5 Modellazione Numerica ed Analisi Strutturale

5 Modellazione Numerica ed Analisi Strutturale

In sintesi ciò che si propone in questo capitolo è anzitutto un modello matematico per lo stato attuale della costruzione.

L’analisi time history fatta poi su tale modello intende riprodurre la prova dinamica eseguita sul campanile in data 08/02/2006, descritta la Capitolo 3 della presente Tesi.

Si prende in considerazione anche uno stato modificato della struttura, costruito sulle basi dello stato attuale; il nuovo stato si propone di far assomigliare quanto più possibile la costruzione al campanile esistito precedentemente agli anni della Guerra.

L’intervento progettato non intende costituire un adeguamento sismico a fini strutturali, bensì le modifiche assolvono ad esigenze funzionali ed architettoniche.

Su entrambi i modelli si è eseguita prima una analisi modale, poi una analisi dinamica modale associata allo spettro di risposta definito nella “nuova Normativa antisismica”.

Infine si propone una nuova modellazione non lineare della struttura, per la quale ricavare le curve di capacità della struttura attraverso una analisi statica non lineare.

5.1 Modellazione agli elementi finiti del campanile

Il campanile in studio è stato modellato mediante l’utilizzo del software SAP2000© v. 9.0.3. La struttura è costituita, come descritto al paragrafo 1.2, da un telaio tridimensionale in c.a. rivestito da pannelli in c.a. di spessore pari a 20cm; tali pannelli risultano vincolati esclusivamente alle travi di bordo dei solai, mentre tra pannello e pilastri è presente una guarnizione in gomma che va a costituire un giunto di spessore pari a 6mm, indicato in rosso nella pianta di fig. 5.1.

50 20

70 300 70

Giunti in gomma 6mm

Il giunto risulta continuo lungo l’intera altezza della costruzione.

Si riportano in fig. 5.2 alcune fotografie del giunto in gomma tra colonna e pannello.

fig. 5.2 Particolare del giunto in gomma tra colonna e pannello

5.1.1 Analisi dell’interazione tra colonne e pannelli

Si intende anzitutto accertare se esista l’eventualità che il pannello possa interagire, a causa della deformazione della struttura, con le colonne lungo le superfici verticali adiacenti, separate dalla gomma del giunto.

Nell’ipotesi di solai di piano infinitamente rigidi, accettabile per la struttura in esame, la configurazione indeformata e quella deformata, a seguito di un’azione tagliante agente nel piano del solaio, è schematizzata in fig. 5.3 (si limita la rappresentazione al tratto di edificio compreso tra due ripiani consecutivi).

IV ripiano V ripiano IV ripiano V ripiano h 370 h 370 d d 1 2 1' 2'

fig. 5.3 Deformata generata da uno spostamento relativo di piano

Nella figura lo spostamento relativo di piano è indicato con d.

Ci proponiamo dunque di determinare il valore massimo dello spostamento di interpiano dei pilastri, , in corrispondenza del quale il pannello deformato entra in contatto con la faccia verticale della colonna adiacente, anch’essa deformata.

max

d

Oltre questo valore di d il pannello ed il pilastro inizierebbero ad interagire attraverso il giunto di gomma, il cui spessore risulterebbe ridotto.

Nel caso in cui si ritenga che ciò possa verificarsi, si dovrà modellare l’interazione che ne consegue tra pannello e pilastri.

Per far ciò, ad esempio, si potrebbero impiegare dei “gap” (molle unidirezionali reagenti esclusivamente a compressione) opportunamente disposti nel modello al Sap2000©.

Nel caso in cui si ritenga che tale interazione possa non manifestarsi (risultando il valore di sufficientemente ampio, ovvero lo spessore in gomma pari a sufficientemente elevato) si potranno allora modellare i pannelli come completamente svincolati dalle colonne, ottenendo così un modello per l’analisi numerica assai più semplice.

max

d 6mm

L’azione tagliante, che deforma il telaio come in fig. 5.3, si ripartisce tra le colonne ed il pannello in base alle rispettive rigidezze (si considera nel calcolo la sola rigidezza flessionale per le colonne e la sola rigidezza a taglio per il pannello).

Lo spostamento in testa di ogni singola colonna (spostamento del nodo 1 nella posizione 1’, in fig. 5.3 e fig. 5.4) vale:

col col EJ h F d 12 3 = ucol(z) z h/2 h/2 d d/2 Fcol 1 1'

fig. 5.4 Deformata della colonna dovuta allo spostamento relativo di piano

I vertici del pannello in corrispondenza del ripiano superiore (spostamento del nodo 2 nella posizione 2’ di fig. 5.3 e fig. 5.5) si spostano della stessa quantità d (essendo il pannello direttamente vincolato alla trave di bordo del solaio e questa alle sommità dei pilastri):

pann pann

hF GA

d = χ

(

χ =1,2

)

La linea d’asse della deformata delle colonne ha equazione nota, assunto un comportamento elastico lineare dell’elemento ed una infinita rigidezza delle travi nel piano del telaio.

Per la simmetria geometrica del problema, si ha (vedi fig. 5.4):

( )

col col EJ h F d 3 2 2 3 =

Scelto come sistema di riferimento quello indicato in fig. 5.4 e considerando ai fini deformativi solo il contributo flessionale per le colonne, tralasciando quello tagliante, si può scrivere (caso di sezione prismatica):

( )

_{( )}

z M dz z u d EJ col col col 2 =− 2

L’integrale della linea elastica fornisce l’equazione dell’asse della deformata (relativa a mezza colonna):

( )

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 3 2 3 2 3 1 2 2 2 h z h z EJ h F z u col col col 2 0≤ z≤h .

In fig. 5.5 segue invece la rappresentazione della deformata del pannello.

upann(z) z h/2 h/2 d d/2 Fpann 2 2'

Il lato del pannello deformato di fianco alla colonna è rappresentato dall’equazione di una retta inclinata, rispetto all’orizzontale, di un angolo:

pann pann pann F GA χ ϑ =

Si ha allora u_pann

( )

z =ϑ_pannz (vedi fig. 5.6).

Non si ha contatto diretto tra pannello e colonne fintantoché risulta verificata la disuguaglianza seguente:

( )

z u

( )

z mm

upann − col ≤6

u(z) z

upann(z)-ucol(z)

d

d/2

h/2

fig. 5.6 Schema di calcolo per la determinazione di d_max

Limitandosi al tratto 0≤ z≤h 2, per ragioni di simmetria, si ricava il valore del in corrispondenza del quale il pannello esercita un’azione diretta sulla colonna, limitatamente alla superficie di contatto (la cui estensione aumenta all’aumentare dello spostamento relativo di piano oltre il valore di ).

max

d

max

Si può scrivere quanto segue:

( )

( )

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − 3 2 3 2 3 1 2 2 2 h z h z EJ h F z GA F z u z u col col pann pann col pann χ dove: col pann col pann F GA EJ h F χ 12 2 =

Sostituendo allora l’ultima relazione scritta in quella che la precede, si ricerca il valore massimo della funzione seguente:

( )

( )

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − 3 2 3 2 2 3 1 2 2 2 12 h z h z EJ h F z EJ F h z u z u col col col col col pann

La derivata prima, rispetto alla variabile z, si annulla per:

0 6 2 2 − +h = hz z

La radice significativa cercata vale:

2 3 1 1 h z _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = .

Perché si verifichi il caso limite per il quale upann

( )

z −ucol

( )

z =6mm (vedi fig. 5.6) il taglio

in testa alla colonna deve raggiungere un valore, inversamente proporzionale all'altezza di interpiano, pari a: ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 3 2 3 3 1 1 3 1 3 1 1 16 1 3 1 1 24 1 6mm h EJ F col col

Ciò si ottiene con uno spostamento relativo di piano che risulta indipendente dall’altezza di interpiano h, e vale: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 3 2 max 3 1 1 3 1 3 1 1 4 3 3 1 1 2 1 6mm d

Si ricava così il valore cercato d_max =6,235cm che rappresenta lo spostamento relativo di piano oltre il quale le facce verticali del pannello di rivestimento del campanile entrano in contatto con le superfici adiacenti delle colonne.

Si osserva fin da subito che il valore di appena calcolato risulta assai elevato, tanto da far ritenere corretto modellare i pannelli in c.a. del campanile come completamente svincolati dalle colonne del telaio.

max

d

In riferimento alla verifica allo Stato Limite di Danno proposta dall’OPCM 3431/2005, al 4.11.2, relativamente al caso di edifici con tamponamenti collegati rigidamente alla struttura che interferiscono con la deformabilità della stessa, si richiama all’attenzione la condizione che gli spostamenti di interpiano d_r risultino non maggiori di 0,005h.

Considerata allora la massima altezza di interpiano del campanile in studio ( ), si ottiene la disuguaglianza seguente:

cm h=500

cm d_r ≤2,50

Questa considerazione può dare già una idea di quanto il valore del calcolato precedentemente appaia sufficientemente elevato da far ritenere scollegati i due elementi strutturali.

max

d

Occorre evidenziare però che a posteriori sarà necessario verificare che nelle analisi svolte non si siano raggiunti mai spostamenti relativi di piano nella struttura superiori a d_max.

Si conclude quindi che le colonne ed i pannelli della struttura risultano sufficientemente distanziati dalla guaina di gomma, di spessore pari a 6mm, tanto da ritenere impossibile ogni eventuale interazione degli stessi nelle analisi effettuate.

5.1.2 Modello dello stato attuale del campanile

Il modello della struttura su cui è stata effettuata l’analisi rappresenta in modo adeguato la distribuzione di massa e di rigidezza effettiva considerando, laddove appropriato, il contributo degli elementi non strutturali.

Il modello del campanile risulta costituito da elementi resistenti piani a telaio, connessi da diaframmi orizzontali considerati rigidi.

Sono stati modellati anche i pannelli di rivestimento in c.a. vincolati alle travi dei telai e scollegati dalle colonne (v. par. 5.1.1).

In corrispondenza della cella campanaria sono state infine riprodotte le aperture esistenti nei pannelli di rivestimento.

In fig. 5.7 segue una rappresentazione tridimensionale della struttura:

fig. 5.7 Rappresentazione 3d del modello dello stato attuale

Travi e pilastri del telaio tridimensionale resistente sono stati modellati mediante elementi “frames” unidimensionali.

I pannelli del rivestimento sono stati modellati mediante elementi “shells” bidimensionali, suddivisi attraverso una mesh opportuna.

Ai nodi dei vari ripiani, modellati anch’essi mediante elementi shells, è stata assegnata la condizione di vincolo di diaframma rigido, in accordo all’ipotesi di considerare i diaframmi orizzontali come infinitamente rigidi.

Infine per il modulo elastico del conglomerato si è adottato un valore pari a

2

34000N mm

Ec = in ragione della simulazione della prova dinamica esposta nel seguito.

5.1.3 Modello dello stato modificato del campanile

Ci si propone anche di studiare il comportamento del campanile dopo averne modificato il rivestimento, evidenziando quelle che sono le differenze rispetto allo stato attuale.

L’intervento consiste nel creare delle nuove aperture nei pannelli tra il terzo ed il quarto ripiano e tra il quinto ed il sesto, su tutte e quattro le facce del rivestimento.

Si prevede anche un ulteriore rivestimento in pietra, applicato direttamente sui pannelli e sulle colonne del telaio.

Le modifiche previste in progetto tendono a dare al campanile un aspetto quanto più simile a quello risalente alla prima metà del 900’(vedi fig. 5.8).

fig. 5.8 Foto storica della pieve col campanile dopo il 1895

L'aggiunta del rivestimento in pietra costituisce una ulteriore massa distribuita ed un ulteriore peso portato dalla struttura (ne consegue una modifica del comportamento sia dinamico che statico).

Si precisa che le ragioni di tale intervento hanno un carattere prettamente funzionale ed architettonico; l’intervento non ha interessato l’ambito inerente l’adeguamento sismico per fini strutturali.

Il modello dello stato modificato è rappresentato in fig. 5.9; tale modello si è ricavato direttamente da quello costruito per lo stato attuale del campanile.

fig. 5.9 Rappresentazione 3d del modello dello stato modificato

Si è assunto per la pietra un peso specifico pari a 2800kg m3.

Agli elementi shells che modellano il rivestimento, assunto di spessore pari a , è stata assegnata una massa uniformemente distribuita pari a

cm 10 3 2 sec 54 , 28 kg m ed un peso portato pari a 280kg m2; agli elementi frames rappresentanti le colonne, considerando un rivestimento più spesso pari a , è stata assegnata una massa distribuita linearmente pari a cm 20 2 2 sec 33 ,

91 kg m ed un peso portato pari a 896kg m. I modelli esaminati sono entrambi modelli spaziali.

5.2 Modellazione della forzante sul campanile

Al fine di calibrare il modello dello stato attuale del campanile, si sono utilizzati i risultati delle prove dinamiche effettuate sulla struttura in cui si sono registrate le oscillazioni della stessa provocate dal moto di una delle campane (vedi Capitolo 3).

Il confronto è stato fatto con i risultati dell'analisi del modello agli elementi finiti in condizioni di moto forzato periodico.

Ci si limita a modellare la sola componente orizzontale della forzante, data la direzione di rilevazione della strumentazione adoperata per la prova.

Si richiama brevemente quanto concluso al punto 2.5 del Capitolo 2 della presente Tesi, circa l’analisi relativa all’eccitazione dinamica prodotta dall’oscillazione della campana sulla struttura in esame.

Le componenti della forzante sono rappresentate dalle reazioni vincolari esercitate dal sostegno attorno al quale ruota la campana, indicate rispettivamente con H

( )

t e V

( )

t ; le espressioni analitiche di tali componenti risultano le seguenti:

( )

( )

( )

{

[

( )

( )

]

}

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ = 1 cos ˆ cos 2 cos 3 1 ) ( sin ˆ cos 2 2 sin 2 3 2 t t c mg t V t t mgc t H ϕ α ϕ ϕ α ϕ

La funzione ϕ

( )

t si è ricavata sperimentalmente al punto 3.3.1 del Capitolo 3.

Le grandezze che compaiono nelle espressioni scritte sopra (dati riguardanti le caratteristiche della campana e le condizioni al contorno circa il relativo moto oscillatorio) sono state tutte oggetto di stima al punto 3.4 del Capitolo 3.

Risulta adesso possibile modellare la forzante che agisce sul campanile durante la prova dinamica (regime di moto forzato).

Volendo adimensionalizzare le due espressioni sopra riportate, si ricavano le espressioni seguenti:

( )

( )

( )

_{( )}

_{( )}

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − = − − = 1 sin ˆ cos 2 cos 3 sin ˆ cos 2 2 sin 2 3 ) ( 2 t t mgc mg t V t t mgc t H ϕ α ϕ ϕ α ϕ

Tali forme adimensionali permettono l’applicazione di diagrammi presenti in letteratura atti a descrivere le componenti della forzante generate dall’oscillazione di una campana; si riportano tali diagrammi in fig. 5.10a ed in fig. 5.10b.

fig. 5.10a Diagramma per la determinazione della componente orizzontale della forzante in funzione dell’angolo di inclinazione della campana

fig. 5.10b Diagramma per la determinazione della componente orizzontale della forzante in funzione del tempo

L’utilizzo del diagramma di fig. 5.10b permette di ricavare la componente della forzante orizzontale adimensionalizzata H

( )

t mcg nel tempo.

In un intervallo di tempo pari ad una oscillazione completa della campana si ricava il grafico di fig. 5.11:

Componente orizzontale adimensionale H(t)/cmg della forzante nel periodo di una oscillazione completa

-2 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

fig. 5.11 Componente orizzontale H

( )

t mgc della forzante nel periodo corrispondente ad una oscillazione completa

I diagrammi di fig. 5.10 assumono quale istante iniziale del moto della campana quello corrispondente ad un angolo di inclinazione pari a ϕ

( )

0 = 0°.

Impiegando tali diagrammi si costruiscono la ϕ

( )

t e la H

( )

t mcg in un periodo di tempo pari ad un quarto del periodo di oscillazione completa della campana; l’estensione all’intero periodo è immediata data la simmetria del moto della campana.

Si osserva che nelle equazioni ricavate per le componenti della forzante le condizioni al contorno corrispondono invece ad una oscillazione completa della campana dalla posizione iniziale avente angolo di inclinazione pari a ϕ

( )

0 = (angolo di oscillazione massima rispetto αˆ alla verticale) e velocità angolare iniziale nulla; si precisano tali differenze poiché si è anche voluto ricavare l’espressione della H

( )

t impiegando direttamente la ϕ

( )

t ottenuta sperimentalmente; in fig. 5.11 si riporta l’andamento della sollecitazione orizzontale della forzante sul campanile, sempre relativamente ad un intervallo di tempo pari ad un periodo di oscillazione completa della campana.

Si è ancora assunto quale istante iniziale per la rappresentazione la posizione della campana corrispondente ad un angolo di inclinazione nullo; ne consegue che all’istante iniziale la componente orizzontale della forzante è ovviamente nulla.

Componenete orizzontale della forzante

-600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 tempo k g

fig. 5.12 Componente orizzontale H

( )

t della forzante nel periodo corrispondente ad una oscillazione completa

Risulta evidente la congruenza tra la rappresentazione della forzante orizzontale ricavata direttamente mediante la ϕ

( )

t sperimentale (fig. 5.12) e la rappresentazione della forzante orizzontale adimensionale di fig. 5.11, costruita con il diagramma di fig. 5.10b.

5.2.1 Analisi time history del moto forzato

Si è scelto di considerare quale nodo di controllo della risposta della struttura al moto forzato quello corrispondente al punto in cui è stato posizionato il sismometro B21 durante la prova dinamica.

Si riporta in fig. 5.13 lo spostamento (in ) di tale nodo nel tempo, ricavato da un analisi time history nella quale agisce la componete orizzontale della forzante, modellata nel paragrafo precedente (vedi fig. 5.12):

mm -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0, 0 0 0, 4 0 0, 8 0 1, 2 0 1, 6 0 2, 0 0 2, 4 0 2, 8 3, 2 3, 6 4 4, 4 4, 8 5, 2 5, 6 6 6, 4 6, 8 7, 2 7, 6 8 8, 4 8, 8 9, 2 9, 6 ₁₀ 10, 4 10, 8 11, 2 11, 6 ₁₂ 12, 4 12, 8 13, 2 13, 6 ₁₄ 14, 4 14, 8 15, 2 15, 6

fig. 5.13 Moto forzato del nodo a quota 24,50m

La risposta risulta periodica, con periodo corrispondente ad una oscillazione completa della campana (T =2,56sec).

Lo spostamento massimo del nodo di controllo risulta pari a , in accordo ai risultati sperimentali.

mm

1 , 0

L’analisi svolta ha permesso di calibrare il valore del modulo elastico del calcestruzzo ed ha confermato a posteriori l’adeguatezza della modellazione riguardante la distribuzione di massa e di rigidezza effettiva avendo considerando, laddove appropriato, il contributo degli elementi non strutturali.

5.3 Analisi modale

Elemento fondamentale nell’analisi dinamica è l’individuazione dei modi propri di vibrare di una struttura; essi costituiscono le oscillazioni periodiche libere del sistema elastico non smorzato. Per valutare tali modi ci si avvale degli strumenti dell’analisi modale.

Dunque ci si propone adesso di calcolare periodi e modi di vibrazione propri del campanile in studio, impiegando la modellazione della struttura fin qui esposta.

Utilizzando in particolare il modello relativo allo stato modificato, si intende osservare come le aperture praticate nei pannelli ed il nuovo rivestimento in pietra vadano a modificare le proprietà di vibrare della costruzione.

I risultati relativi all’analisi modale, eseguita rispettivamente sul modello attuale e sul modello modificato, impiegando quale solutore Sap2000©, si riportano nelle tabelle che seguono:

TABLE: Modal Periods and Participating Mass Ratios

OutputCase StepNum Period UX UY SumUX SumUY SumRZ

Text Unitless Sec Unitless Unitless Unitless Unitless Unitless

MODAL 1 0.28 0.65 0.00 0.65 0.00 0.00 MODAL 2 0.28 0.00 0.65 0.65 0.65 0.00 MODAL 3 0.14 0.00 0.00 0.65 0.65 0.72 MODAL 4 0.08 0.00 0.20 0.65 0.85 0.72 MODAL 5 0.08 0.20 0.00 0.85 0.85 0.72 MODAL 6 0.06 0.00 0.00 0.85 0.85 0.88 MODAL 7 0.04 0.08 0.00 0.93 0.85 0.88 MODAL 8 0.04 0.00 0.08 0.93 0.93 0.88

tab. 5.1 Periodi di vibrazione del modello relativo allo stato attuale

TABLE: Modal Periods and Participating Mass Ratios

OutputCase StepNum Period UX UY SumUX SumUY SumRZ

Text Unitless Sec Unitless Unitless Unitless Unitless Unitless

MODAL 1 0.33 0.00 0.62 0.00 0.62 0.00 MODAL 2 0.33 0.62 0.00 0.62 0.62 0.00 MODAL 3 0.18 0.00 0.00 0.62 0.62 0.67 MODAL 4 0.10 0.00 0.21 0.62 0.83 0.67 MODAL 5 0.10 0.21 0.00 0.83 0.83 0.67 MODAL 6 0.08 0.00 0.00 0.83 0.83 0.86 MODAL 7 0.06 0.06 0.00 0.89 0.83 0.86 MODAL 8 0.06 0.00 0.06 0.89 0.89 0.86

Si osserva come la riduzione di rigidezza dovuta ai tagli nei pannelli in c.a. e l’aumento di massa, dovuto all’applicazione di un ulteriore rivestimento in pietra, comporti un incremento, peraltro assai modesto, dei periodi di vibrazione propri della struttura.

Nelle tabelle precedenti i primi tre periodi sono quelli fondamentali, relativi rispettivamente ai due modi traslazionali ed a quello rotazionale.

Si può notare anche come la particolare geometria della costruzione, struttura doppiamente simmetrica a pianta quadrata, fa sì che i modi traslazionali in direzione x ed y del modello spaziale risultino uguali tra loro.

Si riportano rispettivamente in fig. 5.11 e fig. 5.12 le rappresentazioni dei modi di vibrazione per i due modelli esaminati (limitatamente ai primi 3 modi):

Mode 1 0,28

Mode 2 0,28

Mode 3 0,14

fig. 5.11 Modello tridimensionale dello stato attuale: modi fondamentali di vibrazione (T1_x =T1_y; T )1θ

Mode 1 0,33

Mode 2 0,33

Mode 3 0,18

fig. 5.12 Modello tridimensionale dello stato modificato: modi fondamentali di vibrazione (T_1y =T_1x; T )1_θ

5.4 Analisi sismica con accelerogrammi naturali

L’Ordinanza, al punto 3.2.7, consente di effettuare analisi strutturali temporali, sia per lo stato limite ultimo che per quello di danno, utilizzando accelerogrammi artificiali, simulati o naturali.

Impiegando accelerogrammi a tal fine, occorre verificarne la coerenza con lo spettro di risposta elastico, definito dalla Normativa stessa.

Rimandando le verifiche ad una successiva analisi dinamica modale associata allo spettro di risposta, ci proponiamo adesso di utilizzare alcuni accelerogrammi naturali, descritti in dettaglio nel seguito, al fine di saggiare la risposta del modello dello stato attuale del campanile.

Si ricorda che il modello fin qui considerato è un modello elastico lineare.

Considerando accelerogrammi naturali via via più severi (l’ultimo dei quali risulterà caratterizzato da una accelerazione orizzontale massima al suolo pari ad ), si intende dunque compiere una analisi time-history sul modello lineare.

g ag 0,3114

max ₌

5.4.1 Accelerogrammi impiegati

Si riportano nel seguito gli accelerogrammi considerati per le analisi sul modello della struttura.

In fig. 5.13 si rappresenta il primo degli accelerogrammi utilizzati, relativo alla componente est-ovest di un sisma registrato ad Auletta (a_gmax =0,037g).

In fig. 5.14 si rappresenta il secondo degli accelerogrammi naturali impiegati, relativo alla componente est-ovest di un sisma registrato a Brienza (a_gmax =0,170g).

fig. 5.14 Accelerogramma relativo al sisma di Brienza, direzione est-ovest

Infine in fig. 5.15 si rappresenta il terzo ed ultimo degli accelerogrammi considerati, relativo alla componente est-ovest di un sisma registrato a Sturno (ag 0,3114g).

max ₌

fig. 5.15 Accelerogramma relativo al sisma di Sturno, direzione est–ovest

Nelle figure 5.16, 5.17 e 5.18 che seguono, si riportano i corrispondenti spettri di risposta elastica di pseudo-accelerazione, valutati considerando degli smorzamenti pari allo 0%, al 2%, al 5% ed all’ 8% .

fig. 5.16 Spettro di risposta elastico di pseudo-accelerazione relativo al sisma di Auletta, direzione est–ovest, con smorzamento pari allo 0%, 2%, 5% e 8%

fig. 5.17 Spettro di risposta elastico di pseudo-accelerazione relativo al sisma di Brienza, direzione est–ovest, con smorzamento pari allo 0%, 2%, 5% e 8%

fig. 5.18 Spettro di risposta elastico di pseudo-accelerazione relativo al sisma di Sturno, direzione est–ovest, con smorzamento pari allo 0%, 2%, 5% e 8%

E’ interessante anche notare come si differenzino, nei tre eventi sismici considerati, le ampiezze delle zone di amplificazione dei parametri della risposta a causa dei diversi contenuti in frequenza delle componenti considerate e come siano manifesti dei picchi di risonanza.

Si riconosce come per valori di periodo fondamentale prossimi a zero (strutture molto rigide) la pseudo-accelerazione massima del sistema tenda a quella del terreno; per piccoli aumenti del periodo di vibrazione si ha una notevole amplificazione dell’accelerazione massima che raggiunge i valori più elevati quando il periodo predominante del sisma è prossimo a quello del sistema, in quanto si verificano fenomeni di risonanza.

Man mano che il periodo del sistema si allontana da quello predominante del sisma (strutture flessibili) il valore dell’accelerazione massima decresce e tende a zero.

5.4.2 Risultati delle analisi time history

Considerato adesso unicamente uno smorzamento globale della struttura pari al 5% (valore tipicamente adottato per strutture in c.a.), si riportano nelle figure 5.19, 5.21 e 5.23 seguenti gli spostamenti dei tre ripiani più alti del campanile nel tempo, rispettivamente per i tre

Nella legenda a fianco dei grafici è possibile leggere il valore del massimo spostamento assoluto (espresso in ) in direzione del sisma e l’istante di tempo durante il quale questo si verifica; lo spostamento massimo (assoluto) si verifica per il nodo appartenente al solaio più alto dell’edificio (Joint 21).

m

fig. 5.19 Spostamenti dei tre ripiani più alti nel tempo (sisma di Auletta)

Nel caso del sisma di Auletta, in corrispondenza di un Δt =10,2sec dall’inizio dell’analisi, si verificano i massimi spostamenti di interpiano; il massimo spostamento assoluto della struttura risulta pari a 2,8mm; segue in fig. 5.20 la deformata corrispondente:

fig. 5.21 Spostamenti dei tre ripiani più alti nel tempo (sisma di Brienza)

Nel caso del sisma di Brienza, in corrispondenza di un Δt =13,3sec dall’inizio dell’analisi, si verificano i massimi spostamenti di interpiano; il massimo spostamento assoluto della struttura risulta pari a 8,8mm; segue in fig. 5.22 la deformata corrispondente:

fig. 5.23 Spostamenti dei tre ripiani più alti nel tempo (sisma di Sturno)

Nel caso del sisma di Brienza, in corrispondenza di un Δt =5sec dall’inizio dell’analisi, si verificano i massimi spostamenti di interpiano; il massimo spostamento assoluto della struttura risulta pari a 20,83mm; segue in fig. 5.24 la deformata corrispondente:

Si riportano in tab. 5.3 i valori di inviluppo degli spostamenti relativi tra i vari ripiani, per i tre terremoti considerati, verificatisi ciascuno in corrispondenza dei rispettivi istanti di tempo sopra evidenziati durante l’analisi time – history.

Tali valori sono confrontati in tabella con quanto specificato in riferimento alla verifica allo Stato Limite di Danno proposta dall’OPCM 3431/2005, al 4.11.2; relativamente al caso di edifici con tamponamenti collegati rigidamente alla struttura che interferiscono con la deformabilità della stessa, gli spostamenti di interpiano devono risultare non maggiori di

. r d h 005 , 0

Spostamenti di interpiano - Analisi Time History

Altezza interpiano h Auletta Brienza Sturno

Livello

[m] [m] (dr/h)max < 0.005 [m] (dr/h)max < 0.005 [m] (dr/h)max < 0.005

I 3.50 0.0001 0.0000 0.0005 0.0001 0.0011 0.0003 II 4.20 0.0004 0.0001 0.0011 0.0003 0.0026 0.0006 III 4.35 0.0006 0.0001 0.0020 0.0005 0.0046 0.0011 IV 4.65 0.0010 0.0002 0.0029 0.0006 0.0069 0.0015 V 5.00 0.0015 0.0003 0.0049 0.0010 0.0115 0.0023 VI 2.80 0.0013 0.0005 0.0039 0.0014 0.0093 0.0033

tab. 5.3 Spostamenti di interpiano per i tre sismi analizzati

Si riportano anche, al fine di una diretta comparazione dell’effetto prodotto dai tre terremoti considerati, i valori massimi di taglio nei pilastri del telaio resistente del campanile; nell’ultima colonna è riportato anche il valore del taglio resistente nei pilastri:

Taglio massimo nei pilastri - Analisi time History

Prog. Auletta Brienza Sturno VRd

Pilastri [m] [KN] [KN] [KN] [KN] 0.00 I 3.50 10.44 35.77 80.86 413 3.50 II 7.70 9.14 30.80 69.54 413 7.70 III 12.05 9.59 30.88 70.76 413 12.05 IV 16.70 3.86 12.69 27.83 426 16.70 V 21.70 15.39 45.96 110.93 426 21.70 VI 5.37 16.03 35.06 426

Si osserva che l’incremento del taglio resistente nei pilastri dei tre ripiani più alti è dovuto ad un infittimento del passo delle staffe.

5.5 Analisi dinamica modale con spettro di risposta

Si intende adesso verificare la struttura del campanile (sia nel caso di stato attuale che di stato modificato) attraverso un’analisi dinamica modale associata allo spettro di risposta, secondo quanto indicato nell’Ordinanza 3274, aggiornata mediante quanto riportato dall’Ordinanza 3431 pubblicata nel Maggio del 2005.

In particolare si farà esplicito riferimento al Capitolo 11 di detta Ordinanza, relativo agli edifici esistenti.

Entrambi i modelli sottoposti ad analisi sono modelli spaziali e posseggono i requisiti di regolarità secondo quanto specificato al 4.3.1 dell’Ordinanza.

Le Norme consentono di introdurre semplificazioni alle analisi qualora gli edifici risultino regolari in pianta, come nel caso in oggetto.

In base quindi a quanto specificato al punto 4.4 dell’Ordinanza, si effettuano le analisi sulla struttura considerando due modelli piani separati, uno per ciascuna direzione principale. Nel caso in esame, data la simmetria del campanile, le due analisi risultano identiche, pertanto nel seguito si riporteranno unicamente i risultati relativi al piano xz (indicando con gli effetti del sisma in tale piano).

x

E

Gli effetti torsionali accidentali, di cui al punto 4.4 dell’Ordinanza, sono stati messi in conto amplificando gli effetti E_x dovuti al sisma della quantità seguente:

c L x 6 , 0 1+ = δ

dove: x è la distanza dell’elemento resistente verticale dal baricentro geometrico dell’edificio, misurata perpendicolarmente alla direzione sismica considerata, ed è la distanza tra i due elementi resistenti più lontani, misurata allo stesso modo.

c

L

Nel caso in esame è evidentemente δ =1,3.

Ai fini dell’applicazione delle Norme, il territorio nazionale è stato diviso in 4 zone sismiche. La zona sismica di riferimento per il caso in esame è la zona di tipo 2 (vedi punto 3.2.1 dell’Ordinanza); in funzione di detta zona risulta definito il valore del parametro di accelerazione orizzontale massima su suolo rigido (valore di ancoraggio dello spettro di risposta) pari a a_g =0,25g.

Ai fini della determinazione dell’azione sismica sono classificate in Normativa varie categorie di profilo stratigrafico del suolo di fondazione.

Per il suolo di categoria C, adottato per il caso in esame, si definisce il fattore S =1,25.

L’espressione dello spettro di risposta elastico che ne consegue, secondo quanto indicato al 3.2.3 dell’Ordinanza, è riportata graficamente in fig. 5.25.

Spettro di risposta elastico in zona 2 su suolo di categoria C

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 1. 4 1. 6 1. 8 2 2. 2 2. 4 2. 6 2. 8 3 3. 2 3. 4 3. 6 3. 8 4 Periodo [s] [g ]

Spettro di risposta elastico

fig. 5.25 Spettro di risposta elastico

Si richiama adesso l’attenzione sul fatto che gli edifici esistenti si distinguono da quelli di nuova progettazione sotto vari aspetti; in relazione a questo, la Normativa stessa sottolinea che la valutazione della sicurezza ed il progetto di nuovi interventi sono normalmente affetti da un grado di incertezza maggiore rispetto a quello degli edifici di nuova progettazione. Ciò comporta l’impiego di adeguati fattori di confidenza nelle verifiche di sicurezza, come pure metodi di analisi e di verifica dipendenti dalla completezza e dall’affidabilità dell’informazione disponibile.

Per valutazione della sicurezza si intende un procedimento quantitativo volto a stabilire se un edificio esistente è in grado o meno di resistere alla azione sismica di progetto (opportunamente combinata con le altre azioni) contenuta nelle Norme.

La valutazione della sicurezza degli edifici esistenti richiede in generale la considerazione di uno stato limite aggiuntivo rispetto a quelli definiti ai punti 2.1 e 2.2 dell’Ordinanza, in quanto essi non soddisfano di regola né i principi di gerarchia delle resistenza, né posseggono adeguata duttilità.

I requisiti di sicurezza definiti nell’Ordinanza fanno pertanto riferimento allo stato limite di danneggiamento della struttura, definito mediante i seguenti tre Stati Limite:

- SL di Collasso (CO); - SL di Danno Severo (DS); - SL di Danno Limitato (DL);

Gli SL di DS e di DL corrispondono rispettivamente agli stati limite di SLU e SLD definiti per gli edifici di nuova costruzione, pertanto l’azione sismica da adottare in tali casi è quella corrispondente, definita al Capitolo 3 dell’Ordinanza.

Lo SL di CO corrisponde ad una azione di progetto più elevata, caratterizzata da una più bassa probabilità di superamento, non superiore al 2% in 50 anni; le accelerazioni di ancoraggio allo spettro elastico per lo SL di CO si ottengono moltiplicando per 1,5 i valori indicati per lo SL di DS (come descritto al punto 11.2.5.2 dell’Ordinanza).

Questa ultima verifica può essere eseguita in alternativa a quella di DS.

Nel seguito si esamineranno le verifiche per gli SL di DS e DL, su entrambi i modelli, rappresentanti rispettivamente lo stato attuale e lo stato modificato del campanile, tenendo conto dei criteri elencati al punto 11.2.2 dell’Ordinanza.

Con analisi di tipo lineare la Normativa consente ancora, per gli edifici esistenti, l’impiego del fattore di struttura; il valore di tale parametro deve essere scelto nel campo fra 1,5 e 3,0 sulla base della regolarità, nonché dei tassi di lavoro dei materiali sotto le azioni statiche (vedi punto 11.2.2.2 dell’Ordinanza).

Per il caso in esame, si adotta prudenzialmente il valore minimo del fattore di struttura pari a per la verifica allo SL di DS; si determina lo spettro di progetto dividendo per 1,5 le ordinate dello spettro elastico di fig. 5.25, descritto precedentemente.

5 , 1 =

q

Per la verifica allo SL di DL, che risulta corrispondente allo SLD per edifici di nuova costruzione, lo spettro impiegato è quello in fig. 5.26 ottenuto riducendo lo spettro di risposta elastico secondo un fattore pari a 2,5 (vedi 3.2.6 dell’Ordinanza).

Spettro di progetto per SLD in zona 2 su suolo di categoria C

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 1. 4 1. 6 1. 8 2 2. 2 2. 4 2. 6 2. 8 3 3. 2 3. 4 3. 6 3. 8 4 Periodo [s] [g ] Spettro SLD

fig. 5.26 Spettro di progetto per lo stato limite di danno

Gli spostamenti indotti dall’azione sismica, nell’ambito dello SL di DL, vengono valutati moltiplicando gli spostamenti ottenuti utilizzando un’analisi dinamica modale associata allo spettro di progetto corrispondente (quello di fig. 5.26) per il fattore di importanza utilizzato (nel caso in studio γ_I =1).

Per l’azione sismica di progetto dovrà essere verificato che gli spostamenti strutturali non producano danni tali da rendere temporaneamente inagibile l’edificio.

Questa condizione si potrà ritenere soddisfatta quando gli spostamenti di interpiano ottenuti dall’analisi siano inferiori ai limiti indicati al 4.11.2 dell’Ordinanza.

r

d

Nel caso in esame, per edifici con tamponamenti collegati rigidamente alla struttura e che interferiscono con la deformabilità della stessa, deve risultare:

h d_r ≤0,005

con altezza di interpiano. h

Essendo valida l’ipotesi di impalcati infinitamente rigidi e data la particolare simmetria della struttura in esame, i massimi spostamenti di interpiano si valuteranno in corrispondenza degli spigoli di uno qualsiasi dei due telai orditi secondo la direzione principale di azione del sisma

Si riportano nelle tabelle che seguono i risultati delle verifiche allo SL di DL, rispettivamente per lo stato attuale del campanile e per lo stato modificato:

Verifica degli spostamenti di interpiano (SL di DL) - Stato attuale

Ex dr=dEx Altezza di piano h Livello [m] [m] [m] (d r/h)max < 0.005 I 0.0005 0.0007 3.50 0.0002 II 0.0011 0.0014 4.20 0.0003 III 0.0020 0.0026 4.35 0.0006 IV 0.0030 0.0039 4.65 0.0008 V 0.0049 0.0064 5.00 0.0013 VI 0.0041 0.0053 2.80 0.0019

tab. 5.5 Verifica dello SL di DL per lo stato attuale del campanile

Verifica degli spostamenti di interpiano (SL di DL) - Stato modificato

Ex dr=dEx Altezza di piano h Livello [m] [m] [m] (dr/h)max < 0.005 I 0.0006 0.0008 3.50 0.0002 II 0.0015 0.0020 4.20 0.0005 III 0.0025 0.0033 4.35 0.0007 IV 0.0046 0.0060 4.65 0.0013 V 0.0065 0.0085 5.00 0.0017 VI 0.0064 0.0083 2.80 0.0030

tab. 5.6 Verifica dello SL di DL per lo stato modificato del campanile

La verifica dello SL di DS viene eseguita in base alle sollecitazioni calcolate mediante analisi dinamica modale associata allo spettro di progetto corrispondente, combinate opportunamente con le sollecitazioni ottenute per effetto dei carichi verticali.

Data la particolare simmetria della costruzione, ci si può limitare a riportare i risultati relativi agli elementi di un singolo telaio.

La resistenza a taglio dei pilastri si valuta come per il caso di nuove costruzioni secondo le espressioni applicabili alle situazioni non sismiche (punto 11.3.2.2 e 5.4.2.2 dell’Ordinanza). Il calcolo viene eseguito così come previsto dal D.M. 9 Gennaio 1996, sommando il contributo di resistenza dell’armatura trasversale a quello di resistenza del calcestruzzo:

(

sinα cosα

)

9 , 0 + = s d f A Vwd sw ywd d b f Vcd =0,6 ctd w sd wd cd Rd V V V V = + ≥

Nelle relazioni precedenti si ricorda che s rappresenta il passo delle staffe, d l’altezza utile della sezione reagente, Asw è l’area di acciaio delle staffe ed α la loro inclinazione rispetto all’asse dell’elemento (α = 90° per tutti i pilastri sottoposti a verifica).

I valori del taglio sollecitante di calcolo nei pilastri, assieme alle relative verifiche, vengono sintetizzati nelle tabelle che seguono, relative rispettivamente allo stato attuale (tab. 5.7) ed a quello modificato (tab. 5.8) del campanile:

Taglio sollecitante di calcolo per i pilastri (SL di DS):

(Azione Sismica+Carichi Verticali) - Modello attuale Verifiche

Lunghezza Prog. Gk+Sy2iQki+dEx Gk+Sy2iQki-dEx ggGk+gqQ1k+Sgqy0iQik VRd

Pilastri [m] [m] [KN] [KN] [KN] [KN] 0.00 I 3.50 3.50 -74.3 74.4 0.09 413 3.50 II 4.20 7.70 -64.0 64.1 0.17 413 7.70 III 4.35 12.05 -65.2 65.4 0.27 413 12.05 IV 4.65 16.70 -26.4 27.5 1.00 426 16.70 V 5.00 21.70 -105.1 105.6 0.49 426 21.70 VI 2.80 24.50 -37.9 35.8 -1.22 426

Taglio sollecitante di calcolo per i pilastri (SL di DS):

(Azione Sismica+Carichi Verticali) - Modello modificato Verifiche

Lunghezza Prog. Gk+Sy2iQki+dEx Gk+Sy2iQki-dEx ggGk+gqQ1k+Sgqy0iQik VRd

Pilastri [m] [m] [KN] [KN] [KN] [KN] 0.00 I 3.50 3.50 -98.1 98.2 0.11 413 3.50 II 4.20 7.70 -87.7 87.8 0.24 413 7.70 III 4.35 12.05 -64.2 65.0 0.75 413 12.05 IV 4.65 16.70 -88.1 89.3 1.00 426 16.70 V 5.00 21.70 -105.7 106.3 0.56 426 21.70 VI 2.80 24.50 -55.4 55.3 -1.23 426

tab. 5.8 Verifiche a taglio dei pilastri (SL di DS); stato modificato

La verifica dei pilastri prosegue considerando la sollecitazione di pressoflessione retta.

I momenti flettenti di calcolo, da impiegare nelle verifiche dei pilastri, sono quelli ottenuti dall’analisi globale della struttura, tenuto conto delle combinazioni delle componenti dell’azione sismica con le altre azioni.

Si riporta a titolo di esempio in fig. 5.27 il dominio di interazione costruito per i pilastri a terra, denominati Pilastri I nelle tabelle (le unità di misura sono Newton e metri rispettivamente per forze e lunghezze):

N M −

In tab. 5.9 e tab. 5.10 seguono le sollecitazioni alle estremità dei pilastri, ottenute dall’analisi sul modello dello stato attuale e sul modello dello stato modificato, e le rispettive verifiche (si omettono i dati relativi alle combinazioni di carico non sismiche in quanto questi sono risultati meno gravosi).

Pilastrata di verifica (SL di DS)

(Azione Sismica+Carichi Verticali) - Modello attuale

Lunghezza Prog. Gk+Sy2iQki+dEx Verifiche Gk+Sy2iQki-dEx Verifiche

Pilastri [m] [m] _Msd[KNm] Nsd[KN] MRd(Nsd) [KNm] Msd[KNm] Nsd[KN] MRd(Nsd) [KNm] 0.00 190 -2491 1475.9 -190 1659 691.3 I 3.50 3.50 -71 -2448 1473.9 71 1702 678.1 3.50 168 -1955 1254.4 -168 1251 577.9 II 4.20 7.70 -101 -1904 1249.8 101 1303 561.9 7.70 162 -1384 1000.0 -162 822 470.9 III 4.35 12.05 -121 -1330 992.4 121 876 454.2 12.05 99 -875 925.7 -97 450 584.6 IV 4.65 16.70 -36 -818 916.9 33 507 567.4 16.70 270 -487 627.2 -268 159 435.8 V 5.00 21.70 -257 -417 607.4 257 220 417.2 21.70 103 -96 451.7 -106 -42 435.5 VI 2.80 24.50 4 -62 441.5 -1 -9 425.5

tab. 5.9 Verifiche a pressoflessione dei pilastri (SL di DS); stato attuale

Pilastrata di verifica (SL di DS)

(Azione Sismica+Carichi Verticali) - Modello modificato

Lunghezza Prog. Gk+Sy2iQki+dEx Verifiche Gk+Sy2iQki-dEx Verifiche

Pilastri [m] [m] _{Msd[KNm] Nsd[KN] MRd(Nsd) [KNm] Msd[KNm] Nsd[KN] MRd(Nsd) [KNm]} 0.00 250 -3099 1499.4 -250 2297 493.0 I 3.50 3.50 -94 -3056 1498.1 94 2340 483.2 3.50 224 -2413 1293.8 -224 1738 426.3 II 4.20 7.70 -145 -2362 1289.7 145 1789 410.3 7.70 188 -1709 1044.1 -187 1170 362.4 III 4.35 12.05 -95 -1655 1037.0 93 1223 345.7 12.05 261 -1132 963.8 -258 706 506.6 IV 4.65 16.70 -156 -1075 955.5 153 763 489.1 16.70 284 -561 646.9 -282 254 406.8 V 5.00 21.70 -247 -500 630.7 246 316 387.7 21.70 20 -146 466.7 -21 -6 424.6 VI 2.80 24.50 -133 -112 456.5 138 28 424.3

Si esaminano adesso i pannelli di rivestimento in c.a. del campanile, riportando nel seguito i risultati conseguenti dalle analisi e le verifiche effettuate.

Tali pannelli sono stati modellati attraverso l’impiego di elementi shell nel codice di calcolo, suddivisi con una mesh opportuna.

Le convenzioni riguardo alla definizione di tali elementi ed alla conseguente lettura dei risultati delle analisi sono riassunte nelle immagini seguenti:

fig. 5.28 Convenzioni riguardanti gli elementi shell nel codice di calcolo Sap2000©

In riferimento allo stato attuale del campanile, si riportano in fig. 5.28 e 5.29 rispettivamente la distribuzione delle tensioni σ_zz dovute alle azioni verticali statiche e la distribuzione delle tensioni σ_xz di inviluppo per la combinazione sismica di verifica (in entrambi i casi le unità di misura sono N mm2 ):

fig. 5.28 Distribuzione delle tensioni normali (σ_zz) nei pannelli in c.a. per la combinazione statica

fig. 5.29 Distribuzione delle tensioni tangenziali (σ_xz) di inviluppo nei pannelli in c.a. per la combinazione sismica

In riferimento invece allo stato modificato del campanile, si riportano in fig. 5.30 e 5.31 rispettivamente la distribuzione delle tensioni σ_zz dovute alle azioni verticali statiche e la distribuzione delle tensioni σ_xz di inviluppo per la combinazione sismica di verifica (in entrambi i casi le unità di misura sono N mm2 ):

fig. 5.30 Distribuzione delle tensioni normali (σ_zz) nei pannelli in c.a. per la combinazione statica

fig. 5.31 Distribuzione delle tensioni tangenziali (σxz) di inviluppo

La resistenza a taglio di ogni pannello è stata valutata secondo l’espressione al punto 11.5.8.1 dell’Ordinanza, relativa alle pareti murarie (caso di edifici esistenti):

td td t f b f lt V = ₁+σ0

dove è la lunghezza del pannello, lo spessore e l t σ₀ la tensione normale media, riferita all’area totale della sezione.

Il coefficiente correttivo b=h l nella formula di verifica tiene conto della distribuzione degli sforzi sulla sezione, dipendente dalla snellezza della parete, ed è comunque assunto non superiore ad 1,5 e non inferiore ad 1.

In fig. 5.32 si rappresenta il meccanismo di collasso a taglio del pannello:

fig. 5.32 Meccanismo di collasso a taglio del pannello

Infine è il valore di calcolo della resistenza a trazione per fessurazione diagonale (riferita alla muratura nell’Ordinanza), assunta in questo caso pari a (resistenza a trazione di calcolo del cls).

td

f

ctd

f

Si ricorda che il D.M. 9 Gennaio 1996 assume quale resistenza a trazione di calcolo del conglomerato l’espressione seguente:

c ctm ctd f f γ 7 , 0 = = γ = 3 2 2

I tagli di calcolo sui pannelli da verificare si ricavano dai grafici di fig. 5.29 e 5.31 rispettivamente per lo stato attuale e per lo stato modificato.

Nella tab. 5.11 che segue si riassumono le verifiche a taglio dei pannelli in c.a. del campanile, sia nel caso dello stato attuale che nel caso dello stato modificato (ci si limita a riportare le verifiche solo per i tre pannelli alle quote più basse, che risultano quelli maggiormente sollecitati e privi di aperture in entrambi i casi, dunque direttamente confrontabili):

Taglio nei pannelli di rivestimento in c.a.

h setto Stato attuale Vt Stato modificato Vt

Pannello

[m] _{Vsd [KN]} [KN] _{Vsd [KN]} [KN]

I 3.50 511.5 841 600.4 882

II 4.20 486.0 689 646.5 713

III 4.35 432.0 639 615.0 658

tab. 5.11 Verifiche a taglio nei pannelli (SL di DS)

Segue la verifica a pressoflessione nel piano dei pannelli di rivestimento del campanile.

Il valore del momento ultimo si è calcolato secondo la relazione al punto 8.2.2.1 dell’Ordinanza, relativa alle verifiche di sicurezza per elementi in muratura aventi sezione rettangolare:

(

)

(

d

)

u l t f

M = 2 σ₀ 2 1−σ₀ 0.85

l è la lunghezza complessiva del pannello (inclusiva della zona tesa), t lo spessore e σ0 la

tensione normale media, riferita all’area totale della sezione.

Infine è il valore di calcolo della resistenza a compressione (riferita alla muratura nell’Ordinanza), assunta in questo caso pari a

d f c ck cd f f = γ (resistenza a compressione di calcolo del cls).

Tale formula si adatta anche al caso di verifica per sezione in conglomerato non armato e si ricava agevolmente attraverso il calcolo a rottura, adottando il legame costitutivo semplificato dello stress block.

La formula precedente presuppone di aver considerato il materiale del pannello non reagente a trazione, una opportuna distribuzione non lineare delle compressioni e di aver trascurato la presenza dell’armatura metallica (si è accertata l’esistenza di una rete metallica di piccolo diametro, avente passo pari a 20cm, tramite l’impiego del pacometro).

In fig. 5.33 si riporta la rappresentazione del meccanismo di collasso della parete per pressoflessione:

fig. 5.33 Meccanismo di collasso per pressoflessione del pannello

I momenti di calcolo che sollecitano i pannelli sono stati valutati alla luce dei risultati delle analisi sui modelli lineari, rappresentati nelle figure seguenti (unità di misura in N mm2). Si precisa che i segni degli stress22 dovuti al sisma sono stati determinati in base a quelli del modo fondamentale di vibrazione corrispondente.

fig. 5.32 Inviluppo massimo(a sinistra) e minimo (a destra) delle tensioni σ_zz nei pannelli in c.a. per la combinazione sismica; stato attuale

fig. 5.33 Inviluppo massimo(a sinistra) e minimo (a destra) delle tensioni σ_zz nei pannelli in c.a. per la combinazione sismica; stato modificato

Nella tab. 5.12 si riassumono i risultati della verifica a pressoflessione dei pannelli in c.a. del campanile, sia nel caso dello stato attuale che nel caso dello stato modificato (ci si limita a riportare le verifiche solo per i tre pannelli alle quote più basse, che risultano quelli maggiormente sollecitati e privi di aperture in entrambi i casi, dunque direttamente confrontabili):

Pressoflessione nel piano dei pannelli di rivestimento in c.a.

h setto Stato attuale Mu Stato modificato Mu

Pannello

[m] _Msd [KNm] [KNm] _Msd [KNm] [KNm]

I 3.50 394.1 733 491.0 901

II 4.20 359.9 670 425.1 784

III 4.35 286.6 536 339.5 632

In accordo a quanto precisato al 5.4.1.2 dell’Ordinanza, per le verifiche a flessione delle travi, in ogni sezione, il momento resistente , calcolato con gli stessi coefficienti parziali di sicurezza

Rd

M

m

γ applicabili per le situazioni non sismiche, deve risultare superiore o uguale al momento flettente di calcolo.

I momenti flettenti di calcolo, da impiegare nelle verifiche delle travi, sono quelli ottenuti dall’analisi globale della struttura, tenuto conto delle combinazioni delle componenti dell’azione sismica con le altre azioni.

Si precisa infine che i momenti positivi tendono le fibre inferiori delle travi ed i segni degli effetti di sono stati determinati in base a quelli del modo fondamentale di vibrazione corrispondente.

x

E

Per la verifica a taglio delle travi gli sforzi di taglio da impiegare nelle verifiche si sono ricavati, in accordo al 5.4.1.1 dell’Ordinanza, sommando il contributo dovuto ai carichi gravitazionali agenti sulla trave allo sforzo di taglio prodotto dai momenti flettenti di calcolo delle sezioni di estremità (cioè quelli ricavati dall’analisi strutturale).

Si omettono i risultati delle analisi e delle verifiche per le travi, che non presentano sollecitazioni eccessive data la presenza dei pannelli di rivestimento in c.a. direttamente vincolati alle travi stesse.

Tale collegamento vanifica peraltro la verifica a taglio nel caso in cui ci si limiti a considerare quale sezione resistente la sola sezione retta dalla singola trave, trascurando il rilevante contributo alla resistenza dato dai pannelli stessi.

5.6 Analisi statica non lineare

La capacità di una struttura di resistere all’evento sismico dipende fortemente dalla sua capacità deformativa in regime anelastico, ovvero dalla sua duttilità.

I metodi di analisi elastici fin qui adottati tengono conto di detto comportamento tramite l’impiego del fattore di struttura q.

I valori del fattore di struttura indicati dalla normativa sono stati valutati per le diverse tipologie costruttive in base a parametri standard ed hanno carattere conservativo per tener conto dei possibili scostamenti dei casi reali da quelli ideali utilizzati per la valutazione. In special modo per le costruzioni esistenti i valori del fattore di struttura q che è consentito mettere in conto sono piuttosto bassi, non potendo in generale contare su disposizioni costruttive tali da conferire adeguata duttilità alle strutture.

Se nell'analisi si vuole tenere conto dell'effettiva capacità deformativa e del comportamento in regime anelastico della struttura allora è necessario effettuare una analisi non lineare; tale analisi dovrebbe a rigore essere condotta in campo dinamico, ma attualmente si sta diffondendo l'uso di una metodologia di analisi, di più semplice implementazione, denominata “Analisi pushover”.

Tale analisi, di tipo statico-equivalente, consiste nell’applicare determinate distribuzioni di forze via via crescenti sulla struttura, in modo da studiarne la risposta in termini elastoplastici. Tale risposta pertanto deve essere ottenuta mediante una analisi non lineare, tenendo conto sia degli effetti di non linearità del materiale sia degli effetti del second’ordine (non linearità di tipo geometrico) qualora essi assumano un valore non più trascurabile.

Al modello della costruzione, soggetto ai carichi gravitazionali e caratterizzato da un comportamento non lineare dei materiali, si applicano incrementalmente particolari distribuzioni di forze statiche orizzontali che hanno il compito di “spingere” la struttura in campo non lineare fino a portarla al collasso.

Durante l’analisi le forze orizzontali vengono tutte scalate, mantenendo costanti i rapporti relativi tra le stesse, in modo da far crescere monotonamente lo spostamento orizzontale di un punto di controllo sulla struttura, generalmente scelto in sommità dell’edificio.

La Normativa indica di applicare due diverse distribuzioni di forze orizzontali nei baricentri delle masse dei vari piani.

Nel seguito indicheremo rispettivamente come PUSH 1 e PUSH 2 tali distribuzioni di carico. In particolare si considera la prima distribuzione proporzionale alle masse della struttura, l’altra proporzionale al prodotto delle masse per la deformata individuata dal primo modo di vibrare del sistema (considerato elastico).

Secondo quanto detto, la prima distribuzione risulterà quasi rettangolare (taglio di piano approssimativamente costante), mentre la seconda risulterà una distribuzione triangolare, crescente dal basso verso l’alto (triangolare inversa).

Nelle tabelle che seguono si riportano i valori delle due distribuzioni di carico descritte per la struttura in esame: PUSH 1 Mi Mi/Mtot F Piano KNsec2/m _- KN 6 18 0.11 10.59 5 25 0.15 14.74 4 33 0.19 19.08 3 33 0.19 19.23 2 32 0.19 18.79 1 30 0.18 17.56 tot. 171 1.00 100

tab. 5.13 Taglianti di piano per la distribuzione PUSH 1

Per la seconda distribuzione dei taglianti di piano è necessario far riferimento al vettore corrispondente al primo modo di vibrare del sistema, normalizzato rispetto allo spostamento del punto di controllo (assunto convenientemente quale uno dei nodi appartenenti al solaio rigido di sommità dell’edificio).

Riferendosi nel seguito unicamente al modello dello stato attuale del campanile, dalle analisi precedentemente eseguite sul modello elastico lineare (analisi modale) si ha:

{

1 0,88 0,55 0,34 0,17 0,05

}

1 =

ΦT

La seconda distribuzione di carico è pertanto riportata nella tabella seguente:

PUSH 2 Mi di Mi*di (Mi*d)/S(Mi*d) F Piano KNsec2/m _- KNsec2/m _- KN 6 18 1 18 0.24 23.72 5 25 0.88 22 0.29 29.03 4 33 0.55 18 0.23 23.49 3 33 0.34 11 0.15 14.64 2 32 0.17 5 0.07 7.15 1 30 0.05 2 0.02 1.97

Nelle distribuzioni di carico PUSH 1 e PUSH 2 si osserva infine che è stato assunto come valore iniziale della forza laterale (totale), per calcolare la distribuzione in altezza, un valore pari a 100kN.

5.6.1 Modello non lineare del campanile

L'esecuzione di un'analisi statica non lineare presuppone una nuova modellazione per il campanile in esame, diversa da quella adottata per le analisi fin qui svolte con Sap2000©. Si sceglie a tal fine di impiegare il software SeismoStruct© v. 3.1.0.

Quest’ultimo codice di calcolo è un programma a plasticità diffusa, detto anche “a fibre”, nel quale si definiscono i legami non lineari dei materiali per ogni elemento della costruzione, al fine di ricavare la curva di capacità della struttura.

Si sottolinea che il risultato finale dell’analisi pushover è appunto la curva di taglio alla base (somma di tutte le forze orizzontali) – spostamento (di un punto ritenuto significativo del comportamento globale), che rappresenta la capacità di spostamento della struttura, da confrontare poi con la domanda di spostamento per i terremoti previsti.

L’analisi statica non lineare, così presentata, pur utilizzando sempre forze applicate alla struttura, considera in modo esplicito il ruolo fondamentale dello spostamento e della deformazione, che costituiscono i reali effetti del sisma su una costruzione.

Di contro risulta necessario avere a disposizione codici di calcolo in grado di descrivere il comportamento non lineare delle strutture.

In relazione a quanto detto si evidenzia che i programmi a plasticità diffusa, verso i quali è stata orientata la scelta per l’analisi qui proposta, una volta definito il legame non lineare dei materiali, non richiedono particolare perizia da parte dell’operatore e facilmente sono in grado di fornire la curva di capacità della struttura.

I codici di calcolo a plasticità concentrata invece, come lo stesso Sap2000©, richiedono un maggiore sforzo in termini di modellazione, poiché l’utente deve scegliere posizione e curva caratteristica delle eventuali cerniere plastiche.

Adottato quindi il codice di calcolo SeismoStruct©, si sono scelti, tra quelli offerti dal codice stesso, modelli adeguati per descrivere il comportamento non lineare dei materiali costituenti la costruzione.

In fig. 5.34 si riporta la finestra del programma relativa alla definizione del legame costitutivo del cls confinato dalle armature trasversali:

fig. 5.34 Modello utilizzato per simulare il comportamento del cls

Si evidenzia nella definizione di tale legame l’assegnazione di una resistenza a compressione cilindrica pari a 30MPa ed una resistenza a trazione pari a 3MPa.

Nota la correlazione tra resistenza cubica ( ) e resistenza cilindrica a compressione ( ), tale caratterizzazione del materiale risulta coerente all’assunzione di un per il cls del campanile, alla luce delle prove fatte sul conglomerato, descritte al Capitolo 4. ck R ck ck R f ≈0,83 MPa R_ck =35

Il codice consente anche di assegnare un diverso legame costitutivo alle fibre della sezione rappresentanti il copriferro dell’elemento in c.a., al fine di non tener conto per queste del confinamento (mediante un diverso valore del confinement factor).

In fig. 5.35 si riporta infine la finestra del programma relativa alla definizione del legame costitutivo dell’acciaio delle armature.

Si evidenzia che per tale definizione si è adottato un modulo elastico dell’acciaio pari a

2

fig. 5.35 Modello utilizzato per simulare il comportamento dell’acciaio

Il modello matematico ideato per la struttura in esame è un modello piano, costituito dagli elementi unidimensionali di fig. 5.36:

fig. 5.36 Modello piano del telaio resistente del campanile

Nella finestra a fianco del modello si riporta l’ingrandimento di una maglia generica del telaio piano; si vuole evidenziare come ogni trave orizzontale sia stata suddivisa in 4 elementi, mediante la disposizione di 5 nodi strutturali per piano.

Con ciò è stato possibile anzitutto modellare i pannelli di rivestimento in c.a. del campanile come elementi unidimensionali (il codice non prevede la possibilità di introdurre elementi bidimensionali) collegati alle mezzerie delle travi orizzontali dei vari ripiani.

Le travi orizzontali del modello sono state irrigidite nei due elementi intermedi al fine di escludere la possibilità che in tali zone possano formarsi delle cerniere plastiche (data la presenza nella situazione reale dei pannelli di rivestimento in c.a. solidali a tali travi).

Ai rimanenti due elementi di estremità delle travi orizzontali sono state assegnate le reali sezioni in c.a. al fine di garantire la possibilità che in dette zone possano formarsi cerniere plastiche; la lunghezza di tali elementi, detta b la dimensione del lato della sezione del pilastro nel piano del telaio, è stata valutata pari ad l =

( )

b 2 +1cm, approssimando ad lo spessore della gomma posta tra le superfici verticali dei pannelli di rivestimento e delle colonne del campanile.

cm 1

5.6.2 Risultati dell’analisi pushover

Completata la modellazione nel codice di calcolo ed assegnate le due distribuzioni di carico suddette (assieme all’azione esercitata dai carichi gravitazionali) si riportano rispettivamente in fig. 5.37 e 5.38 le due curve di pushover, così come rappresentate graficamente dal codice stesso:

fig. 5.38 Curva pushover per la distribuzione di carico PUSH 2

Dalle figure si osserva come l’analisi sia stata spinta fino ad uno spostamento massimo del punto di controllo dc (individuato in un nodo esterno del solaio di sommità) pari a 0,20m. Sulle ordinate dei grafici forniti dal programma si legge il valore del Load Factor, ovvero del moltiplicatore del taglio alla base iniziale (scelto come già detto pari a ), mediante il quale è possibile calcolare il taglio alla base (pari alla risultante delle forze applicate).

kN 100

b

V

In fig. 5.39 segue la rappresentazione del legame forza – spostamento generalizzato tra risultante delle forze applicate e spostamento del punto di controllo del sistema:

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 k N M-GDL Push 2 M-GDL Push 1

Si passa quindi alla determinazione del sistema 1-GDL equivalente; per far ciò si calcola il coefficiente di partecipazione, definito dalla relazione seguente:

46 , 1 2 1 1 ₌ Φ Φ = Γ

∑

∑

i i i i m m

Si osserva che il fattore di partecipazione al primo modo (modo fondamentale del telaio nel piano xz) è anche espresso dalla relazione seguente:

1 * 1 * * M R M T Φ = Γ

nella quale R è il vettore di influenza del sisma, che in questo caso risulta unitario.

Essendo M*1 =

(

Φ₁T *M *Φ₁

)

=52,41kNsec2 m, la massa partecipante al primo modo

risulta pari a:

(

)

m kN M R M M T 2 1 * 2 1 1 sec 75 , 111 * * ~ ₌ Φ ₌ Essendo Mtot kN m 2 sec 171

= la massa totale, la percentuale della massa modale partecipante al primo modo è pari ad M~_1% =M~₁ M_tot =65%, in perfetto accordo ai risultati dell’analisi modale eseguita sul modello lineare elastico, riportati al 5.3 del presente Capitolo. Forza e spostamento del sistema 1-GDL equivalente sono legati, in campo elastico, alle corrispondenti grandezze dell’edificio dalle due relazioni seguenti:

Γ =Vb F* Γ = dc d*

Seguono in fig. 5.40 le rappresentazioni delle due curve pushover relative al sistema 1-GDL equivalente; tali curve verranno approssimate da corrispondenti bilineari, definite in base al

-200 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0.000 0.014 0.027 0.041 0.055 0.068 0.082 0.096 0.110 0.123 0.137 kN 1-GDL Push 2 1-GDL Push 1 bilineare 2 bilineare 1

fig. 5.40 Curve pushover per il sistema 1-GDL equivalente

La Normativa stessa indica che le coordinate del punto di snervamento del sistema bilineare equivalente possono essere definite come segue:

Γ = bu y V F* * * * k F d y = y

Calcolate le aree sottese dalle curve del sistema 1-GDL tra 0 e (si determinano

rispettivamente e ) si può valutare lo spostamento allo

snervamento imponendo l’uguaglianza tra l’area sottesa dalla curva non lineare e dalla curva bilineare corrispondente, per entrambe le due distribuzioni, come segue:

m d*m =0,137 ( ) kNm A*1 =120,20 A*( )2 =79.63kNm ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = y m y F A d d * * * * 2