Sia  un numero positivo piccolo a piacere: 0x per ogni numero x ∈ℜ . Lo si può immaginare come il valore, diverso da zero, al quale tende la sequenza di numeri:

Nel calcolo dei limiti, risulta talvolta conveniente introdurre delle nuove rappresentazioni dei numeri piccolissimi, che si suole chiamare infinitesimi.

Le operazioni tra i numeri reali e gli infinitesimi non danno problemi, ma sorgono problemi quando si effettuano alcune operazioni tra due infinitesimi o tra infinitesimi ed infiniti.

Sia  un numero positivo piccolo a piacere: 0x per ogni numero x ∈ℜ . Lo si può immaginare come il valore, diverso da zero, al quale tende la sequenza di numeri:

1 ;0,1 ;0,01 ;0,001 ;0,0001 ;0,00001 ;...  . Sia a un numero reale.

Indicheremo con a

la quantità a

=a che si può immaginare come il valore, diverso da a , al quale tende da destra (sulla retta reale) la sequenza di numeri:

 a1 ; a0,1;a0,01 ;a0,001 ; a0,0001;a0,00001 ;... a . Dalla definizione appena data, si deduce che 0

= .

Si osservi che il segno di a

è lo stesso di a , cioè: { ^{a0 ⇒ a} a0 ⇒ a

^0 0 ∣

Indicheremo con _a

la quantità _a

_=a− che si può immaginare come il valore, diverso da a , al quale tende da sinistra (sulla retta reale) la sequenza di numeri:

 a−1 ; a−0,1;a−0,01 ;a−0,001 ; a−0,0001;a−0,00001 ;... a− .

Si osservi che il segno di a

è lo stesso di a , cioè: { ^{a0 ⇒ a a0 ⇒ a}

^{0 0} ∣

Esempi:

• 3

=3 , da cui 3

0 ;

• 3

=3− , da cui 3

 0

• 0

=0= , da cui 0

0

• 0

=0−=− , da cui 0

0

• −3

=−3 , da cui −3

0

• −3

=−3− , da cui −3

0

Si noti che, per evitare confusioni notazionali, si è indicato il numero negativo tra parentesi. Infatti, la scrittura −3

risulterebbe ambigua, in quanto potrebbe essere letta sia come −3

 che come −3

; come è ovvio, −3

−3

, ed in particolare, −3

−3−3

; infatti:

−3

=− 3=−3−−3−3=−3

1 Fa eccezione il caso a=0 , per il quale 0

0 ^e 0

0

2 Fa eccezione il caso a=0 , per il quale 0

0 ^e 0

0

Opposto Sia p un numero reale non negativo. Si ha:

− p

=− p=− p− =− p



− p

=− p−=− p =− p

 Esempi:

• −3

=−3



• −3

=−3



• 0

=−0



• 0

=−0



Somma

Dobbiamo considerare quattro situazioni differenti: somma tra infinitesimi dello stesso segno, addizione tra infinitesimi di segno opposto, somma tra un numero reale ed un infinitesimo, somma tra un infinito ed un infinitesimo.

Siano:

a ,b , c=a+b , d =a−b , numeri reali positivi, con a>b , ^cioè:

a∈ℜ , a>0 b∈ℜ , b>0 c∈ℜ , c=a+b ⇒c>0 d ∈ℜ , d =a−b ⇒ d >0 Somma

 −∞ −a − 0

0

 a ∞

−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ ?

−b −∞ −c (−b)

(−b)

(−b)

(−b)

+d ∞

− −∞ (−a)

− ₀

? ? _a

∞

0

−∞ (−a)

0

0

? ? a

∞

0

−∞ (−a)

? ? ₀

₀

_a

∞

 −∞ (−a)

? ? 0

 a

∞

b −∞ −d b

b

b

b

c ∞

∞ ? ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

Prodotto

Dobbiamo considerare tre situazioni differenti: prodotto tra infinitesimi, prodotto tra un numero reale ed un infinitesimo, prodotto tra un infinito ed un infinitesimo.

Siano:

a ,b , h=a⋅b , numeri reali positivi, cioè:

a ∈ℜ , a>0 b∈ℜ ,b>0 h∈ℜ , h=a⋅b ⇒ h>0 Prodotto

x −∞ −a − ₀

₀

 a ∞

−∞ ∞ ∞ ? ? ? ? −∞ −∞

−b ∞ +h  ₀

₀

− −h −∞

− ?   ₀

₀

− − ?

0

? ₀

₀

₀

₀

₀

₀

?

0

? ₀

₀

₀

₀

₀

₀

?

 ? − − ₀

₀

  ?

b −∞ −h − ₀

₀

 +h ∞

∞ −∞ −∞ ? ? ? ? ∞ ∞

Potenza (quadrato) Sia a ∈ℜ , a>0 .

Si ha:

(a

)

=( a

)

(a

)

=( a

)

((−a)

)

=(a

)

((−a )

)

=(a

)

Esempi:

(3

)

=9

(3

)

=9

((−3)

)

=9

((−3)

)

=9

Potenza (cubo) Sia a ∈ℜ , a>0 .

Si ha:

(a

)

=( a

)

(a

)

=( a

)

((−a)

)

=(−( a

))

((−a)

)

=(−( a

))

Esempi:

( 3

)

= 27

(3

)

= 27

((−3)

)

=(−27)

((−3)

)

=(−27)

Limiti da destra e da sinistra

I limiti a destra e a sinistra si possono capire molto bene graficamente. Per esempio si abbia una funzione che per le x0 vale y=1 e per x≥0 vale y=−3 . Il limite per x che tende a zero da destra (ovvero avvicinandosi allo zero da destra sul grafico ovvero sulle ascisse da ∞ inf verso 0 ) di questa funzione a tratti è −3 . Il limite per x che tende a zero da sinistra invece è uguale a 1 . Disegnandolo diventa più chiaro.

guardando l'asse delle ascisse, da destra significa provenendo da destra, e cioè prendendo valori di poco superiori a quelli del punto considerato; da sinistra significa venire da sinistra, e quindi considerare valori di poco inferiori.

prendiamo la funzione y = 2/(x-3) e calcoliamo i limiti destro e sinistro per x che tende a 3.

Se x tende a 3 da destra, vuol dire che x è un numero "vicino a 3" ma più grande di 3, pensa ad esempio a 3,000000001.

Se calcoli 3,000000001 - 3 trovi 0,000000001 che è un numero "vicino" a 0 POSITIVO.

Se x tende a 3 da sinistra, vuol dire che x è un numero "vicino a 3" ma più piccolo di 3, pensa ad esempio a 2,999999999.

Se calcoli 2,999999999 - 3 trovi - 0,000000001 che è un numero "vicino" a 0 NEGATIVO.

questo ti dice che per x che tende a 3 da destra y = 2/(x-3) tende a +infinito (perché 2/(roba >0) = roba > 0) mentre per x che tende a 3 da sinistra y = 2/(x-3) tende a meno infinito (perché 2/(roba <

0) = roba < 0).

NSA

http://nsa.liceofoscarini.it/infinitesimi.html

note

Poiché l’espressione

^lim

^{f ( x ) = ∞} viene utilizzata convenzionalmente per brevità quando non conosciamo il segno dell’infinito (addirittura, una funzione che tende a

∞ potrebbe ammettere due diversi limiti da sinistra e da destra, e quindi non ammetterne alcuno per x che tende ad x ), bisogna evitare di sottintendere il segno

di + ∞ , visto che affermare che il limite di un’espressione è + ∞ è molto più preciso che non indicarlo con un generico ∞ .

regola pratica: per il calcolo di un limite in un punto a, ovvero all'infinito, si può sostituire a x il valore a, ovvero, rispettivamente, il simbolo + ∞ o − ∞, ed effettuare i calcoli utilizzando, se necessario, le regole dell'aritmetica estesa, fermo restando che, senza particolari accorgimenti di cui si vedrà qualche esempio più avanti, non si può procedere in presenza di forme indeterminate. La tecnica resta sostanzialmente inalterata anche nel caso di funzioni composte.

Come capire l'andamento della funzione dai limiti ?