A P P U N T I NUMERO: 2190A ANNO: STUDENTE: Placido Daniele. MATERIA: Termodinamica e Trasmissione del Calore - Formulario - Prof.

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Corso Luigi Einaudi, 55/B - Torino

NUMERO: 2190A ANNO: 2017

A P P U N T I

STUDENTE: Placido Daniele

MATERIA: Termodinamica e Trasmissione del Calore - Formulario - Prof. Giaretto

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AT T E N Z I O N E: Q U E S T I A P P U N T I S O N O FAT T I D A S T U D E N T I E N O N S O N O S TAT I V I S I O N AT I D A L D O C E N T E . I L N O M E D E L P R O F E S S O R E , S E R V E S O L O P E R I D E N T I F I C A R E I L C O R S O .

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FORMULARIO DI TERMODINAMICA E TRASMISSIONE DEL CALORE

TERMODINAMICA

3 CAPITOLO- PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

3.1 Sistemi chiusi

𝑸 − 𝑳_𝒊 = ∆𝑼 𝜱 − 𝑾_𝒊 = ^𝒅𝑼

𝒅𝒕 𝒒 − 𝒍_𝒊 = ∆𝒖

3.2 Sistemi a deflusso

𝒅𝑿

𝒅𝒕 = (^𝒅𝒙

𝒅𝒕)_𝑽𝒄+ (∑ ± 𝑮_𝒋 _𝒋𝒙_𝒋) 𝒔𝒄 Derivata materiale grandezza estensiva 𝐆(𝐭) = 𝛒(𝐭)[𝐀 |𝐰|]Portata in massa attraverso condotto a sezione costante

𝐆_𝒖 = 𝐆_𝒆 − (^𝒅𝑴

𝒅𝒕)

𝑽𝒄 𝑮_𝒖 = 𝟎 ⟹ 𝑮_𝒆 = (^𝒅𝑴

𝒅𝒕)

𝑽𝒄 Riempimento

𝑮_𝒆 = 𝟎 ⟹ 𝑮_𝒖 = − (^𝒅𝑴

𝒅𝒕)

𝑽𝒄 Svuotamento

𝐖_𝐬𝐩 = ∑^𝐍_𝐣=𝟏±(𝐩𝐯)_𝐣 𝐆_𝐣 Potenza di spostamento 𝐥_𝐭^𝐢𝐝(𝐏) = − ∫ 𝐯𝐝𝐩_𝚪 lavoro tecnico ideale specifico

3.3 Formulazione del primo principio per i sistemi a deflusso 𝜱 − 𝑾_𝒕 = ^{𝒅𝑼(𝒕)}

𝒅𝒕 +^𝒅𝑬^𝒑^(𝒕)

𝒅𝒕 +^𝒅𝑬^𝒄^(𝒕)

𝒅𝒕 + 𝑾_𝒔𝒑(𝒕) + 𝑾_𝟎(𝒕) 𝜱 − 𝑾_𝒕 = [𝒅𝑼(𝒕)

𝒅𝒕 +𝒅𝑬_𝒑(𝒕)

𝒅𝒕 +𝒅𝑬_𝒄(𝒕)

𝒅𝒕 + 𝒑_𝟎𝒅𝑽(𝒕) 𝒅𝒕 ]

𝑽𝒄

+ [∑ ± 𝑮_𝒋(𝒖 + 𝒑𝒗 + 𝒆_𝒑 + 𝒆_𝒄)

𝒋 𝑵

𝒋=𝟏

]

𝑺𝒄

𝑯 = 𝑼 – 𝒑𝑽 entalpia

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∮_𝐫𝐞𝐯^𝜹𝑸_𝐓 = 𝟎 uguaglianza di Clausius 𝐝𝐒 = ^𝛅𝐐

𝐓 ; 𝛅𝐐 = 𝐓𝐝𝐒 entropia 𝐒_𝐛− 𝐒_𝐚 = ∫ 𝐝𝐒_𝐚^𝐛 = ∫ ^𝛅𝐐

𝐓 𝐛

𝐚 entropia tra due generici stati a, b per una trasformazione reversibile

𝐝𝐒 = ^𝛅𝐐

𝐓 + 𝐝𝐒_𝐢𝐫𝐫 secondo principio della termodinamica

∆𝐒 = ∮_𝚪 ^𝜹𝑸_𝐓 + 𝐒_𝐢𝐫𝐫 secondo principio della termodinamica

∆𝐬 = ∮_𝚪 ^𝜹𝒒_𝐓 + 𝐬_𝐢𝐫𝐫 secondo principio della termodinamica entalpia specifica

∆𝐒_{𝐢𝐬𝐨𝐥𝐚𝐭𝐨} ≥ 𝟎 𝐐⁺ −^𝐓⁻

𝐓⁺𝐐⁺ = |𝐋(𝐂)|_𝐦𝐚𝐱 = 𝐐⁺(𝟏 −^𝐓⁻

𝐓⁺) = 𝐐⁺𝛈 lavoro massimo ciclo di Carnot

𝐓⁻

𝐓⁺𝐐⁻− 𝐐⁻ = |𝐋(𝐂)|_𝐦𝐢𝐧 = 𝐐⁻(^𝐓⁺^−𝐓⁻

𝐓⁻ ) = 𝐐^{− 𝟏}

𝛆_𝐟 lavoro minimo ciclo di Carnot inverso

4.5 Formulazione del secondo principio per i sistemi a deflusso

𝐝𝐒

𝐝𝐭 = ^𝚽(𝐭)

𝐓 + 𝚺_𝐢𝐫𝐫 secondo principio per i sistemi a deflusso (^𝐝𝐒

𝐝𝐭)

𝐕𝐜 + (∑^𝑵_𝒋=𝟏±𝐆_𝐣𝐬_𝐣)

𝐒𝐜 = ^𝚽(𝐭)

𝐓 + 𝚺_𝐢𝐫𝐫 secondo principio per i sistemi a deflusso con derivata materiale entropia

(∑^𝑵_𝒋=𝟏±𝐆_𝐣𝐬_𝐣)

𝐒𝐜 = ^𝚽(𝐭)

𝐓 + 𝚺_𝐢𝐫𝐫 secondo principio per i sistemi a deflusso in condizioni stazionarie

𝟎 = ^|𝚽|

𝐓 −^|𝚽|

𝐓′ +𝚺_𝐢𝐫𝐫 ⟹ 𝚺_𝐢𝐫𝐫 = |𝚽| (^𝟏

𝐓− ^𝟏

𝐓^′) ≥ 𝟎 irreversibilità esterne 𝐆(𝐬_𝐮 − 𝐬_𝐞) = ^𝚽

𝐓 −^|𝚽^𝟎^|

𝐓_𝟎 +𝚺_𝐢𝐫𝐫 secondo principio per i sistemi a deflusso con flussi termici ai termostati attraverso cui sono scambiati

𝐖_{𝐭,𝐦𝐚𝐱} = 𝚽 (𝟏 −^𝐓^𝟎

𝐓) + 𝐆[(𝐡_𝐞− 𝐡_𝐮) − 𝐓_𝟎(𝐬_𝐞− 𝐬_𝐮)] massima potenza tecnica estraibile

(5)

𝐪 − ∫ 𝐩𝐝𝐯 = ∆𝐮 =_𝚪 𝐜_𝐯∆𝐓 primo principio per sistemi chiusi in termini specifici 𝐪 + ∫ 𝐯𝐝𝐩 = ∆𝐡 =_𝚪 𝐜_𝐩∆𝐓 primo principio per sistemi a deflusso in condizioni stazionarie e in termini specifici

Trasformazione isocora

- Sistema chiuso: 𝐥_𝐢^𝐢𝐝 = ∫ 𝐩𝐝𝐯 = 𝟎_𝚪 , 𝐪 = 𝐜_𝐯∆𝐓

- Sistema a deflusso: 𝐥_𝐭^𝐢𝐝 = − ∫ 𝐯𝐝𝐩 = −𝐯(𝐩_𝚪 _𝟐− 𝐩_𝟏) = −𝐑(𝐓_𝟐− 𝐓_𝟏), 𝐪 = 𝐜_𝐯∆𝐓

Trasformazione isobara

- Sistema chiuso: 𝐥_𝐢^𝐢𝐝 = ∫ 𝐩𝐝𝐯 = 𝐩(𝐯_𝚪 _𝟐− 𝐯_𝟏)= 𝐑(𝐓_𝟐− 𝐓_𝟏), 𝐪 = 𝐜_𝐩∆𝐓 - Sistema a deflusso: 𝐥_𝐭^𝐢𝐝 = − ∫ 𝐯𝐝𝐩 = 𝟎_𝚪 , 𝐪 = 𝐜_𝐩∆𝐓

Trasformazione isoterma

- Sistema chiuso: ∆𝐮 = 𝟎, 𝐪 = 𝐥_𝐢^𝐢𝐝 = 𝑹𝑻 𝐥𝐧 (^𝒗^𝟐

𝒗_𝟏) - Sistema a deflusso: ∆𝐡 = 𝟎, 𝐪 = 𝐥_𝐭^𝐢𝐝= −𝑹𝑻 𝐥𝐧 (^𝒑^𝟐

𝒑_𝟏) 𝐥_𝐢^𝐢𝐝 = 𝐥_𝐭^𝐢𝐝 = 𝑹𝑻 𝐥𝐧 (𝒗_𝟐

𝒗_𝟏) = −𝑹𝑻 𝐥𝐧 (𝒑_𝟐 𝒑_𝟏) Trasformazione adiabatica

𝐩𝐯^𝛄 = 𝐜𝐨𝐬𝐭 equazione caratteristica dell’adiabatica reversibile 𝐓𝐯^𝛄−𝟏 = 𝐜𝐨𝐬𝐭; 𝐓𝐩

𝟏−𝛄

𝛄 = 𝐜𝐨𝐬𝐭 equazioni equivalenti 𝛄 = ^𝐜^𝐩

𝐜_𝐯 esponente dell’adiabatica Trasformazione politropica

𝐩𝐯^𝐧 = 𝐜𝐨𝐬𝐭 equazione caratteristica della politropica reversibile 𝐓𝐯^𝐧−𝟏 = 𝐜𝐨𝐬𝐭; 𝐓𝐩^𝟏−𝐧^𝐧 = 𝐜𝐨𝐬𝐭 equazioni equivalenti

𝐧 =^𝐜^𝐩^−𝐜

𝐜_𝐜−𝐜 esponente della politropica

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𝟏 − 𝐱 = ^𝐌^𝐋

𝐌_𝐋+𝐌_𝐕

𝐯 = (𝟏 − 𝐱)𝐯_𝐋 + 𝐱𝐯_𝐕 volume specifico in funzione del titolo 𝐱 = ^𝐯−𝐯^𝐋

𝐯_𝐕−𝐯_𝐋 titolo del vapore noto il volume specifico della miscela 𝐬 = (𝟏 − 𝐱)𝐬_𝐋 + 𝐱𝐬_𝐕 entropia specifica in funzione del titolo 𝐱 = ^𝐬−𝐬^𝐋

𝐬_𝐕−𝐬_𝐋 titolo del vapore nota l’entropia specifica della miscela

𝐡 = (𝟏 − 𝐱)𝐡_𝐋 + 𝐱𝐡_𝐕 entalpia specifica in funzione del titolo 𝐱 = ^𝐡−𝐡^𝐋

𝐡_𝐕−𝐡_𝐋 titolo del vapore nota l’entalpia specifica della miscela 5.4.1 Calore di cambiamento di fase

𝐫 = 𝐡_𝐕− 𝐡_𝐋 calore di vaporizzazione 𝐫 = 𝐓^𝐝𝐩

𝐝𝐓(𝐯_𝐕− 𝐯_𝐋) equazione di Clausius-Clapeyron 5.4.2 Diagrammi e proprietà dei vapori saturi

𝐬_𝐕− 𝐬_𝐋 =𝐫(𝐓_𝐒)

𝐓_𝐒 = 𝐡_𝐕− 𝐡_𝐋 𝐓_𝐒 (^𝐝𝐩

𝐝𝐡)

𝐒 =^𝟏

𝐯 pendenza di una isoentropica nel diagramma p-h 5.4.3 Processo di laminazione o di trafilazione

𝐡_𝟏 = 𝐡_𝟐 = 𝐜𝐨𝐬𝐭 entalpia nel processo di laminazione (o trafilaziome) 𝐖_𝐚 = −𝐕(𝐭)^{𝐝𝐩(𝐭)}

𝐝𝐭 = 𝐖_𝐭^𝐢𝐝 potenza dissipata nel processo 𝐥_𝐚 = − ∫ 𝐯𝐝𝐩 = 𝐥_𝚪 _𝐭^𝐢𝐝 lavoro specifico dissipato

𝐬_𝟏 − 𝐬_𝟐 = 𝐬_𝐢𝐫𝐫 ⟹ 𝐬_𝟏 < 𝐬_𝟐 entropia nel processo di laminazione

5.5 Gas di Van der Waals 𝐩𝐯 = 𝐑𝐓 (𝟏 +^𝐀

𝐯 + ^𝐁

𝐯^𝟐+ ^𝐂

𝐯^𝟑 + ⋯ ) = 𝐑𝐓𝐙 equazione viriale

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𝐝𝐠 = 𝐯𝐝𝐩 − 𝐬𝐝𝐓 ⟹ 𝐠 = 𝐠(𝐩, 𝐓) differenziale energia libera di Gibbs (^𝝏𝑻

𝝏𝒗)

𝒔 = − (^𝝏𝒑

𝝏𝒔)

𝒗 prima equazione di Maxwell (^𝝏𝑻

𝝏𝒑)

𝒔

= (^𝝏𝒗

𝝏𝒔)

𝒑 seconda equazione di Maxwell (^𝝏𝒑

𝝏𝑻)

𝒗 = (^𝝏𝒔

𝝏𝒗)

𝑻 terza equazione di Maxwell (^𝝏𝒗

𝝏𝑻)

𝒑 = − (^𝝏𝒔

𝝏𝒑)

𝑻

quarta equazione di Maxwell 𝐓 = (^𝛛𝐮

𝛛𝐬)

𝐯 = (^𝛛𝐡

𝛛𝐬)

𝐩

−𝐩 = (^𝛛𝐮

𝛛𝐯)

𝐬 = (^𝛛𝐟

𝛛𝐯)

𝐓 𝐯 = (^𝛛𝐡

𝛛𝐩)

𝐬

= (^𝛛𝐠

𝛛𝐩)

𝐓

−𝐬 = (^𝛛𝐟

𝛛𝐓)

𝐯 = (^𝛛𝐠

𝛛𝐓)

𝐩

6.2 Entropia, energia interna, entalpia per una generica sostanza 𝐝𝐬 = (^𝛛𝐬

𝛛𝐓)

𝐯𝐝𝐓 + (^𝛛𝐬

𝛛𝐯)

𝐓𝐝𝐯 prima relazione di Gibbs per l’entropia 𝐝𝐬 = 𝐜_𝐯𝐝𝐓

𝐓 + (𝛛𝐩

𝛛𝐓)

𝐯

𝐝𝐯 (^𝛛𝐩

𝛛𝐓)

𝐯 =^𝐑

𝐯 per un gas ideale (^𝛛𝐩

𝛛𝐓)

𝐯 = ^𝐑

𝐯−𝐛 per il gas di Van der Waals 𝐝𝐬 = 𝐜_𝐯+ 𝐑 ^𝐝𝐯

𝐯−𝐛 ⟹ 𝐬 = 𝐬_𝟎+ 𝐜_𝐯𝐥𝐧 ^𝐓

𝐓_𝟎+ 𝐑 𝐥𝐧 (^𝐯−𝐛

𝐯_𝟎−𝐛) espressione dell’entropia per il gas di Van der Waals

𝐝𝐬 = (^𝛛𝐬

𝛛𝐓)

𝐩𝐝𝐓 + (^𝛛𝐬

𝛛𝐩)

𝐓𝐝𝐩 seconda relazione di Gibbs per l’entropia 𝐝𝐬 = 𝐜_𝐩^𝐝𝐓

𝐓 − (^𝛛𝐯

𝛛𝐓)

𝐩𝐝𝐩

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6.4 Generalità siu calori specifici a pressione e volume costante 𝐜_𝐩 − 𝐜_𝐯 = 𝐑 relazione di Mayer per un gas ideale

𝐜_𝐩(𝐓, 𝐩) − 𝐜_𝐯,𝟎(𝐓) = 𝐑 +^𝟐𝐚𝐩

𝐑𝐓^𝟐 relazione di Mayer per un gas di Van der Wals 𝐜_𝐩 − 𝐜_𝐯 = 𝐓𝐯^𝛃^𝟐

𝛋

6.6 Coefficiente di Joule-Thomson 𝛍_𝐉−𝐓 = ^𝟏

𝐜_𝐩[𝐓 (^𝛛𝐯

𝛛𝐓)

𝐩− 𝐯] coefficiente di Joule-Thomson 𝛍_𝐉−𝐓 = ^𝟏

𝐜_𝐩[^𝟐𝐚

𝐑𝐓− 𝐛] espressione esplicita del coefficiente di Joule-Thomson 𝐓_𝐦𝐚𝐱 = ^𝟐𝟕

𝟒 𝐓_𝐂 temperatura massima d’inversione 𝐩_𝐦𝐚𝐱 = 𝟗𝐩_𝐂 pressione massima d’inversione

CAPITOLO 7- MISCELE IDEALI DI GAS IDEALI E CENNI DI PSICROMETRIA

𝐧_𝐣 =^𝐌^𝐣

𝐌̅_𝐣 numero di moli

𝐌 = ∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐌_𝐣 = ∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐧_𝐣𝐌̅_𝐣 massa totale 𝐧 = ∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐧_𝐣 numero di moli totali

𝐱_𝐣 = ^𝐌^𝐣

𝐌 ⟹ ∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐱_𝐣 = 𝟏 frazione massica 𝐲_𝐣 = ^𝐧^𝐣

𝐧 ⟹ ∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐲_𝐣 = 𝟏 frazioni molari

7.1 Modelli di Dalton-Gibbs e Amagat-Leduc per miscele ideali 𝐩 = ∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐩_𝐣 presione parziale

𝐔 = 𝐌𝐮 = ∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐔_𝐣 = ∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐌_𝐣𝐮_𝐣 =∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐧_𝐣𝐮̅_𝐣 energia interna parziale 𝐩_𝐣 =^𝐧^𝐣^𝐑^̅𝐓

𝐕 =^𝐌^𝐣^𝐑^𝐣^𝐓

𝐕 pressione parziale j-esimo componente

(9)

𝐜_𝐩 = (^𝛛𝐡

𝛛𝐓)

𝐩 = ^𝛛

𝛛𝐓(∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐱_𝐣𝐡_𝐣) = ∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐱_𝐣𝐜_𝐩,𝐣 calore specifico a pressione costante 𝐜̅_𝐩 = (^𝛛𝐡̅

𝛛𝐓)

𝐯 = ^𝛛

𝛛𝐓(∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐲_𝐣𝐡̅_𝐣) = ∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐲_𝐣𝐜̅_𝐩,𝐣 calore specifico molare a pressione costante

𝛄 = ^∑ ^𝐱^𝐣^𝐜^𝐩,𝐣

𝐍𝐂𝐣=𝟏

∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐱_𝐣𝐜_𝐯,𝐣 ≠ ∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐱_𝐣𝛄_𝐣 ≠ ∑^𝐍𝐂_𝐣=𝟏𝐲_𝐣𝛄̅_𝐣 esponente dell’adiabatica 7.3Entropia di mescolamento

∆𝐒 = − [𝑴_𝒂𝑹_𝒂𝐥𝐧^𝒑^𝒂,𝟐

𝒑_𝟏 + 𝑴_𝒃𝑹_𝒃𝐥𝐧^𝒑^𝒃,𝟐

𝒑_𝟏 ] = −[𝑴_𝒂𝑹_𝒂𝐥𝐧 𝒚_𝒂 + 𝑴_𝒃𝑹_𝒃𝐥𝐧 𝒚_𝒃] differenza di entropia nel mescolamento adiabatico ed isobaro di due gas