1 Lunghezza dellacirconferenzae area del cerchio

■ Misura della circonferenza

Il rapporto fra la misura c di una circonferenzae la misura d del suo dia- metroè costante ed è uguale a π (si legge pi greco).

La misura di una circonferenza si ottiene moltiplicando la misura del diametro per π.

Ricorda: π = 3,14 è approssimato per difetto a meno di . c = dπ,

da cui:

d = .

Per esempio, data una circonferenza di diametro d = 15 cm, per calcolare la lunghezza della circonferenza procedi così:

c = dπ= 15π cm (47,1 cm). Poiché il diametro è il doppio del raggio, cioè d = 2r, si ha:

c = 2πr,

da cui: r = .

Per esempio, calcola il raggio di una circonferenza c = 24 π cm.

Ottieni:

r c

= = =

2 24

2 12

π

π

π cm. c

2π c π

1 100

Lunghezza della circonferenza

e area del cerchio

LA GEOMETRIA 3

nità U 1

왘circonferenza circumference circonférence circunferencia

왘diametro diameter diamètre diámetro

왘pi greco pi

pi pi griega

왘raggio radius rayon radio

■ Area del cerchio

L’area di un cerchio si ottiene moltiplicando il quadrato della misura del suo raggio per π :

⁼ πr² da cui:

Per esempio, calcola il raggio di un cerchio avente l’area  = 225π cm². Ottieni:

■ Area della corona circolare

L’area di una corona circolare si ottiene sottraendo all’area del cerchio maggiore l’area del cerchio minore.

corona circolare= πR²– πr².

Per esempio, per calcolare l’area di una corona circolare limitata da due circon- ferenze aventi i raggi, rispettivamente, di 13 cm e 8 cm, procedi così:

corona circolare= πR²– πr²= 13²π – 8²π = 169π– 64π = 105π cm².

raggio del cerchio maggiore raggio del cerchio minore

r=  = =

π

π π

225 15 cm. r= 

π^.

왘cerchio circle cercle círculo

왘corona circolare annulus

couronne circulaire corona circular

L u _nghe zz a de ^lla c ^irco n ^fer e ⁿ z ^{a e a} r ^ea d el c er _c h _io 1

■ Poliedri

Un poliedro è una figura solida il cui contorno è costituito da un numero finito di poligoni:

• i poligoni si dicono facce;

• i lati dei poligoni si dicono spigoli;

• i vertici dei poligoni si dicono vertici;

• i segmenti che congiungono due vertici non appartenenti alla stessa faccia si dicono diagonali.

La somma delle facce laterali costituisce la superficie laterale; la som- ma di tutte le facce, comprese le basi, costituisce la superficie totale. La misura dell’estensione di un solido è il volume.

L’unità di misura fondamentale del volume è il metro cubo(m³).

diagonale faccia

vertice

spigolo

I poliedri

LA GEOMETRIA 3

nità U 4

왘poliedro polyhedron polyèdre poliedro

왘facce faces faces caras

왘spigoli edges arêtes aristas

왘vertici

vertices (sing. vertex) sommets

vértices

왘diagonali diagonals diagonales diagonales 왘volume

volume volume volumen

왘metro cubo cubic metre mètre cube metro cúbico 왘superficie laterale

lateral surface surface latérale superficie lateral

왘superficie totale total surface

surface totale superficie total

Ricorda:

p ➝ perimetro;

h ➝ altezza;

d ➝ diagonale;

_ ➝ area della superficie laterale;

t ➝ area della superficie totale;

 ➝ volume.

■ Prisma

Un prisma rettoè un poliedro il cui contorno è costituito da due poligoni che sono le basi del prisma e da tanti rettangoli quanti sono i lati del poligono di base.

Un prisma si dice regolarese è retto e ha per base un poligono regolare.

• _= p × h, da cui: p = ; h = .

• t= _ ^{+ 2}b, da cui: _ ⁼ t– 2b; b = .

• ⁼ b× h, da cui: b = ;h = .

Per esempio, calcola l’area della superficie totale e il volume di un prisma retto a base quadrata, avente lo spigolo di base di 7 cm e l’altezza di 12 cm.

Si ha:

b= ^{2= 72= 49 cm2};

_ = p ×h = 7 × 4 × 12 = 336 cm²;

t= _ ^{+ 2}b= 336 + 2 × 49 = 434 cm²;

 ⁼  ×h = 49 × 12 = 588 cm³.

b

 h

t– _ 2

_ p

_ h

h h

spigolo di base

altezza

I p o _l i e dr _i

왘prisma retto right prism prisme droit prisma recto

왘(prisma) regolare regular régulier regular

4

A) Parallelepipedo rettangolo

Un parallelepipedo rettangolo è un prisma retto che ha per basi due rettangoli.

• _= p × h, da cui: p = ; h = .

• t= _ ^{+ 2}b, da cui: _ ⁼ t– 2b; b = .

• = a × b × c, da cui: a = ;b = ;c = .

•

Per esempio, dato un parallelepipedo rettangolo avente le dimensioni a = 5 cm, b = 4 cm, c = 15 cm, calcola l’area della superficie totale e il volume. Ottieni:

b= a × b = 5 × 4 = 20 cm²;

_ = p ×h = (5 + 4) × 2 ×15 = 270 cm²;

t= _ ^{+ 2}b= 270 + 2 × 20 = 270 + 40 = 310 cm²;

 = a × b ×c = 5 × 4 × 15 = 300 cm³. d= a²+b²+c².

a ×b a ×c

b ×c

t– _ 2

_ p

_ h

b a

c d diagonale

dimensioni

왘parallelepipedo rettangolo right parallelepiped parallélépipède

rectangle paralelepípedo

rectángulo LA GEOMETRIA 3

B) Cubo

Si dice cubo un parallelepipedo rettangolo che ha le tre dimensioni con- gruenti.

• , da cui: .

• , da cui: .

• , da cui: .

• , da cui: .

Esempio: calcola l’area della superficie laterale, della superficie totale e il volume di un cubo con lo spigolo  = 13 cm.

Ottieni:

_^{= 4}× ^{2= 4} ×13²= 4× 169 = 676 cm²;

t= 6× ^{2= 6}× 13²= 6 ×169 = 1 014 cm²;

⁼ ^{3= 133= 2 197 cm3}.

= d

 3

d= 3

= ³

 = ³

₌ _t

_t= ×6 ² 6

₌ _

_= ×4 ² 4

d

 diagonale

spigolo

I p o _l i e dr _i

왘cubo cube cube cubo

4

LA GEOMETRIA 3

■ Piramide

Una piramide è un poliedro il cui contorno è costituito da un poligono e da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono aventi tutti un vertice in comune.

Una piramide si dice retta quando il poligono di base è circoscritto a una cir- conferenza il cui centro coincide con il piede dell’altezza.

Una piramide si dice regolare se è retta e ha per base un poligono regolare.

•

• , da cui:

• t= _ ⁺ b, da cui: _⁼ t– b; b =t– _.

•  ⁼ , da cui: b= ;h = .

Per esempio, una piramide quadrangolare regolare ha l’apotema di 26 cm e l’altezza di 24 cm. Calcola l’area della superficie totale e il volume.

Ottieni:

400 24

 b h

= ×

= × ⁸⁸ 3

3 200

= cm .

cm² 1 040 400 1 440 ;

t = _+ b= + =

_b =²=20²=400cm²;

cm ;

_ = × =p a × × = 2

20 4 26

2 1 040

13

1

2

= × =r 2 10 2× =20

 cm;

r= a²−h² = 26²−24² = 676 576− = 100=10 cm;

 × 3

b

 ×3 h

b× h 3

_ _

= ×

= ×

p a a

p

2 2

; .

_= ×p a 2

a= h²+r²; h= a²−r²; r= a²−h².

a V

A

B

C D

H h a

r

altezza apotema

apotema di base

왘piramide pyramid pyramide pirámide

I solidi di rotazione LA GEOMETRIA 3 6 ^{U nità}

■ Solidi di rotazione

Un solido di rotazione è generato dalla rotazione completa di una figura piana intorno a una retta, detta asse di rotazione.

A) Cilindro

Un cilindro è un solido che si genera dalla rotazione completa di un ret- tangolo intorno a uno dei suoi lati.

• _^{= 2}πr × h, da cui: r = ; h = .

• t= _^{+ 2}b, da cui: _⁼ t– 2b; b= .

• ⁼ πr²× h, da cui: h = ; .

Per esempio, per calcolare l’area della superficie totale e il volume di un cilindro avente il raggio di base di 8 cm e l’altezza di 20 cm, procedi così:

_^{= 2}πr × h = 2π ×8 × 20 = 320πcm²;

b= πr²= 8²π = 64πcm²;

   + 2 ×

r= h π

 πr²

t– _ 2

_ 2πr

_ 2πh

h

r O

O’ A’

A altezza

raggio di base

왘solido

di rotazione solid of revolution solide de rotation sólido de rotación

왘asse

di rotazione rotation axis axe de rotation eje de rotación

왘cilindro cylinder cylindre cilindro

LA GEOMETRIA 3

B) Cono

Un conoè un solido che si genera dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo intorno al un suo cateto.

L’ipotenusa del triangolo rettangolo è detta apotema del cono.

•

• _⁼ πr × a, da cui: r = ; a = .

• t= _ ⁺ b, da cui: _ ⁼ t– b; b= t– _.

• , da cui:

Per esempio, calcola l’area della superficie totale e il volume di un cono avente il raggio di base di 9 cm e l’altezza di 12 cm.

Ottieni:

_ ⁼ πr ×a = π × 9 × 15 = 135π cm²;

b= πr²= 9²π = 81π cm²;

t= _ ⁺ b = 135π + 81π = 216π cm²;

=π^r2× =^h π× ²× ⁴ = _π

1

3

3

9 12

3 324 cm .

a= h²+r² = 12²+9² = 144 81+ = 225=15 cm;

 

= × = ×

π π

h r r

2 h

3 3

; .

⁼π^r2×h 3

_ πr

_ πa

a= h²+r²; h= a²−r²; r= a²−h².

r h

a

a apotema

raggio di base altezza

왘cono cone cône cono

I sol ⁱ d ^{i di} r ot az _i o _n e

왘sfera sphere sphère esfera

왘superficie sferica spherical surface surface sphérique superficie esférica

6

C) Sfera

Una sfera è un solido che si genera dalla rotazione completa di un semi- cerchio intorno al proprio diametro.

La superficie sferica (S) è l’insieme dei punti dello spazio che hanno la stessa distanza r da un punto fisso O.

• da cui:

• da cui:

Per esempio, calcola l’area della superficie sferica e il volume di una sfera avente il raggio r = 15 cm.

Ottieni:

= 4 r = × = 3

4

3 15 4 500

3 3

π π π cm

;

 ³³.

S=4πr² =4π×15²=900π cm²;

= × 3

3

4π

r .

= 4 3

π^r3,

r S

= 4π . S= 4πr²,

O r

raggio