Trigonometria. 1 Angoli orientati e loro misura

(1)

Trigonometria

1 Angoli orientati e loro misura

Si definisce angolo ciascuna delle due porzioni di piano compresa tra due semirette r ed s (dette lati) uscenti dalla stessa origine O. Possiamo pensare l’angolo come generato dalla rotazione attorno ad O di una delle due semirette (che chiameremo primo lato) fino a raggiungere la seconda (secondo lato): spe- cificando qual è il primo lato e qual è il secondo abbiamo fornito un’orientazione all’angolo, e l’angolo si dirà orientato. Ci sono due modi in cui il primo lato può ruotare: in senso antiorario ed in senso orario. Per convenzione assumiamo che il verso positivo sia quello antiorario, e quello negativo sia quello orario.

r O

s

α

−α

In figura, l’angolo α `e l’angolo di origine O orientato positivamente da r ad s, mentre l’angolo−α `e l’angolo di origine O orientato negativamente da s ad r.

In entrambi i casi la porzione di piano corrispondente agli angoli `e la stessa, ma i due angoli differiscono per l’orientazione.

La nozione di angolo orientato è essenziale una volta che avremo associato ad esso una misura. Infatti ad angoli orientati positivamente sarà associata una misura positiva, ad angoli orientati negativamente sarà associata una misura negativa.

Il sistema di misurazione degli angoli che utilizzeremo `e quello basato sull’unit`a di misura chiamata radiante (rad). La definizione di radiante che utilizzeremo

è la seguente: l’angolo che misura un radiante è quello orientato positivamente che intercetta sulla circonferenza unitaria un arco di lunghezza 1, ovvero della stessa lunghezza del raggio (l’angolo α in figura). Di conseguenza, l’angolo che misura meno un radiante è quello orientato negativamente che intercetta sulla circonferenza unitaria un arco di lunghezza 1 (l’angolo −α in figura).

(2)

r O

s

α

1

1 rad

r O

s

−α 1

−1 rad

L’angolo giro, ovvero l’angolo orientato positivamente compreso tra due semirette coincidenti e che contiene tutto il piano, ha quindi misura 2π rad (ovvero la lunghezza della circonferenza di raggio unitario). Quando parleremo di angoli, li assoceremo sempre alla loro misura in radianti. Se un angolo ha misura x rad, con x ∈ [0, 2π], `e implicitamente detto che ha orientazione positiva. Se invece ha misura −x rad, con x ∈ [0, 2π], la sua orientazione `e negativa.

Un’altra unità di misura utilizzata comunemente è il grado (^◦), definito come la trecentosessantesima parte dell’angolo giro. La misura dell’angolo giro è quindi di 360^◦. Siccome la misura dell’angolo giro è 2π rad, questo dà una regola per passare dalla misura in radianti di un angolo a quella in gradi, e viceversa. Dato un angolo α se denotiamo con α^◦ la sua misura in gradi e con α rad la sua misura in radianti, allora

α^◦

α rad = 360^◦ 2π rad. Ad esempio, se un angolo α `e di π rad, allora

α^◦

π rad = 360^◦

2π rad ⇐⇒ α^◦ = 360^◦· π rad

2π rad = 180^◦.

Ad ogni modo, noi descriveremo sempre gli angoli tramite la loro misura in radianti.

2 La circonferenza goniometrica

Si fissi un sistema di coordinate cartesiane di origine O e si tracci la circonferenza di centro O e raggio unitario. La circonferenza goniometrica `e il luogo dei punti (x, y) ∈ R² tali che x²+ y² = 1. Sia α un angolo orientato. Lo riportiamo sul piano cartesiano nel seguente modo: facciamo coincidere il primo lato con la semiretta delle ascisse positive, e denotiamo con A il punto di intersezione tra questo lato e la circonferenza unitaria, ovvero A = (1, 0). Il secondo lato interse- cher`a la circonferenza goniometrica in un secondo punto B di coordinate (x_B, y_B) che dipende dall’angolo. In questo modo abbiamo definito una corrispondenza tra gli angoli orientati e punti della circonferenza unitaria.

(3)

r = 1

x

−x x rad

-x rad O

B

B⁰

A

Finora abbiamo considerato angoli di misura x ∈ [0, 2π] (o di misura x ∈ [−2π, 0] se orientati negativamente). Riprendiamo l’osservazione che un angolo orientato pu`o essere pensato come generato dalla rotazione attorno all’origine del primo lato, in senso orario o antiorario, fino a che non si sovrappone al secondo lato. Ma questo avviene anche se, dopo che il primo lato si sovrappone al secondo, descrive uno o pi`u angoli giri, ovvero descrive multipli interi di 2π radianti.

Questo implica che la corrispondenza tra angoli e punti della circonferenza non `e biunivoca: ad ogni angolo corrisponde uno ed un solo punto della circonferenza, ma ad ogni punto della circonferenza a cui corrisponde un angolo α, corrisponde ogni angolo del tipo α + 2kπ, con k ∈ Z.

r O

s

α

r O

s

α + 2π

(4)

3 Le funzioni seno e coseno

Sia α un angolo orientato e sia P = (x_P, y_P) il punto sulla circonferenza goniometrica associato con l’angolo α (ovvero l’intersezione tra il secondo lato dell’angolo e la circonferenza).

Si chiama seno dell’angolo orientato α l’ordinata y_P del punto P e si scrive sin(α).

Si chiama coseno dell’angolo orientato α l’ascissa x_P del punto P e si scrive cos(α).

sin(α)

cos(α) r = 1

O

P = (cos(α), sin(α))

α

3.1 Le funzioni seno e coseno: propriet` a

Enunciamo alcune propriet`a di base delle funzioni seno e coseno.

Abbiamo visto che dato un angolo α, resta associato sulla circonferenza goniometrica un unico punto P = (x_p, y_p) = (cos(α), sin(α)). Tale punto P `e associato a ogni angolo del tipo α + 2kπ, per tutti i valori interi di k. Si ha quindi

cos(α) = cos(α + 2kπ) , ∀k ∈ Z, sin(α) = sin(α + 2kπ) , ∀k ∈ Z :

le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2π. Inoltre, essendo seno e coseno le coordinate di un punto sulla circonferenza unitaria, essi soddisfano la relazione

(5)

In particolare

−1 ≤ cos(α) ≤ 1,

−1 ≤ sin(α) ≤ 1.

Ricordiamo che due angoli si dicono complementari quando la loro somma coincide con l’angolo retto, ovvero con l’angolo di misura ^π₂. Le funzioni seno e coseno di angoli complementari sono legate dalla seguente relazione:

sinπ 2 − α

= cos(α), cosπ

2 − α

= sin(α).

3.2 Valori notevoli di seno e coseno

E utile conoscere e memorizzare i valori delle funzioni trigonometriche in corri-` spondenza dei cosiddetti angoli notevoli. Nella seguente tabella sono riportati i valori di seno e coseno per gli angoli notevoli compresi tra 0 e ^π₂ radianti (primo quadrante)

Angolo (in rad) 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂

sin 0 ¹₂

√ 2 2

√ 3

2 1

cos 1

√ 3 2

√ 2 2

1

2 0

I valori degli angoli notevoli compresi tra ^π₂ e π (secondo quadrante) possono essere ricavati mediante le relazioni

sin(π − α) = sin(α) , cos(π − α) = − cos(α).

I valori degli angoli notevoli compresi tra π e ³₂π (terzo quadrante) possono essere ricavati mediante le relazioni

sin(π + α) = − sin(α) , cos(π + α) = − cos(α).

I valori degli angoli notevoli compresi tra ³₂π e 2π (quarto quadrante) possono essere ricavati mediante le relazioni

sin(2π − α) = sin(−α) = − sin(α) , cos(2π − α) = cos(−α) = cos(α).

Nell’immagine seguente riportiamo sulla circonferenza goniometrica i valori di seno e coseno degli angoli notevoli α come (cos(α), sin(α)).

(6)

x y

^√

3 2 ,¹₂

^√

2 2 ,

√2 2

1 2,

√ 3 2

−

√3 2 ,¹₂

−

√2 2 ,

√2 2

−¹₂,

√ 3 2

−

√ 3 2 , −¹₂

−

√ 2 2 , −

√ 2 2

−¹₂, −

√ 3 2

^√

3 2 , −¹₂

^√

2 2 , −

√ 2 2

1 2, −

√ 3 2

(−1, 0) (1, 0)

(0, −1) (0, 1)

π 6 π 6 π 4 π 4 π 3 π 3 π

2 π 2π 2

3 2π 3π 3

4 3π 5π 4

6 5π

6

π π

7π 6 7π

6 5π 4 5π

4 4π 3 4π

3 3π

2 3π

2

5π 3 5π

3 7π

4 7π

4 11π

6 11π

6

(0) 2π (0) 2π

4 Le funzioni tangente e cotangente

Sia α un angolo orientato e sia P = (x_P, y_P) = (cos(α), sin(α)) il punto sulla circonferenza goniometrica associato con α.

Si chiama tangente dell’angolo orientato α il rapporto y_P

x_P, ovvero sin(α) cos(α) e si scrive tan(α).

Si chiama cotangente dell’angolo orientato α il rapporto x_P

y_P, ovvero cos(α)

sin(α) = tan⁻¹(α) e si scrive cot(α).

(7)

tan(α) cot(α)

r = 1 O

P

α

Graficamente, dato un angolo orientato α ∈ −^π₂,^π₂ e P = (cos(α), sin(α)) il punto associato sulla circonferenza goniometrica, si ha che tan(α) è l’ordinata del punto di intersezione tra la semiretta uscente da O e passante per P e la tangente alla circonferenza goniometrica nel punto (1, 0). La funzione tangente non è definita per α = ^π₂ + 2kπ e per α = −^π₂ + 2kπ, k ∈ Z. Equivalentemente, la funzione tangente è definita per

α 6= π

2 + kπ , k ∈ Z.

Per angoli sulla circonferenza goniometrica appartenenti al secondo e terzo quadrante, la funzione tangente si ricava mediante la formula

tan(π + α) = tan(α).

Questa formula vale per ogni α ∈ R, per cui la funzione tangente `e periodica di periodo π.

Dato un angolo orientato α ∈ ]0, π[ e P = (cos(α), sin(α)) il punto associato sulla circonferenza goniometrica, si ha che cot(α) è l’ascissa del punto di intersezione tra la semiretta uscente da O e passante per P e la tangente alla circonferenza goniometrica nel punto (0, 1). La funzione cotangente non è definita per α = 2kπ e per α = π + 2kπ, k ∈ Z. Equivalentemente, la funzione cotangente è definita per

α 6= kπ , k ∈ Z.

Per angoli sulla circonferenza goniometrica appartenenti al terzo e quarto quadrante, la funzione cotangente si ricava mediante la formula

cot(π + α) = cot(α).

Questa formula vale per ogni α ∈ R, per cui la funzione cotangente `e periodica di periodo π.

(8)

4.1 Le funzioni tangente e cotangente: valori notevoli

Nella seguente tabella sono riportati i valori di tangente e cotangente per gli angoli notevoli compresi tra 0 e ^π₂ radianti (primo quadrante)

Angolo (in rad) 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂

tan 0 ^√¹

3 1 √

3 non definita

cot non definita √

3 1 ^√¹

3 0

I valori della tangente per angoli notevoli in ] −^π₂, 0] (quarto quadrante) possono essere ricavati mediante la relazione

tan(α) = tan(−α) :

Angolo (in rad) −^π₃ −^π₄ −^π₆

tan −√

3 −1 −^√¹₃

I valori della cotangente per angoli notevoli in [^π₂, π[ (secondo quadrante) possono essere ricavati mediante la relazione

cot(α) = cot(π − α).

Angolo (in rad) ²₃π ³₄π ⁵₆π

cot −√

3 −1 −^√¹

3

5 Le funzioni trigonometriche: esempi

Esempio. Dato l’angolo α, calcolare cos(α), tan(α), cot(α) sapendo che α ∈ [^π₂, π] e che sin(α) = 24/25.

Soluzione. Utilizziamo l’identit`a trigonometrica fondamentale cos²(α)+sin²(α) = 1. Per cui

cos²(α) = 1 − sin²(α) = 1 − 24²

25² = 49

625 ⇒ cos(α) = ± 7 25.

Ora, l’angolo α appartiene al secondo quadrante (α ∈ [^π₂, π]), per cui il coseno (l’a- scissa del punto associato (cos(α), sin(α))) `e negativa, quindi questo ci permette di concludere che cos(α) = −7/25. Immediatamente ricaviamo che

tan(α) = sin(α)

cos(α) = −24 7 e

cot(α) = − 7 24. Esempio. Dato l’angolo α tale che tan(α) = −2√

6, determinare sin(α) e cos(α).

Soluzione. Siccome tan(α) è il rapporto tra sin(α) e cos(α) e tan(α) < 0, allora α può trovarsi o nel secondo o nel quarto quadrante. Utilizzando l’identità trigonometrica fondamentale notiamo che

24 = tan²(α) = sin²(α)

= 1 − cos²(α)

= 1

− 1

(9)

e quindi

cos²(α) = 1

25 ⇒ cos(α) = ±1

5 e quindi sin²(α) = 24

25 ⇒ sin(α) = ±2√ 6 5 Se α `e nel secondo quadrante, allora (cos(α), sin(α)) = (−¹₅,²

√ 6

5 ), mentre se α `e nel quarto quadrante, allora (cos(α), sin(α)) = (¹₅, −²

√ 6 5 ).

6 Grafici di funzioni trigonometriche

6.1 Grafici di funzioni trigonometriche: il coseno

Il grafico di una funzione trigonometrica è il luogo dei punti (x, y) sul piano cartesiano tali che y = f (x), dove f (x) = cos(x), sin(x), tan(x), cot(x). Le funzioni sin(x) e cos(x) sono definite per ogni x ∈ R grazie al fatto che cos(x) = cos(x + 2kπ) e sin(x) = sin(x + 2kπ) per ogni k ∈ Z. Quindi è sufficiente rappresentare la funzione in un intervallo di periodicità, ovvero in un intervallo di lunghezza 2π. Il grafico della funzione coseno è il seguente.

x cos(x)

−π

π 6

π 3 π 4

π 2

π

•

√ • 3/2 1/2

√2/2

0

−1 1

Dal grafico si visualizza il fatto che la funzione coseno è pari, ovvero cos(x) = cos(−x): il grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate. Inoltre, se re- stringiamo il grafico all’intervallo [0, π], si vede che esso è simmetrico rispetto al punto (^π₂, 0). Ciò riflette il fatto che cos(π − x) = − cos(x) per x ∈ [0, π]. Per pe- riodicità, questa relazione è valida per ogni x ∈ R. Si vede anche che la funzione coseno è strettamente decrescente su [0, π], ed in particolare essa è biiettiva da [0, π] a [−1, 1].

6.2 Grafici di funzioni trigonometriche: il seno

Come il coseno, la funzione seno è periodica di periodo 2π, quindi è sufficiente rappresentare il grafico in un intervallo di periodicità.

(10)

x sin(x)

cos(x)

−^π₂

π 6

π 3 π 4

π 2

•

• •

•

• •

−π

π 1/2

√3/2

√2/2

0 1

La funzione seno è una funzione dispari, ovvero sin(x) = − sin(−x). Questo si riflette nel fatto che il suo grafico è simmetrico rispetto al punto (0, 0). La funzione seno è strettamente crescente e biiettiva da −^π₂,^π₂ a [−1, 1].

In figura `e riportato tratteggiato anche il grafico della funzione coseno. Si pu`o provare che il grafico della funzione seno coincide con quello della funzione coseno traslato nella direzione delle ascisse positive di ^π₂. In particolare questo si riflette nella relazione

sin(x) = cos

x − π

2

, ∀x ∈ R.

Proveremo questa relazione grazie alle formule di addizione.

6.3 Grafici di funzioni trigonometriche: la tangente

Ricordiamo che la funzione tangente `e una funzione periodica di periodo π. Essa

`e definita su R \_π

2 + kπ , k ∈ Z. Il suo grafico `e il seguente:

x tan(x)

π 6

π 3 π 4

•

• 0 1/√

3

√3

1

−^π₂ ^π₂

La funzione tangente è dispari, ovvero tan(x) = − tan(−x). Inoltre essa è strettamente crescente e biiettiva da −^π₂,^π₂ su R. Per periodicità, l’ultima

(11)

6.4 Grafici di funzioni trigonometriche: la cotangente

Anche la funzione cotangente è una funzione periodica di periodo π. Essa è definita su R \ {kπ}, k ∈ Z. Il suo grafico è il seguente:

x cot(x)

π 6

π 3 π 4

•

• 0

√3

1/√ 3 1

−π ^π π

2

La funzione cotangente è dispari, ovvero cot(x) = − cot(−x). Inoltre essa è strettamente decrescente e biiettiva da ]0, π[ su R. Per periodicità, l’ultima affermazione è vera su qualsiasi intervallo del tipo ]kπ, (k + 1)π[, k ∈ Z.

7 Funzioni trigonometriche inverse

7.1 Funzioni trigonometriche inverse: arcoseno

Abbiamo visto che, dato un qualsiasi valore x ∈ R esiste un unico y ∈ [−1, 1] tale che y = sin(x). Viceversa, vi sono infiniti valori x tali per cui, dato y ∈ [−1, 1], si ha che sin(x) = y (basta prendere un qualsiasi x che soddisfa l’uguaglianza e ogni reale del tipo x + 2kπ con k ∈ Z la soddisfer`a), quindi la funzione seno non

`e invertibile su R.

Abbiamo per`o visto che sin(x) `e strettamente crescente e biiettiva da −^π₂,^π₂ a [−1, 1]. In tal caso esiste quindi la funzione inversa del seno, che chiameremo arcoseno e indicheremo come arcsin(x). Diamo una definizione rigorosa della funzione arcoseno:

∀x ∈ [−1, 1], y = arcsin(x) ⇐⇒ y ∈ h

−π 2,π

2 i

e x = sin(y).

In altre parole, l’arcoseno di un numero reale x compreso tra −1 ed 1 `e il valore di quell’angolo compreso tra −^π₂ e ^π₂ che ha x come seno.

(12)

La funzione arcsin : [−1, 1] → −^π₂,^π₂

`

e strettamente crescente, essendo l’inversa di una funzione strettamente crescente.

7.2 Funzioni trigonometriche inverse: arcoseno

Il grafico della funzione arcoseno si ottiene a partire dal grafico della funzione seno (ristretto a −^π₂,^π₂) riflettendolo lungo la bisettrice del primo e terzo quadrante.

x sin(x) arcsin(x)

π 2

−^π₂

π 2

−^π₂

1

−1

1

−1

7.3 Funzioni trigonometriche inverse: arcocoseno

Dato un qualsiasi valore x ∈ R esiste un unico y ∈ [−1, 1] tale che y = cos(x). Vi- ceversa, vi sono infiniti valori x tali per cui, dato y ∈ [−1, 1], si ha che cos(x) = y:

anche la funzione coseno non `e invertibile su R.

Abbiamo visto che cos(x) `e strettamente decrescente e biiettiva da [0, π] a [−1, 1].

In tal caso esiste quindi la funzione inversa del coseno, che chiameremo arcocoseno e indicheremo come arccos(x).

(13)

∀x ∈ [−1, 1], y = arccos(x) ⇐⇒ y ∈ [0, π] e x = cos(y).

In altre parole, l’arcocoseno di un numero reale x compreso tra −1 ed 1 `e il valore di quell’angolo compreso tra 0 e π che ha x come coseno.

La funzione arccos : [−1, 1] → [0, π] `e strettamente decrescente, essendo l’inversa di una funzione strettamente decrescente.

7.4 Funzioni trigonometriche inverse: arcocoseno

Il grafico della funzione arcocoseno si ottiene a partire dal grafico della funzione coseno (ristretto a [0, π]) riflettendolo lungo la bisettrice del primo e terzo quadrante.

x

cos(x) arccos(x)

π

−1

π

−1

1 1

7.5 Funzioni trigonometriche inverse: arcotangente

Se si restringe la funzione tangente all’intervallo aperto −^π₂,^π₂, si vede che essa `e strettamente crescente (quindi iniettiva) e assume tutti i possibili valori

(14)

reali: tan(x) `e una funzione biiettiva da −^π₂,^π₂ su tutto R. Esiste quindi la sua funzione inversa che chiameremo arcotangente, definita su tutto R, e che indicheremo come arctan(x).

∀x ∈ R, y = arctan(x) ⇐⇒ y ∈ i

−π 2,π

2 h

e x = tan(y).

In altre parole, l’arcotangente di un numero reale x `e il valore di quell’angolo compreso tra −^π₂ e ^π₂ che ha x come tangente.

La funzione arctan : R → −^π₂,^π₂ `e strettamente crescente, essendo l’inversa di una funzione strettamente crescente.

Il grafico della funzione arcotangente si ottiene a partire dal grafico della funzione tangente (ristretto a −^π₂,^π₂) riflettendolo lungo la bisettrice del primo e terzo quadrante.

x tan(x)

arctan(x)

π 2

−^π₂

π

−^π₂ 2

8 Formule trigonometriche

8.1 Formule trigonometriche immediate

Riassumiamo in questa pagina alcune importanti formule trigonometriche immediate, che abbiamo gi`a incontrato durante la definizione delle funzioni trigonometriche. Queste formule valgono per ogni x ∈ R

• cos²(x) + sin²(x) = 1;

(15)

• parit`a del coseno: cos(x) = cos(−x);

• disparit`a del seno: sin(x) = − sin(−x);

• cos ^π₂ − x = sin(x) e sin ^π₂ − x = cos(x);

• cos(π + x) = − cos(x) e sin(π + x) = − sin(x);

• periodicit`a: cos(x + 2kπ) = cos(x) e sin(x + 2kπ) = sin(x) per ogni k ∈ Z.

Queste formule sono utili per semplificare espressioni contenenti funzioni trigonometriche, che compaiono nella risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche. Saranno utili anche altre formule, generalmente pi`u complicate da dimostrare, che permettono di esprimere funzioni trigonometriche di somme di angoli in termini di altre funzioni trigonometriche dei singoli angoli.

8.2 Formule di addizione

Enunciamo ora le due formule di addizione del seno e del coseno, dalle quali deriveranno, come conseguenze, molte altre formule trigonometriche.

Per ogni α, β ∈ R

cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) sin(α + β) = sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α).

Esempio. Calcoliamo il valore del seno e del coseno di ₁₂⁵π. Notiamo che ₁₂⁵π =

3

12π + ₁₂² π = ^π₄ + ^π₆. Allora, per il coseno cos 5

12π

= cosπ 4 + π

6

= cosπ 4

cosπ 6

− sinπ 4

sinπ

6

=

√2 2 ·

√3 2 −

√2 2 ·1

2 =

√6 −√ 2

4 .

Per il seno sin 5

12π

= sin

π 4 + π

6

= sin

π 4

cos

π 6

+ sin

π 6

cos

π 4

=

√2 2 ·

√3 2 +1

2 ·

√2 2 =

√6 +√ 2

4 .

8.3 Formule di addizione: conseguenze

Una prima conseguenza delle formule di addizione, sono le formule di sottrazione.

(16)

Per ogni α, β ∈ R

cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) sin(α − β) = sin(α) cos(β) − sin(β) cos(α).

Queste derivano immediatamente dalle formule di addizione sostituendo −β a β ed utilizzando il fatto che cos(−β) = cos(β) e sin(−β) = − sin(β). Dalle formule di addizione di seno e coseno otteniamo le formule di addizione e sottrazione della tangente:

Per ogni α, β ∈ R \_π

2 + kπ, k ∈ Z e α + β 6= ^π₂ + kπ, k ∈ Z tan(α + β) = tan(α) + tan(β)

1 − tan(α) tan(β) sin(α − β) = tan(α) − tan(β)

1 + tan(α) tan(β).

Anche questa formula `e di immediata verifica: ad esempio, sotto le ipotesi su α, β tan(α + β) = sin(α + β)

cos(α + β) = sin(α) cos(β) − sin(β) cos(α) cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)

=

sin(α) cos(β)−sin(β) cos(α) cos(α) cos(β) cos(α) cos(β)−sin(α) sin(β)

cos(α) cos(β)

= tan(α) + tan(β) 1 − tan(α) tan(β).

8.4 Formule di duplicazione

Prendendo nella formula di addizione del seno e del coseno α = β otteniamo le formule di duplicazione.

Per ogni α ∈ R

cos(2α) = cos²(α) − sin²(α) sin(2α) = 2 sin(α) cos(α).

Se α ∈ R ed α 6= ^π₂ + kπ e α 6= ^π₄ + k^π₂, k ∈ Z tan(2α) = 2 tan(α)

1 − tan²(α).

Ricordando l’identit`a trigonometrica fondamentale cos²(α) + sin²(α) = 1 otteniamo come conseguenza immediata delle formule di duplicazione le seguenti identit`a.

(17)

Per ogni α ∈ R

cos²(α) = 1 + cos(2α) 2 sin²(α) = 1 − cos(2α)

2 .

8.5 Formule di duplicazione: conseguenze

Ricaviamo queste ultime due formule

cos(2α) = cos²(α) − sin²(α) = 2 cos²(α) − 1 ⇒ cos²(α) = 1 + cos(2α)

2 ,

cos(2α) = cos²(α) − sin²(α) = 1 − 2 sin²(α) ⇒ sin²(α) = 1 − cos(2α)

2 .

Sostituendo nelle formule precedenti α con ^α₂ e passando alle radici quadrate otteniamo le cosiddette formule di bisezione:

Per ogni α ∈ R

cosα 2

= ±

r1 + cos(α) 2 sinα

2

= ±

r1 − cos(α)

2 .

Notiamo che il segno di seno e coseno in questo caso non è univocamente de- terminato: bisognerà disporre di ulteriori informazioni sull’angolo α per poter decidere qual è il segno delle sue funzioni trigonometriche (ad esempio, conoscere il quadrante in cui si trova).

8.6 Formule trigonometriche: esempi

Esempio. Calcoliamo coseno, seno e tangente di ₁₂^π. Notiamo che ₁₂^π = ^π₄ − ^π₆. Grazie alle formule di sottrazione abbiamo per il coseno

cos

π 12

= cos

π 4 −π

6

= cos

π 4

cos

π 6

+ sin

π 4

sin

π 6

=

√2 2 ·1

2 +

√2 2 ·

√3 2 =

√2 +√ 6

4 .

Per il seno sin

π 12

= sin

π 4 − π

6

= sin

π 4

cos

π 6

− cosπ 4

sin

π 6

=

√2 2 ·

√3 2 −

√2 2 ·1

2 =

√6 −√ 2

4 .

(18)

Per la tangente, utilizziamo immediatamente la definizione tanπ

12

= sin ₁₂^π cos ₁₂^π =

√6 +√

√ 2 6 −√

2 = (√

6 +√ 2) (√

6 −√ 2)(√

6 +√

2) = 2 +√ 3.

Esempio. Calcoliamo la tangente di ¹⁷₁₂π. Notiamo innanzitutto che l’angolo `e maggiore di π, infatti ¹⁷₁₂π = π + ₁₂⁵ π. Per la periodicit`a della tangente, si ha che

tan 17 12π

= tan

π + 5

12π

= tan 5 12π

. Inoltre, ₁₂⁵π = ^π₆ +^π₄, quindi

tan 17 12π

= tan 5 12π

= tanπ 6 + π

4

= tan ^π₆ + tan ^π₄ 1 − tan ^π₆ tan ^π₄ =

1 + ^√¹

3

1 − ^√¹₃ = 2+√ 3.

Esempio. Calcolare sin ^π₆ + α e cos ^π₆ + α sapendo che sin(α) = −³₅ e π <

α < ³₂π.

Soluzione. Troviamo cos(α):

cos²(α) = 1 − sin²(α) = 1 − 9 25 = 16

25 ⇒ cos(α) = ±4 5.

Siccome π < α < ³₂π, il coseno `e negativo, quindi cos(α) = −⁴₅. Applichiamo le formule di addizione: per il seno

sinπ 6 + α

= sinπ 6

cos (α) + cosπ 6

sin (α) = −1 2·4

5−

√3 2 ·3

5 = −4 + 3√ 3 10 , per il coseno

cosπ 6 + α

= cosπ 6

cos (α) − sinπ 6

sin (α) = −

√3 2 · 4

5 +1 2 ·3

5 = 3 − 4√ 3 10 . Esempio. Verifichiamo che

sin(α + β) + sin(α − β)

cos(α + β) + cos(α − β) = tan(α).

Sviluppiamo nel membro a sinistra dell’uguaglianza tutti i seni e coseni delle somme e delle differenze:

sin(α + β) + sin(α − β)

cos(α + β) + cos(α − β) = sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α) + sin(α) cos(β) − sin(β) cos(α) cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) + cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)

= 2 sin(α) cos(β)

2 cos(α) cos(β) = tan(α).

Esempio. Calcoliamo coseno e seno di ^π₈. Dalle formule di bisezione,

cos²π 8

= 1 + cos ^π₄

2 ⇒ cosπ 8

= s

1 +

√2 2

2

(19)

e

sin²π 8

= 1 − cos ^π₄

2 ⇒ sinπ 8

= s

1 −

√ 2 2

2 .

Abbiamo scelto le soluzioni positive delle equazioni quadratiche in seno e coseno poich´e ^π₈ `e un angolo del primo quadrante, per cui ha seno e coseno positivi.

Esempio. Sia α un angolo tale che sin(α) = ¹₅ e ^π₂ < α < π. Calcoliamo sin(2α), cos(2α) e tan(2α). Ricaviamo prima il coseno di α

cos²(α) = 1 − sin²(α) = 1 − 1 25 = 24

25 ⇒ cos(α) = − r24

25 = 2√ 6 5 ,

dove abbiamo scelto la soluzione negativa, in quanto α ha coseno negativo, appar- tenendo al secondo quadrante. Utilizzando le formule di duplicazione abbiamo

sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) = 4√ 6 25 , cos(2α) = cos²(α) − sin²(α) = 23 25, tan(2α) = sin(2α)

cos(2α) = 4√ 6 23 . Esempio. Determinare cos ^x₂ sapendo che sin(x) =q

7

16 e ^π₂ < x < π.

Soluzione. Ricordiamo che cos²x

2

= 1 + cos (x)

2 ⇒ cosx 2

=

r1 + cos(x)

2 ,

dove abbiamo scelto la soluzione positiva dell’equazione in quanto, se ^π₂ < x < π, allora ^π₄ < ^x₂ < ^π₂, quindi il coseno di ^x₂ `e positivo.

Per concludere l’esercizio dobbiamo determinare cos(x). Siccome ^π₂ < x < π, allora cos(x) < 0:

cos²(x) = 1 − sin²(x) = 1 − 7 16 = 9

16 ⇒ cos(x) = −3 4. Concludiamo quindi che

cosx 2

=

r1 + cos(x)

2 = 1

2√ 2 =

√2 4 .

9 Combinazioni di seni e coseni

Spesso si incontrano espressioni contenenti combinazioni lineari di seni e coseni di uno stesso angolo, ovvero espressioni del tipo

a cos(x) + b sin(x).

Espressioni di questo tipo possono essere riscritte come un’unica funzione trigonometrica i cui elementi (coefficienti ed argomento) dipendono da a, b ed x.

Enunciamo prima il risultato, che in seguito dimostreremo.

(20)

Per ogni a, b, x ∈ R esistono A ≥ 0 e φ ∈ R tali che a cos(x) + b sin(x) = A cos(x − φ).

In particolare

A =√

a²+ b² e φ ∈ [0, 2π[ `e l’unica soluzione di

(cos(φ) = _A^a, sin(φ) = _A^b.

Ricondurre combinazioni lineari di seni e coseni ad un’unica funzione trigonometrica `e molto utile in matematica e nelle applicazioni alla fisica. In particolare `e essenziale per risolvere equazioni e disequazioni trigonometriche.

Dimostriamo la formula appena enunciata. Supponiamo che (a, b) 6= (0, 0), altrimenti avremmo la combinazione identicamente nulla (e sar`a banalmente sufficiente prendere A = 0). Poniamo A :=√

a²+ b² > 0. L’espressione diventa a cos(x) + b sin(x) = A a

Acos(x) + b

Asin(x)

.

Siccome per definizione abbiamo che

a A

2

+ b A

2

= 1,

il punto _A^a,_A^b appartiene alla circonferenza unitaria, per cui esiste un unico angolo φ tale che

(cos(φ) = _A^a, sin(φ) = _A^b. L’espressione di partenza diventa quindi

a cos(x) + b sin(x) = A (cos(φ) cos(x) + sin(φ) sin(x)) . Per concludere, riconosciamo dalla formula di sottrazione del coseno che

cos(φ) cos(x) + sin(φ) sin(x) = cos(x − φ).

Questo conclude la dimostrazione della formula.

9.1 Combinazioni di seni e coseni: esempi

Esempio. Scriviamo √

3 cos(x) + sin(x) come un’unica funzione trigonometrica del tipo A cos(x − φ). Poniamo

A =√

3 + 1 = 2.

(21)

Cerchiamo poi l’unico angolo φ ∈ [0, 2π[ tale che (cos(φ) =

√3 2 , sin(φ) = ¹₂.

Vediamo immediatamente che questo angolo `e φ = ^π₆. Concludiamo quindi che

√

3 cos(x) + sin(x) = 2 cos x − π

6

.

Esempio. Scriviamo nella forma A cos(x − φ) la funzione cos(x) + cos ^π₂ + x.

Notiamo che cos ^π₂ + x

= cos ^π₂ + x − π

= cos x − ^π₂

= sin(x), quindi la nostra funzione di partenza non `e altro che cos(x) + sin(x). Poniamo A = √

2 e troviamo l’unico angolo φ ∈ [0, 2π[ tale che

cos(φ) = sin(φ) = 1

√2 =

√2 2 . Si vede immediatamente che φ = ^π₄. Concludiamo quindi che

cos(x) + cos

π 2 + x

=√ 2 cos

x −π

4

.

10 Equazioni trigonometriche elementari

Si dicono equazioni trigonometriche quelle equazioni in cui l’incognita ap- pare come argomento di una o pi`u funzioni trigonometriche. Vi sono diversi tipi di equazioni trigonometriche, ad esempio

sin(x) = 2 , 5 cos²(x) + 3 cos(x) − 2 = 0 , cot(2x) = cos(x) , ...

Iniziamo col risolvere equazioni trigonometriche elementari, ovvero equazioni del tipo

sin(x) = a , cos(x) = a , tan(x) = a ,

per un certo valore di a ∈ R fissato, nell’incognita x ∈ R. Ci sono alcune osservazioni fondamentali da fare, essenziali per risolvere correttamente equazioni trigonometriche elementari:

• le funzioni sin(x), cos(x), tan(x) sono funzioni periodiche, per cui ad esempio, se x₀ ∈ R è una soluzione di cos(x) = a (ovvero cos(x0) = a), allora x = x₀+ 2kπ è una soluzione della stessa equazione, per ogni k ∈ Z, poiché il coseno ha periodo 2π;

• occorre ricordare che | cos(x)|, | sin(x)| ≤ 1, per cui equazioni elementari del tipo sin(x) = a, cos(x) = a hanno soluzione solo se |a| ≤ 1. Ad esempio l’e- quazione cos(x) = −2 non ha alcuna soluzione. Grazie a questa osservazione ed alla precedente deduciamo che un’equazione trigonometrica elementare ammette infinite soluzioni, oppure non ammette nessuna soluzione;

• per risolvere equazioni trigonometriche elementari `e necessario ricordare i valori di seno e coseno (e di tangente e cotangente) degli angoli notevoli.

Basta semplicemente ricordare i valori degli angoli del primo quadrante e ricavare quelli degli angoli nei restanti quadranti studiando i segni di seno e coseno.

(22)

10.1 Equazioni trigonometriche elementari: seno

Sia α ∈ R e risolviamo l’equazione

sin(x) = sin(α).

Le soluzioni sono date da x =

(α + 2kπ, k ∈ Z π − α + 2kπ, k ∈ Z.

sin(α)

•

O α π − α

Infatti, x = α `e chiaramente una soluzione, ma allora anche α + 2kπ, k ∈ Z lo

è, per la periodicità del seno. Siccome si ha anche sin(x) = sin(α) = sin(π − α), anche x = π − α è una soluzione e quindi, per la periodicità del seno, anche π − α + 2kπ, k ∈ Z lo è.

Un’equazione elementare riconducibile a sin(x) = sin(α) `e sin(x) = a

con |a| ≤ 1, dove a `e il valore del seno di un certo angolo notevole α. Infatti, se nell’equazione sin(x) = a sappiamo riconoscere che a = sin(α) per qualche angolo α, allora le soluzioni, come abbiamo visto, sono x = α + 2kπ oppure x = π − α + 2kπ, k ∈ Z.

Ad esempio, riconosciamo che l’equazione sin(x) = 1

2

`e equivalente a sin(x) = sin ^π₆ (infatti sin ^π₆ = ¹₂). Allora la soluzione `e

x = (π

6 + 2kπ, k ∈ Z,

π −^π₆ + 2kπ = ⁵₆π + 2kπ, k ∈ Z.

(23)

Se |a| > 1, l’equazione sin(x) = a non ha nessuna soluzione, infatti | sin(x)| ≤ 1 per ogni x ∈ R. Un caso particolare `e a = ±1. Infatti

sin(x) = 1 ⇐⇒ sin(x) = sinπ 2

⇒ x = (π

2 + 2kπ, k ∈ Z,

π −^π₂ + 2kπ = ^π₂ + 2kπ, k ∈ Z.

⇒ x = π

2 + 2kπ , k ∈ Z.

Analogamente, sin(x) = −1 ⇐⇒ x = −^π₂ + 2kπ, k ∈ Z.

10.2 Equazioni trigonometriche elementari: coseno

Sia α ∈ R e risolviamo l’equazione

cos(x) = cos(α).

Le soluzioni sono date da x =

(α + 2kπ, k ∈ Z

−α + 2kπ, k ∈ Z.

• cos(α)

O α

−α

Infatti, x = α `e chiaramente una soluzione, ma allora anche α + 2kπ, k ∈ Z lo

è, per la periodicità del coseno. Siccome si ha anche cos(x) = cos(α) = cos(−α), anche x = −α è una soluzione e quindi, per la periodicità del coseno, anche

−α + 2kπ, k ∈ Z lo `e.

Un’equazione elementare riconducibile a cos(x) = cos(α) `e cos(x) = a

con |a| ≤ 1, dove a `e il valore del coseno di un certo angolo notevole α. Infatti, se nell’equazione cos(x) = a sappiamo riconoscere che a = cos(α) per qualche angolo α, allora le soluzioni, come abbiamo visto, sono x = α + 2kπ e −α + 2kπ,

(24)

k ∈ Z.

Ad esempio, riconosciamo che l’equazione cos(x) = 1

2

`e equivalente a cos(x) = cos ^π₃. Allora la soluzione `e

x = (π

3 + 2kπ, k ∈ Z,

−^π₃ + 2kπ, k ∈ Z.

Se |a| > 1, l’equazione cos(x) = a non ha nessuna soluzione, infatti | cos(x)| ≤ 1 per ogni x ∈ R. Un caso particolare `e a = ±1. Infatti

cos(x) = 1 ⇐⇒ cos(x) = cos (0) ⇒ x =

(0 + 2kπ, k ∈ Z,

−0 + 2kπ, k ∈ Z. ⇒ x = 2kπ , k ∈ Z.

Analogamente, cos(x) = −1 ⇐⇒ x = π + 2kπ, k ∈ Z.

10.3 Equazioni trigonometriche elementari: tangente e cotangente

Sia α ∈ R e risolviamo le equazioni

tan(x) = tan(α) e cot(x) = cot(α).

Le soluzioni in entrambi i casi sono date da x = α + kπ , k ∈ Z

• tan(α)

O α

α + π

α + 2π

(25)

Infatti, x = α è chiaramente una soluzione, ma allora anche α + kπ, k ∈ Z lo è, per la periodicità di tangente e cotangente: esse sono infatti funzioni periodiche di periodo π.

Attenzione, le funzioni tangente e cotangente non sono definite per alcuni valori dell’argomento, quindi bisogna sempre specificare il dominio nel quale si cerca- no le soluzioni. Ad esempio risolvere tan(x) = f (x) (dove f è un’altra funzione trigonometrica) equivale a trovare tutti i valori x 6= ^π₂ + kπ, k ∈ Z per cui l’equazione è verificata. Se, una volta risolta l’equazione, tra le soluzioni ottenute ve ne sono alcune del tipo x = ^π₂ + kπ, queste vanno scartate. Per quanto riguarda la cotangente, risolvere cot(x) = f (x) equivale a trovare tutti i valori x 6= kπ, k ∈ Z per cui l’equazione è verificata.

Un’equazione elementare riconducibile a tan(x) = tan(α) `e tan(x) = a,

dove a `e il valore della tangente di un certo angolo notevole α. Infatti, se nell’equazione tan(x) = a sappiamo riconoscere che a = tan(α) per qualche angolo α ∈ R \_π

2 + kπ , k ∈ Z , allora le soluzioni, come abbiamo visto, sono x = α + kπ, k ∈ Z. Ad esempio, riconosciamo che l’equazione

tan(x) = 1

`e equivalente a tan(x) = tan ^π₄ (infatti tan ^π₄ = 1). Allora la soluzione `e x = π

4 + kπ , k ∈ Z.

Analoghe considerazioni valgono per equazioni elementari del tipo cot(x) = a quando a si riconosce essere la cotangente di un angolo notevole α ∈ R\{kπ , k ∈ Z}.

11 Equazioni trigonometriche elementari: esem- pi

Esempio. Risolviamo l’equazione sin 2x + ^π₆ = sin(x). Abbiamo (2x + ^π₆ = x + 2kπ, k ∈ Z,

2x + ^π₆ = π − x + 2kπ, k ∈ Z, ⇒

(x = −^π₆ + 2kπ, k ∈ Z, 3x = π −^π₆ + 2kπ, k ∈ Z,

⇒

(x = −^π₆ + 2kπ, k ∈ Z, 3x = ⁵₆π + 2kπ, k ∈ Z.

Ora, per esplicitare l’incognita x nella seconda identità, dobbiamo dividere ambo i membri per 3, per cui anche il periodo viene diviso (è quindi importante ricordare dall’inizio la giusta periodicità quando si risolvono equazioni trigonometriche elementari, e riportarla in ogni passaggio). La soluzione dell’equazione

`e quindi

(x = −^π₆ + 2kπ, k ∈ Z, x = ₁₈⁵ π + ²₃kπ, k ∈ Z.

(26)

Esempio. Risolviamo sin(x) = 0. Abbiamo (x = 0 + 2kπ, k ∈ Z,

x = π + 2kπ, k ∈ Z, ⇒ x = kπ , k ∈ Z.

In questo caso particolare abbiamo potuto riassumere le due famiglie di soluzioni 0 + 2kπ e π + 2kπ, k ∈ Z in un’unica scrittura compatta.

Esempio. Risolviamo sin²(x) = 9. Estraendo la radice quadrata, vediamo che le possibili soluzioni sono date dalle soluzioni delle due equazioni

sin(x) = ±3.

Entrambe le equazioni non hanno nessuna soluzione poich´e | sin(x)| ≤ 1.

Esempio. Risolviamo l’equazione cos(x) = −

√ 2

2 . Sappiamo che −

√ 2

2 `e il coseno di un angolo notevole, in particolare cos ³₄π = −^√₂². Allora

(x = ³₄π + 2kπ, k ∈ Z, x = −³₄π + 2kπ, k ∈ Z.

Esempio. Risolviamo cos 3x − ^π₄ = ¹₂. Sappiamo che ad esempio cos ^π₃ = ¹₂, quindi

(3x − ^π₄ = ^π₃ + 2kπ, k ∈ Z, 3x − ^π₄ = −^π₃ + 2kπ, k ∈ Z, ⇒

(3x = ₁₂⁷π + 2kπ, k ∈ Z, 3x = −₁₂¹ + 2kπ, k ∈ Z,

⇒

(x = ₃₆⁷π + ²₃kπ, k ∈ Z, x = −₃₆¹ + ²₃kπ, k ∈ Z. (1) Esempio. Risolviamo cos(x) = ¹₅. Questa equazione non pu`o essere risolta esplicitamente. Ad ogni modo, siccome ¹₅ ∈ [−1, 1], esiste un unico α ∈ [0, π] tale che cos(α) = ¹₅ ed esso pu`o essere espresso come α = arccos ¹₅. Per cui

(x = arccos ¹₅ + 2kπ, k ∈ Z, x = − arccos ¹₅ + 2kπ, k ∈ Z.

Esempio. L’equazione cos(x) = π non ammette nessuna soluzione. Infatti π > 1, mentre deve sempre essere | cos(x)| ≤ 1.

Esempio. Risolviamo tan(x) +√

3 = ptan²(x) − 3. Il dominio D dell’e- quazione `e dato da

D =n

x ∈ R : x 6= π

2 + kπ , k ∈ Z , tan²(x) ≥ 3o .

Se una volta risolta l’equazione otteniamo soluzioni non appartenenti a D, dovranno essere scartate. Per ogni x ∈ D, l’equazione di partenza `e equivalente

(27)

all’equazione ottenuta elevando al quadrato ambo i membri. Attenzione, questa affermazione `e vera solo se x ∈ D.

x ∈ D e tan(x) +√ 3 =

q

tan²(x) − 3

⇐⇒ (tan(x) +√

3)² = tan²(x) − 3 ⇐⇒ tan(x) = −√ 3.

Riconosciamo che tan −^π₃ = −√

3, quindi x = −π

3 + kπ , k ∈ Z, e questa soluzione `e ammissibile.

Esempio. Le equazioni tan(x) = ^√¹

3, cot(x) = −1 e tan(x) = 5 ammettono come soluzioni rispettivamente

x = π

4 + kπ , x = 3

4π + kπ , x = arctan(5) + kπ , k ∈ Z.

12 Equazioni con seni e coseni

Equazioni trigonometriche contenenti seni e coseni possono essere spesso ricon- dotte ad equazioni elementari tramite opportune manipolazioni. Gli strumenti principali per riportare un’equazione trigonometrica ad una elementare sono:

• l’identit`a trigonometrica fondamentale cos²(x) + sin²(x) = 1;

• le formule di addizione e di duplicazione;

• l’espressione di combinazioni lineari di seni e coseni come un’unica funzione trigonometrica.

Il metodo generale per risolvere un’equazione trigonometrica che pu`o contenere pi`u funzioni trigonometriche (seni e coseni con diversi argomenti) consiste nel- l’esprimerla come un’equazione trigonometrica contenente una sola funzione trigonometrica. Ad esempio, l’equazione

cos²(x) + 2 sin(x) − 2 = 0 pu`o essere riscritta grazie all’identit`a fondamentale come

1−sin²(x)+2 sin(x)−2 = 0 ⇐⇒ sin²(x)−2 sin(x)+1 = 0 ⇐⇒ (sin(x)−1)² = 0, ovvero un’espressione che contiene solo la funzione sin(x). Ora, l’equazione `e immediatamente risolvibile, infatti

(sin(x) − 1)² = 0 ⇐⇒ sin(x) = 1 ⇐⇒ x = π

2 + 2kπ , k ∈ Z.

Mostriamo alcuni esempi risolutivi delle principali tipologie di equazioni.

(28)

Esempio (equazioni contenenti potenze di sin(x) o di cos(x)). Se in un’e- quazione compaiono potenze di una sola funzione goniometrica (ad esempio sin(x) o cos(x)), si opera una sostituzione e si considera quella funzione come inde- terminata (ad esempio, si pone t := sin(x) o t := cos(x)). Si ottiene quindi un’equazione polinomiale. Una volta trovate tutte le soluzioni dell’equazione polinomiale, si dovranno risolvere delle equazioni trigonometriche elementari per ottenere le soluzioni dell’equazione di partenza. Ad esempio, risolviamo

2 sin³(x) + 3 sin²(x) − 8 sin(x) + 3 = 0.

Nell’equazione compare solo la funzione sin(x) con diversi esponenti. Poniamo t := sin(x) e risolviamo in t:

2t³ + 3t²− 8t + 3 = 0 ⇐⇒ 2

t − 1

2

(t + 3)(t − 1) = 0 ⇐⇒ t ∈ 1 2, −3, 1

. Per trovare le soluzioni dell’equazione di partenza, dovremo risolvere

sin(x) = 1

2, sin(x) = −3 , sin(x) = 1,

la prima equazione ha soluzione x = ^π₆ + 2kπ oppure x = ⁵₆π + 2kπ, k ∈ Z; la seconda equazione non ha soluzioni. La terza ha soluzione x = ^π₂ + 2kπ, k ∈ Z.

Dunque la soluzione dell’equazione di partenza `e







x = ^π₆ + 2kπ, k ∈ Z, x = ⁵₆π + 2kπ, k ∈ Z, x = ^π₂ + 2kπ, k ∈ Z.

Esempio (equazioni contenenti sin(x), cos²(x) o cos(x), sin²(x)). Se in un’e- quazione compaiono le funzioni trigonometriche sin(x), cos²(x) o cos(x), sin²(x), ci si riconduce ad un’equazione in cui compare solo sin(x) o cos(x) mediante l’identit`a fondamentale. Consideriamo ad esempio l’equazione

2 sin²(x) −√

3 cos(x) + 1 = 0.

Essa pu`o essere riscritta come 2(1 − cos²(x)) −√

3 cos(x) + 1 = 0 ⇐⇒ 2 cos²(x) +√

3 cos(x) − 3 = 0.

Risolvendo rispetto alla variabile cos(x) (o sostituendo t := cos(x)), otteniamo le due equazioni

cos(x) = −√

3 , cos(x) =

√3 2 .

La prima equazione non ammette soluzioni, mentre la seconda ammette la soluzione (che `e anche la soluzione dell’equazione di partenza)

(x = ^π₆ + 2kπ, k ∈ Z, x − ^π₆ + 2kπ, k ∈ Z.

Osservazione. Si procede nello stesso modo, utilizzando l’identit`a fondamenta-

(29)

potenze di sin(x) o quelle di cos(x) sono pari.

Esempio (equazioni riconducibili ad equazioni elementari tramite formule trigonometriche). Finora abbiamo considerato esempi di equazioni trigonometriche dove comparivano diverse funzioni trigonometriche ma con lo stesso argomento. Se all’interno di un’equazione trigonometrica compaiono funzioni con argomenti diversi, bisogna cercare di riscrivere l’equazione in termini di una sola funzione trigonometrica dello stesso argomento utilizzando le formule trigonometriche. Risolviamo ad esempio l’equazione

cos(2x) − 1 = sin(x)

Utilizzando la formula di duplicazione cos(2x) = cos²(x) − sin²(x) ed in seguito l’identit`a fondamentale otteniamo

cos(2x) − 1 = sin(x) ⇐⇒ cos²(x) − sin²(x) − 1 − sin(x) = 0

⇐⇒ 1 − sin²(x) − sin²(x) − 1 − sin(x) = 0 ⇐⇒ 2 sin²(x) − sin(x) = 0.

Risolvendo rispetto a sin(x) (o sostituendo t := sin(x)) otteniamo le due equazioni sin(x) = 0 , sin(x) = 1

2.

La prima equazione ha soluzione x = kπ, k ∈ Z, mentre la seconda ha soluzione x = ^π₆+ 2kπ oppure x = ⁵₆π + 2kπ, k ∈ Z. La soluzione dell’equazione di partenza

`e quindi







x = ^π₆ + 2kπ, k ∈ Z, x = ⁵₆π + 2kπ, k ∈ Z,

x = kπ, k ∈ Z.

Esempio (equazioni riconducibili ad equazioni elementari tramite formule trigonometriche). Risolviamo

4 sin(x) cos(x) =√ 3.

Ricordando che sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), otteniamo che 4 sin(x) cos(x) =√

3 ⇐⇒ 2 sin(2x) =√

3 ⇐⇒ sin(2x) =

√3 2 , che ha come soluzione

(2x = ^π₃ + 2kπ, k ∈ Z, 2x = ²₃π + 2kπ, k ∈ Z, ⇒

(x = ^π₆ + kπ, k ∈ Z, x = ^π₃ + kπ, k ∈ Z.

Esempio (equazioni riconducibili ad equazioni elementari tramite formule trigonometriche). Risolviamo

sin

x +π

4

− sin x − π

4

= 1.

(30)

Applicando le formule di addizione (e sottrazione) l’equazione diventa sin(x) sinπ

4

+cos(x) sinπ 4

−sin(x) cosπ 4

+cos(x) sinπ 4

= 1 ⇐⇒ cos(x) =

√2 2 che ha come soluzione

(x = ^π₄ + 2kπ, k ∈ Z, x = −^π₄ + 2kπ, k ∈ Z.

Esempio (equazioni riconducibili ad equazioni elementari tramite formule trigonometriche e cambi di variabile). Consideriamo l’equazione

cos(x) = 2 sin²x 2

.

Per poter utilizzare le formule di duplicazione, operiamo un cambio di variabile e poniamo t := ^x₂. L’equazione diventa

cos(2t) = 2 sin²(t).

Utilizzando la formula di duplicazione del coseno e l’identit`a fondamentale otteniamo

cos(2t) = 2 sin²(t) ⇐⇒ cos²(t) − sin²(t) = 2 sin²(t)

⇐⇒ 1 − 2 sin²(t) = 2 sin²(t) ⇐⇒ sin²(t) = 1 4. Ora, l’equazione sin²(t) = ¹₄ `e verificata se

sin(t) = 1 2 ⇐⇒

(t = ^π₆ + 2kπ, k ∈ Z, t = ⁵₆π + 2kπ, k ∈ Z, o se

sin(t) = −1 2 ⇐⇒

(t = −^π₆ + 2kπ, k ∈ Z, t = −⁵₆π + 2kπ, k ∈ Z.

Osserviamo adesso che dati due angoli ^π₆+ 2k₁π e −⁵₆π + 2k₂π con k₁, k₂ ∈ Z, essi differiscono di π + 2kπ (con k = k1− k2).

Lo stesso ragionamento vale se consideriamo due angoli −^π₆ + 2k₁π e ⁵₆π + 2k₂π.

Questo ci permette di scrivere la soluzione di sin²(t) = ¹₄ in maniera pi`u compatta:

sin²(t) = 1 4 ⇐⇒

(t = ^π₆ + kπ, k ∈ Z, t = ⁵₆π + kπ, k ∈ Z, .

Per ottenere la soluzione dell’equazione di partenza ricordiamo che t = ^x₂, per cui (x

2 = ^π₆ + kπ, k ∈ Z,

x

2 = ⁵₆π + kπ, k ∈ Z, ⇒

(x = ^π₃ + 2kπ, k ∈ Z, x = ⁵₃π + 2kπ, k ∈ Z.

Esempio (equazioni lineari in seno e coseno). Abbiamo visto che una

(31)

trigonometrica. Questo torna molto utile nella risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno del tipo

a cos(x) + b sin(x) + c = 0.

Infatti, questa equazione `e equivalente all’equazione elementare A cos(x − φ) = −c,

dove A =√

a²+ b² e φ `e un angolo tale che cos(φ) = _A^a e sin(φ) = _A^b. Ad esempio, risolviamo

cos(x) − sin(x) = 1 Poniamo A =√

2 e cerchiamo un angolo φ tale che cos(φ) = ^√¹

2 =

√ 2

2 e sin(φ) =

−

√2

2 . Ad esempio φ = −^π₄. L’equazione di partenza pu`o essere dunque riscritta

come √

2 cos

x + π

4

= 1 ⇐⇒ cos

x + π

4

=

√2 2 . Questo implica che

(x + ^π₄ = ^π₄ + 2kπ, k ∈ Z, x + ^π₄ = −^π₄ + 2kπ, k ∈ Z, ⇒

(x = 2kπ, k ∈ Z, x = −^π₂ + 2kπ, k ∈ Z.

13 Equazioni con tangenti e cotangenti

Consideriamo ora equazioni dove compaiono, oltre a seni e coseni, anche tangenti e cotangenti. In questo caso valgono le stesse regole generali appena mostrate, in più però bisogna prestare attenzione al dominio delle funzioni tangente e cotangente (che, a differenza di seno e coseno, non è tutto R).

Esempio. Risolviamo

tan(x) + 2 cot(x) = 3.

Il dominio dell’equazione `e D =n

x ∈ R : x 6= π

2 + kπ , x 6= kπ , k ∈ Zo

=n

x ∈ R : x 6= kπ

2 , k ∈ Zo . L’equazione di partenza per x ∈ D `e equivalente a

tan(x) + 2

tan(x) = 3 ⇐⇒ tan²(x) − 3 tan(x) + 2 = 0.

Risolvendo nell’incognita tan(x) (o sostituendo t := tan(x)) otteniamo tan(x) = 1 tan(x) = 2.

La prima equazione ammette x = ^π₄ + kπ, k ∈ Z come soluzione, mentre la seconda ha come soluzione x = arctan(2) + kπ, k ∈ Z. Tutte le soluzioni trovate appartengono a D e perci`o sono tutte e sole le soluzioni dell’equazione di partenza:

(x = ^π₄ + kπ, k ∈ Z, x = arctan(2) + kπ, k ∈ Z.

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Esempio. Risolviamo

tan(x) = cos(x) 1 + sin(x).

Il dominio `e dato dall’insieme dei reali x per cui tan(x) `e definita e 1 + sin(x) 6= 0:

D :=n

x ∈ R : x 6= π

2 + kπ , x 6= −π

2 + 2kπ , k ∈ Zo

=n

x ∈ R : x 6= π

2 + kπ , k ∈ Zo . Per x ∈ D l’equazione `e equivalente a

sin(x)

cos(x) = cos(x)

1 + sin(x) ⇐⇒ sin(x)(1 + sin(x)) = cos²(x)

⇐⇒ sin(x)(1 + sin(x)) = 1 − sin²(x) ⇐⇒ 2 sin²(x) + sin(x) − 1 = 0.

Risolvendo nella variabile sin(x) (o ponendo t := sin(x)) otteniamo le equazioni sin(x) = −1 sin(x) = 1

2.

Le soluzioni di sin(x) = 1 non sono ammissibili poich´e non appartengono a D (esse sono ^π₂ + kπ, k ∈ Z e per questi valori la tangente non `e definita ed il denominatore al membro di destra si annulla). Per cui le soluzioni dell’equazione di partenza sono tutte e sole le soluzioni di sin(x) = ¹₂, ovvero

(x = ^π₆ + 2kπ, k ∈ Z, x = ⁵₆π + 2kπ, k ∈ Z.

14 Equazioni omogenee di secondo grado in se- no e coseno

Concludiamo con una classe importante di equazioni trigonometriche in seno e coseno, ovvero le equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno.

Sono equazioni del tipo

a sin²(x) + b sin(x) cos(x) + c cos²(x) = 0,

con a, b, c ∈ R. Prima di cominciare lo studio di questo tipo di equazioni osserviamo che un’equazione non omogenea del tipo

a sin²(x) + b sin(x) cos(x) + c cos²(x) = d

pu`o essere sempre riscritta come un’equazione omogenea: infatti d = d(sin²(x) + cos²(x)) e quindi

⇐⇒ a sin²(x) + b sin(x) cos(x) + c cos²(x) = d(sin²(x) + cos²(x)), da cui

⇐⇒ (a − d) sin²(x) + b sin(x) cos(x) + (c − d) cos²(x) = 0.