LA FORMULA PIU’ BELLA DEL MONDO
Paolo Alessandrini
Belluno, 9 febbraio 2019
𝑒 𝑖𝜋 + 1 = 0
• 15 aprile 1707: nasce a Basilea (il padre è amico di Johann Bernoulli)
Leonhard Euler
• 1726: completa il dottorato
• 1727: si trasferisce a Pietroburgo presso l’Accademia Imperiale delle Scienze; la sua reputazione come matematico cresce
• 1720: entra all’università di Basilea, dove si laurea in filosofia
• 1741: si trasferisce a Berlino, dove rimane per 25 anni e pubblica 380 articoli e le due opere principali
• Si aggravano i suoi problemi di salute
• 1766: si guasta il rapporto col re e si sposta nuovamente a Pietroburgo, alla corte di Caterina la Grande
• 18 settembre 1783: «cessa di calcolare e di vivere»
Leonhard Euler
• Il matematico più importante del Settecento, il più prolifico di sempre (più di 900 lavori)
• Ottenne risultati fondamentali in tuti i rami della matematica, e ne creò di nuovi
• Introdusse molti simboli matematici che ancora oggi usiamo normalmente
• Fu anche fisico, astronomo, e pure un ottimo divulgatore scientifico
• Fu un grande «costruttore di ponti»
Leonhard Euler
I cinque protagonisti della formula
Numero di Nepero e
Unità
immaginaria i
Pi greco π
1
0
Il numero di Nepero e
• Una lettera per indicare un numero (2,71828...)
• Un numero «magico»
• John Napier, detto Nepero, matematico per hobby
• Dovremmo chiamarlo... numero di Eulero
• Perché proprio «e»?
L’unità immaginaria i
• Radice quadrata di un numero x: il numero non negativo che, moltiplicato per se stesso, dà
come risultato x.
Per esempio, 9 = 3 perché 3 ∙ 3 = 9
• Allora −1 non esiste!
• Nel Cinquecento alcuni matematici italiani inventano un nuovo numero che, moltiplicato per se stesso, dà come risultato -1.
Lo chiamano unità immaginaria e lo indicano con la lettera i.
• Capostipite di una nuova razza esotica di numeri: i numeri complessi.
Il pi greco, π
• π: rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio• Circa uguale a 3,14
• La cosa speciale: il rapporto è sempre lo stesso
• Ricevette il suo nome solo all’inizio del Settecento (William Jones)
• Il fascino di π deriva dal fatto che è un numero semplice e misterioso al tempo stesso
• La storia di π è la storia di come, nel corso dei secoli, i matematici hanno cercato di determinarne il valore con sempre maggior precisione:
Antico Egitto: 3,16
Archimede di Siracusa: 3,14
matematici cinesi (V secolo): 7 cifre decimali
Al-Kashi (1400): 16 cifre
Ludolph van Ceulen (1600): 32 cifre
William Shanks (1873): 527 cifre
oggi: 22.000 miliardi di cifre!
Il pi greco, π
• π ha affascinato anche gli scrittori e gli artisti (Antico Testamento, Dante Alighieri, Thomas Mann, Wislawa Szimborska, Kate Bush...)
Il numero 0
• Non è per niente una nullità: fa diventare come lui i numeri per cui è moltiplicato, ma li lascia invariati se l’operazione è una addizione
• Numero per noi ovvio e insostituibile ma sconosciuto nell’antichità
• Fu intuito dai Babilonesi e poi da Tolomeo
• «Inventato» dai matematici indiani,
in particolare Brahmagupta (VII sec. d.C.)
• «Imparato» dagli arabi e infine dagli europei
Il numero 1
• È il primo numero non nullo tra i numeri naturali
• Non sortisce alcun effetto quando viene moltiplicato per altri numeri
• Presi insieme, lo zero e l’uno riescono a generare tutte le quantità possibili, grazie al sistema binario
• Non esiste un’altra coppia di supereroi matematici così potenti!
L’addizione e la moltiplicazione
La funzione esponenziale
𝑒 𝑖𝜋 + 1 = 0
è una potenza (il numero e elevato a un esponente)
Immaginiamo che l’esponente, anziché essere uguale a un valore ben preciso, cioè 𝑖𝜋, sia una quantità variabile:
allora la potenza diventa una funzione esponenziale.
La funzione esponenziale
funzione esponenziale
e
xe
ixesponenziale complessa esponenziale
reale
Nel nostro caso, l’esponente è 𝑖𝜋, quindi abbiamo una funzione
esponenziale complessa in cui x è uguale a 𝜋
La funzione esponenziale complessa
esponenziale reale
esponenziale
complessa
L’identità di Eulero
𝑒 𝑖𝜋 = −1
𝑒 𝑖𝜋 + 1 = 0
L’identità di Eulero è bella?
𝑒 𝑖𝜋 + 1 = 0
• Richard
Feynmann: «la formula più
straordinaria in matematica»
• 1988: un sondaggio della rivista «The mathematical intelligencer» la proclama «formula più bella di tutti i tempi»
• 2014: in un sondaggio condotto allo University College di Londra viene scelta come la più bella tra sessanta famose formule matematiche
L’identità di Eulero in musica
Here be numbers transcendental On an imaginary axis spunDecimal places without limit And 0 and 1
Mathematics
Simply pure beyond belief
e to the power of i times π plus 1 is 0 e to the power of i times π plus 1 is 0 e to the power of i times π is -1
e to the power of i times π is -1 A single function, exponential Just one addition must be done...
Multiplication in completion Of 0, of 1
Mathematics
Just so "wow" it brooks belief
(You'd better believe, you'd better believe it.)
L’identità di Eulero è bella?
Ricerca dello University College condotta da Semir Zeki:
• 16 matematici hanno valutato 60 equazioni (usando una scala di voti da «orribile» a «bella»)
• secondo voto assegnato dall’interno di uno scanner per risonanza magnetica funzionale (fMRI)
• le formule «belle» attivano la
stessa parte del cervello che viene accesa dalle opere d’arte
(campo A1 della corteccia orbitofrontale mediale).
Perché l’identità di Eulero è bella?
Secondo la ricerca di Zeki, una formula è bella se:
1. è inaspettata e sorprendente
2. contiene un’argomentazione complessa i cui elementi logici si incastrano perfettamente tra di loro, creando un’immagine di eleganza e semplicità
Un secolo fa G. H. Hardy aveva scritto che una formula matematica è bella se è:
1. imprevedibile 2. inevitabile
3. economica
Non c’entra l’utilità pratica!
Perché l’identità di Eulero è bella?
La formula di Eulero contiene tutto questo: fa incontrare
«personaggi» con storie
speciali e diverse tra di loro.
Un incontro di vecchie glorie che genera complessità ma anche semplicità ed eleganza.
Scoprire la bellezza della matematica
Bellezza
matematica
apprezzata solo da chi ha una preparazione in materia.
Questione di
«linguaggio»
