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ESERCIZIO 1
Una ruota dentata ed un albero con diametro nominale di 40 mm devono essere assemblati con un accoppiamento a interferenza per pressioni di contatto medie. La ruota ha un mozzo con diametro esterno di 60 mm ed una lunghezza di 50 mm.
L’albero è realizzato in acciaio AISI 1020 CD (trafilato a freddo), la ruota è di acciaio incrudito con Su=700 MPa e Sy=406 MPa.
a) Specificare le dimensioni e le tolleranze per albero e mozzo al fine di ottenere l’accoppiamento voluto.
b) Determinare le pressioni massima e minima all’interfaccia in base alle tolleranze stabilite.
c) Determinare il minimo fattore di sicurezza statico rispetto allo snervamento per albero e mozzo, basandosi sul criterio di rottura dell’energia di distorsione.
d) Determinare la massima coppia trasmissibile dal giunto senza slittamenti, quando la pressione di interfaccia è minima per le tolleranze specificate.
Si determino prima di tutto le caratteristiche dei materiali di albero e ruota, in base alle tabelle successive.
Assumendo un modulo Young per i due materiali pari a 207 GPa, valido per tutti gli acciai, indipendentemente dal tipo di lavorazione (per gli acciai inox si può assumere
2 un valore di 190 GPa). Il coefficiente di Poisson invece viene assunto pari a 0.3 per entrambi i materiali.
Albero Ruota
Su [MPa] 470 700
Sy [MPa] 390 406
E [GPa] 207 207
ν 0.3 0.3
Si vuole un accoppiamento con interferenza per pressioni di contatto medie, per cui dalla successiva tabella possiamo ricavare la dicitura: H7/s6.
Essendo il diametro nominale pari a 40 mm la precedente dicitura può essere riscritta come: 40 H7/s6.
Le tolleranze per la ruota (grado di tolleranza IT pari a 7) e per l’albero (grado di tolleranza IT pari a 6) si possono ricavare dalla tabella successiva con un diametro nominale di 40 mm.
3 Gli scostamenti superiore ed inferiore per l’albero può essere ricavato dalla tabella seguente.
Riassumendo:
Albero Ruota
Grado di tolleranza IT 6 7
Tolleranza ∆𝑑 =0.016 mm ∆𝐷 =0.025 mm
Scostamento [mm] 0.043 𝐸𝑠 =0
4 Lo scostamento inferiore per il foro, essendo in posizione H è pari a zero, mentre lo scostamento superiore è pari alla tolleranza. Quindi per il foro si ha:
𝐸𝑖 = 0 𝐸𝑠 = ∆𝐷 = 0.025 𝑚𝑚 Dunque:
𝐷𝑚𝑎𝑥 = 𝐷𝑛𝑜𝑚 + 𝐸𝑠 = 40 𝑚𝑚 + 0.025 𝑚𝑚 = 40.025 𝑚𝑚 𝐷𝑚𝑖𝑛 = 𝐷𝑛𝑜𝑚 + 𝐸𝑖 = 40 𝑚𝑚
Per l’albero, essendo in posizione s, si ha che lo scostamento inferiore è pari a 0.043 mm mentre lo scostamento superiore è pari a quello inferiore meno il grado di tolleranza. Per cui si ha:
𝑒𝑖 = 0.043 𝑚𝑚 𝑒𝑠 = 𝑒𝑖 + ∆𝑑 = 0.059 𝑚𝑚 Da cui:
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 𝑑𝑛𝑜𝑚 + 𝑒𝑖 = 40 𝑚𝑚 + 0.043 𝑚𝑚 = 40.043 𝑚𝑚
𝑑𝑚𝑎𝑥 = 𝑑𝑛𝑜𝑚+ 𝑒𝑠 = 𝑑𝑛𝑜𝑚+ 𝑒𝑖 + ∆𝑑 = 40 𝑚𝑚 + 0.059 𝑚𝑚 = 40.059 𝑚𝑚 Lo scostamento fondamentale è lo scostamento più vicino alla dimensione nominale tra scostamento superiore ed inferiore (tra albero e foro).
Le pressioni massima e minima possono essere calcolate con la formula seguente:
𝑝 = 𝛿
𝑑
𝐸𝑜 ∙ (𝑑𝑜2+ 𝑑2
𝑑𝑜2− 𝑑2 + 𝜈𝑜) + 𝑑
𝐸𝑖 ∙ (𝑑2+ 𝑑𝑖2
𝑑2− 𝑑𝑖2+ 𝜈𝑖)
Dove 𝑑 è il diametro nominale, 𝑑𝑖 è il diametro interno dell’albero (se cavo), 𝑑𝑜 è il diametro esterno del mozzo e 𝛿 è l’interferenza tra albero e mozzo, che può variare tra:
𝛿𝑚𝑖𝑛 = 𝑑𝑚𝑖𝑛 − 𝐷𝑚𝑎𝑥 = 0.018 𝑚𝑚 e
𝛿𝑚𝑎𝑥 = 𝑑𝑚𝑎𝑥 − 𝐷𝑚𝑖𝑛 = 0.059 𝑚𝑚 Ne segue che le pressioni massime e minime sono pari a:
𝑝𝑚𝑖𝑛 = 𝐸 ∙ 𝛿𝑚𝑖𝑛
2 ∙ 𝑑𝑛𝑜𝑚3 ∙ [(𝑑𝑜2− 𝑑𝑛𝑜𝑚2 ) ∙ (𝑑𝑛𝑜𝑚2 − 𝑑𝑖2)
(𝑑𝑜2− 𝑑𝑖2) ] = 25.9 𝑀𝑃𝑎
5 𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝐸 ∙ 𝛿𝑚𝑎𝑥
2 ∙ 𝑑𝑛𝑜𝑚3 ∙ [(𝑑𝑜2− 𝑑𝑛𝑜𝑚2 ) ∙ (𝑑𝑛𝑜𝑚2 − 𝑑𝑖2)
(𝑑𝑜2− 𝑑𝑖2) ] = 84.8 𝑀𝑃𝑎
Per il calcolo dei coefficienti di sicurezza si devono si devono calcolare le tensioni agenti su mozzo ed albero, utilizzando la pressione massima di interferenza (situazione più sfavorevole, che genera le tensioni più alte). Le tensioni tangenziali e radiali, per un mozzo (disco forato) e/o l’albero, soggetti a pressione interna 𝑝𝑖 sono esprimibili mediante le seguenti espressioni:
𝜎𝑟 = −𝑝𝑖 ∙ 𝑟𝑖2
𝑟𝑒2− 𝑟𝑖2∙ (𝑟2
𝑟𝑒2− 1) 𝜎𝑡 = 𝑝𝑖 ∙ 𝑟𝑖2
𝑟𝑒2− 𝑟𝑖2∙ (𝑟2
𝑟𝑒2+ 1) Per 𝑟 = 𝑟𝑖
𝜎𝑟 = −𝑝𝑖 𝜎𝑡 = 𝑝𝑖 ∙𝑟𝑒2+ 𝑟𝑖2
𝑟𝑒2− 𝑟𝑖2 Per 𝑟 = 𝑟𝑒
𝜎𝑟 = 0 𝜎𝑡 = 2 ∙ 𝑝𝑖 ∙ 𝑟𝑖2
𝑟𝑒2− 𝑟𝑖2 Da cui:
𝜎𝑟𝑎𝑙𝑏𝑒𝑟𝑜 = −𝑝𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑟𝑚𝑜𝑧𝑧𝑜 = −𝑝𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑡𝑎𝑙𝑏𝑒𝑟𝑜 = −𝑝𝑚𝑎𝑥 ∙𝑑𝑛𝑜𝑚2 +𝑑𝑖2
𝑑𝑛𝑜𝑚2 −𝑑𝑖2 𝜎𝑡𝑚𝑜𝑧𝑧𝑜 = 𝑝𝑚𝑎𝑥 ∙𝑑𝑜2+𝑑𝑛𝑜𝑚2
𝑑𝑜2−𝑑𝑛𝑜𝑚2
La tensione radiale è sempre negativa (compressione) perché l’accoppiamento forzato genera compressione radiale in entrambi gli elementi. La tensione tangenziale invece è negativa per l’albero perché tende a comprimere, mentre è positiva sul mozzo perché tende ad espandere.
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ALBERO MOZZO
Per cui le tensioni sono:
𝜎𝑟𝑎𝑙𝑏𝑒𝑟𝑜 = −84.8 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑟𝑚𝑜𝑧𝑧𝑜 = −84.8 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑡𝑎𝑙𝑏𝑒𝑟𝑜 = −84.8 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑡𝑚𝑜𝑧𝑧𝑜 = 220.5 𝑀𝑃𝑎
Per uno stato piano di tensione l’energia di distorsione è pari a:
𝜎 = √𝜎12 − 𝜎1 ∙ 𝜎2+ 𝜎22 Per l’albero abbiamo:
𝜎𝑎𝑙𝑏𝑒𝑟𝑜 = √𝜎𝑟2𝑎𝑙𝑏𝑒𝑟𝑜 − 𝜎𝑟𝑎𝑙𝑏𝑒𝑟𝑜 ∙ 𝜎𝑡𝑎𝑙𝑏𝑒𝑟𝑜 + 𝜎𝑡2𝑎𝑙𝑏𝑒𝑟𝑜 = 84.8 𝑀𝑃𝑎 Da cui il fattore di sicurezza è:
𝐹𝑆 = 𝑆𝑦
𝜎𝑎𝑙𝑏𝑒𝑟𝑜 = 390 𝑀𝑃𝑎
84.8 𝑀𝑃𝑎 = 4.6 Per il mozzo invece abbiamo che:
𝜎𝑚𝑜𝑧𝑧𝑜 = √𝜎𝑟2𝑚𝑜𝑧𝑧𝑜 − 𝜎𝑟𝑚𝑜𝑧𝑧𝑜 ∙ 𝜎𝑡𝑚𝑜𝑧𝑧𝑜 + 𝜎𝑡2𝑚𝑜𝑧𝑧𝑜 = 272.9 𝑀𝑃𝑎 Da cui il fattore di sicurezza è:
𝐹𝑆 = 𝑆𝑦
𝜎𝑚𝑜𝑧𝑧𝑜 = 406 𝑀𝑃𝑎
272.9 𝑀𝑃𝑎 = 1.49
Infine la massima coppia trasmissibile dal giunto senza slittamenti, quando la pressione di interfaccia è minima si può ricavare mediante la seguente formula:
7 𝑇 = 𝐹 ∙𝑑𝑛𝑜𝑚
2 Dove F è pari a:
𝐹 = 𝑝𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝐴 ∙ 𝑓
In cui A è la superficie di contatto tra mozzo e ruota ed f è il coefficiente di attrito.
Assumendo f=0.3 possiamo scrivere:
𝑇 = 𝑝𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑𝑛𝑜𝑚∙ 𝐿 ∙ 𝑓 ∙𝑑𝑛𝑜𝑚 2
𝑇 = 0.5 ∙ 25.9 𝑀𝑃𝑎 ∙ 𝜋 ∙ 60 𝑚𝑚 ∙ 0.3 ∙ (40 𝑚𝑚)2 = 975.5 𝑘𝑁 ∙ 𝑚𝑚
