁, &

V₂ e &

V₃; b) il risultante &

R dei vettori ed i coseni direttori di &

R ; c) le componenti

( )

^V&1 r,

( )

^V&2 r e

( )

^V&3 r.

Soluzione:

a) & &

V V₂⋅ ₃ = + − +( 2)( ) ( )( ) ( )( )1 0 0 + 0 3 = −2

& &

V V

i j k

i j k j

2 3 2 0 0

1 0 3

0 0 0 3

2 0

1 3

2 0

1 0 6

× =

−

= − − + − = −

  

   

& & &

V₁ V V_{2 3}

1 3 2

2 0 0

1 0 3

10 0

0 3 3 2 0

1 3 2 2 0

1 0 18

× ⋅ =

−

−

= − − − − = −

b) ^R& = + −

(

1 2 1

) (

ⁱ+ + +3 0 0

) (

^j+ − + +2 0 3

)

^k= 2ⁱ+3 ^{j k}+

( )

R= 2² +3² +1² = 14

1 2

α = 2 β = γ =

14

3 14

1

; ; 14

c) r=  i j k

 +

 

 −



 

 1

2

1 2

2 2

( )

^V&1 r ^{V r&}1 1 1

2 3 1

2 2 2

2 2 2

= ⋅ =  

 + 

 

 + −



 

 = −

 ( ) ( ) ( )

( )

^V&2 r ^{V r&}2 2 1

2 0 1

2 0 2

2 1

= ⋅ = 

 

 + 

 

 +



 

 =

 ( ) ( ) ( )

( )

^V&3 r ^{V r&}3 1 1

2 0 1

2 3 2

2

3 2 1

= ⋅ = −   2

 + 

 

 +



 

 = −

 ( ) ( ) ( )

2.10 Doppio prodotto vettore

Nello studio della meccanica accade di dover considerare il prodotto vettoriale di un vettore per un altro, il quale a sua volta rappresenti il prodotto vettoriale di altri due. Valgono le seguenti identità

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

& & & & & & & & &

& & & & & & & & & & & &

U V W U W V U V W

U V W W V U U W V V W U

× × = ⋅ − ⋅

× × = × × = ⋅ − ⋅ (2.36)

le quali possono essere verificate constatando la uguaglianza delle componenti cartesiane dei vettori a primo e a secondo membro applicando due volte la regola (2.35).

2.11 Funzioni vettoriali

Se ad ogni valore della variabile numerica t appartenente all'intervallo

[ ]

^{t t1, 2} è associato un vettore &

V , si dice che è definita in

[ ]

^{t t1, 2} la funzione vettoriale &

V . Ciò equivale a dire che sono definite le tre funzioni scalari V t_x( ), V t_y( ) e V t_z( ) , che rappresentano le componenti cartesiane di &

V

&

V t( )=V t i V t j V t k_x( )+ _y( ) + _z( )  (2.37) Per le funzioni vettoriali i concetti di limite, continuità, derivazione ed integrazione si introducono a partire dagli analoghi concetti per le funzioni scalari. Così si dirà che la funzione &

V tende al limite ^{U t&( )≡}

(

^{U U Ux, y, z}

)

^{per t→t t0}

(

^{0 ∈}

^{[ ]}

^{t t1, 2}

)

se esistono i limiti e sono verificate le uguaglianze

lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( )

t t x x

t t y y

t t z z

V t U V t U V t U

→ = → = → =

0 0 0

(2.38)

La funzione &

V si dirà CONTINUA in ^{t0 ∈ ,}

[ ]

^{t t1 2 se}

lim ( ) ( )

t t V t V t

→ =

0 0

& &

(2.39)

Infine la funzione &

V t( ) si dice derivabile quando siano derivabili le funzioni scalari V t_x( ), V t_y( ) e V t_z( ) ; la funzione DERIVATA dV t& dt

( ) / è definita come la funzione vettoriale le

cui componenti coincidono con le derivate delle funzioni (scalari) componenti. Vale quindi la relazione

dV t dt

dV t

dt i dV t

dt j dV t dt k

x y z

&

( ) ( )

 ( )

 ( ) 

= + + (2.40)

Il concetto di funzione vettoriale può essere esteso al caso in cui le variabili numeriche siano più di una. In questa circostanza le definizioni di limite, continuità e derivate parziali si deducono dalle corrispondenti definizioni per le funzioni scalari a più variabili applicate alle componenti della funzione vettoriale data. Ove tutte od alcune delle variabili reali rappresentino le componenti di vettori si avranno funzioni VETTORIALI DI VARIABILI VETTORIALI. Si parlerà, ad esempio, di campi di forza che dipendono dalla posizione, dalla velocità e dal tempo

& & &

V = ( , , , , )V x y z v t (2.41)

Per il calcolo dei limiti e delle derivate di una funzione vettoriale valgono regole analoghe a quelle valide per le funzioni scalari.