Problema 1.S1
Consideriamo le 3 cariche in figura con q2 = q3 = -2q, q = 1 mC; le cariche sono poste nei punti P1 (x = -a/2, y = -a/2), P2 (x = (3/2)a, y =(3/2)a), P3 (x = a, y = a), con a = 3 cm; calcolare il valore che deve avere q1 affinché la forza totale sulla carica 2 sia nulla
q =
1q
1x
y
q
2a
a q
3a
a
Problema 1.S1: soluzione
(
1 2)
2 312 2 23 2
2 2 2
2 q q
F k q q F k
a a
= =
Avendo q2 e q3 lo stesso segno, la forza tra le due cariche è repulsiva; dunque affinché la forza totale su q2 si annulli, la forza tra q1 e q2 deve essere attrattiva; ne deriva che q1 deve avere segno opposto a q2, dunque positivo; le distanze tra le cariche sono:
Affinché le due forze siano uguali deve essere:
2 3 1 2
2 2
1 3 1 3
8 / 2
1 2 16 32
8 q q q q
k k
a a
q q q q
m
C= −
= − = − =
12
2 2
232
2
r = a r = a
in modulo le forze su q2 sono:
F
23F
12q
1x
y
q
2a
a q
3a
a
Problema 1.S2
Consideriamo 2 cariche in figura con q1 = 2q , q2 = -q, q = 1 mC; a
= 3 cm; calcolare:
a) le componenti cartesiane Ex, Ey del campo elettrico totale generato dalle cariche nel punto P (x= a, y = -a)
b) Il potenziale Coulombiano VP generata dalle due cariche in P
2 2 9
0
10 4 9
1
C k = = Nm
Si ricordi che
) )
x y
P
a E E
b V
= =
=
q
1x y
q
22 a
a
a
P
2 a
a
a
Problema 1.S2: soluzione
( ) ( )
2 2 2
2 2
ˆ ˆ
cos 45 sin 45
3 3
2 2
2 2
2 ˆ 2 ˆ
9 9
o o
q q
E k x k y
a a
q q
k x k y
a a
= − +
= − +
2
9 7
2 2 2
2
9 7
2 2 2
1 2 1
9 10 0.343 0.343 10
2 9 (3 )
2 1
9 10 0.157 0.157 10
9 (3 )
x
y
q Nm C N
E k
a C cm C
q Nm C N
E k
a C cm C
m m
= − = =
= = =
Il campo di q1 si allontana dalla carica, quello di q2 è rivolto verso la carica, per cui:
Calcoliamo le coordinate cartesiane:
( )
1 2
2 ˆ 2
E k q x a
=
Calcoliamo il potenziale in P:
2
9 5
2
2 2 2 1
1 9 10 0.5286 1.586 10
2 3 3 3
P
q q q Nm C
V k k k V
a a a C cm
m
= − = − = =
q
1x y
q
22 a
a
a
P
2 a
E
1E
2Problema 1.S3
Consideriamo 2 cariche in figura con q1 = q2 = -2q; q = 1 mC; a = 3 cm; calcolare:
a) le componenti cartesiane Ex, Ey del campo
elettrico totale generato dalle cariche nel punto P (x = -a, y = -a)
b) Le componenti cartesiane Fx, Fy della forza di
Coulomb generata dalle due cariche su una carica q3 = 3q posta in P
2 2 9
0
10 4 9
1
C k = = Nm
Si ricordi che
)
)
x y
x y
a E E
b F F
= =
= =
q
1a
x y
q
2a
a P a
a
Problema 1.S3: soluzione
1 2 2
2 ˆ ˆ
(2 ) 2
q q
E k x k x
a a
= =
Essendo q1 e q2 negative, i campi da esse generati nell’origine sono rivolti verso le cariche, per cui:
Calcoliamo la forza su q3
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2 cos 45 ˆ 2 cos 45 ˆ
2 2 2 2
ˆ ˆ
4 2 4 2
o o
q q
E k x k y
a a
q q
k x k y
a a
= +
= +
2
9 7
2 2 2
2
9 7
2 2 2
1 1
0.5 9 10 0.677 0.677 10
(3 ) 4 2
1 1
9 10 0.177 0.177 10
(3 ) 4 2
x
y
q Nm C N
E k
a C cm C
q Nm C N
E k
a C cm C
m m
= + = =
= = =
Calcoliamo le coordinate cartesiane:
7 3
7 3
3 0.677 10 20.3 3 0.177 10 5.3
x x
y y
F q E C N N
C
F q E C N N
C m
m
= = =
= = =
q
1a
x y
q
2a
a P
E1E2
Problema 1.S4
Consideriamo 2 cariche in figura con q1 = 2 mC, q2
= -1 mC; a = 3 cm; calcolare:
a) le componenti cartesiane Ex, Ey del campo elettrico totale generato dalle cariche nel punto P (x= a, y = a)
b) La d.d.p. VP - VP’ generata dalle due cariche tra P ed il punto P’ (x = - a, y = a)
2 2 9
0
10 4 9
1
C k = = Nm
Si ricordi che
'
) )
x y
P P
a E E
b V V
= =
− =
q
1a x y
q
2a
a a
' P
P
Problema 1.S4: soluzione
2
9 7
2 2 2
7
1 1
9 10 0.177 0.177 10
(3 ) 4 2
0.177 10
x
y x
q Nm C N
E k
a C cm C
E E N
C
= − = − m = −
= = −
Il campo di q1 è uscente dalla carica, quello di q2 è rivolto verso la carica, per cui:
Calcoliamo le coordinate cartesiane:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2
2 2
2 2
ˆ ˆ
cos 45 sin 45
2 2 2 2
ˆ ˆ
4 2 4 2
o o
q q
E k x k y
a a
q q
k x k y
a a
= +
= +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
ˆ ˆ
cos 45 sin 45
2 2
ˆ ˆ
2 2 2 2
o o
q q
E k x k y
a a
q q
k x k y
a a
= − −
= − −
q
1x y
q
2' P
P
E1E2
Problema 1.S4: soluzione
Calcoliamo il potenziale in P
Alternativamente, possiamo notare che P e P’ sono alla stessa distanza da q2 (ovvero giacciono su una superficie equipotenziale di q2 ) per cui la d.d.p. generata dalla carica q2 è nulla;
possiamo quindi calcolare la d.d.p. tra P e P’ limitandoci a considerare la sola carica q1 ; in tal caso si ha:
5 '
0.88 10
P P
V − V = − V
2 0
2 2 2
P
q q
V k k
a a
= − =
q
1a x y
q
2a
a a
' P P
Calcoliamo il potenziale in P’
'
2
9 5
2
2 1
2 2 1 2
9 10 1 0.293 0.88 10 3
P
q q q
V k k k
a a a
Nm C
C cm V
m
= − = −
= =
5 '
2 2 1
1 0.88 10
2 2 2 2
P P
q q q
V V k k k V
a a
a
− = − = − = −
Ovviamente si ottiene lo stesso risultato finale
Problema 1.S5
Consideriamo 3 cariche in figura con q2 = -2q, q3 = 2q, q=1 mC; a = 3 cm; le cariche sono poste nei punti P1 (x = -a, y = a), P2 (x = 2a, y =-2a), P3 (x = a/2, y = -a/2), calcolare il
valore che deve avere q1 affinché la forza totale sulla carica 3 sia nulla
q =
1q
1x y
q
22a a
q
3a
2a
2 a
2 a
Problema 1.S5: soluzione
1 3 2 3
13 2 23 2
3 3
2 2
2 2
q q q q
F k F k
a a
= =
Avendo q2 e q3 segni opposti, la forza tra le due cariche è attrattiva; dunque affinché la forza totale su q3 si annulli, anche la forza tra q1 e q3 deve essere attrattiva; ne deriva che q1 deve essere negativa come q2; in modulo le forze su q3 sono:
Affinché le due forze siano uguali in modulo deve essere:
13 23 1 2 2
F = F q = q = −
m
Cq
1x y
q
22a a
q
3a
2a
2 a
2 a
F
23F
13Problema 1.S6
Consideriamo 2 cariche in figura con q1 = 1 mC, q2 = -2 mC; a = 3 cm; calcolare:
a) le componenti cartesiane Ex, Ey del campo
elettrico totale generato dalle cariche nel punto P (x= - a, y= a)
b) La d.d.p. VP - V0 generata dalle due cariche tra P e l’origine
2 2 9
0
10 4 9
1
C k = = Nm
Si ricordi che
1) Ex = Ey =
q
1a
x y
q
2a a a P
2a
Problema 1.S6: soluzione
( )
2 2 2
2 ˆ ˆ
2 2
q q
E k x k x
a a
= =
2
9 7
2 2 2
2
9 7
2 2 2
1 1
1 9 10 0.853 0.853 10
2 2 (3 )
1 1
9 10 0.353 0.353 10
(3 ) 2 2
x
y
q Nm C N
E k
a C cm C
q Nm C N
E k
a C cm C
m m
= + = =
= = =
Il campo è uscente da q1 ed entrante in q2, per cui:
Calcoliamo le coordinate cartesiane:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2
2 2
ˆ ˆ
cos 45 sin 45
2 2
ˆ ˆ
2 2 2 2
o o
q q
E k x k y
a a
q q
k x k y
a a
= +
= +
q
1a
x y
q
2P a
E
2E
1Problema 1.S6: soluzione
Calcoliamo il potenziale in P e nell’origine:
2
9 5
2
2 1 1
1 9 10 0.293 0.88 10
2 3
2 2
P
q q q Nm C
V k k k V
a a C cm
a
m
= − = − = − = −
2
9 5
0 2
2 1 2 1
9 10 0.914 2.74 10
2 2 2 2 3
q q q Nm C
V k k k V
a a a C cm
m
= − = − = − = −
2
9 5
0 2
3 1 1 1
9 10 0.621 1.864 10
2 3
P 2
q Nm C
V V k V
a C cm
m
− = − = =
q
1a
x y
q
2a a a P
2a
Problema 2.S1
Un condensatore cilindrico ha carica lineare l= ± 1 mC/cm, raggio del cilindro interno a = 2 cm, raggio del guscio esterno b = 5 cm; il condensatore è riempito interamente con un dielettrico di costante dielettrica relativa r = 4; calcolare:
a) il campo elettrico nei punti distanti dal centro r1
= 1.5 cm, r2 = 3 cm, r3 = 6 cm
b) la d.d.p. DV = V+ - VP tra le superficie carica positivamente ed il punto P posto a metà tra i due strati carichi
a
b + + + +
+
+ +
− + +
−
−
−
− −
− − −
−
−
−
−−
P
Problema 2.S1: soluzione
Il campo del condensatore è diverso da zero soltanto nello spazio tra le armature, per cui:
Calcoliamo la d.d.p. integrando il campo elettrico all’interno del condensatore tra lo strato positivo (a) ed il punto P; P è posizionato ad una distanza dal centro
chiaramente data dal raggio a più la metà della distanza tra le armature, per cui:
2
9 5
2 2
1 1
2 ' 2 ln 4.5 10 ln1.75 2.52 10
' 10
rP
P P
r a r
r
k k Nm C
V V dr V
r a C m
l l m
+ − =
= = − = 1
2
9 7
2 2 4 2
3
1.5 0
3 2 4.5 10 1 1.5 10
3 10
6 0
r
r cm E
k Nm C N
r cm E
r C m C
r cm E
l m
−= =
= = = =
= =
2 3.5
P
b a
r a − cm
= + =
Dunque:
Problema 2.S2
Un lungo filo (rosso) con densità di carica lineare uniforme lF= -2 mC/cm, è coassiale con un tubo metallico sottile di raggio R = 4 cm e densità lineare uniforme lT= 2 mC/cm
a) Calcolare il campo elettrico generato dalle cariche nei punti distanti dal filo r1 = 3 cm ed r2 = 6 cm
b) Ricalcolare il campo elettrico negli stessi punti dopo aver riempito il tubo con un materiale dielettrico di costante dielettrica relativa r = 6
1
2
3 )
6
r cm E a
r cm E
= =
= =
1
2
3 )
6
r cm E b
r cm E
= =
= =
Problema 2.S2: soluzione
Essendo le cariche del filo e del tubo uguali in modulo ed opposte in segno, il sistema è in pratica un condensatore cilindrico; si ha:
Dopo l’inserimento del dielettrico:
2
9 7
1 2 4 2
2
3 2 18 10 2 12 10
3 10 )
6 0
F Nm C N
r cm E k
r C m C
a
r cm E
l m
−
−
= = = = −
= =
2
9 7
1 2 4 2
2
3 2 3 10 2 2 10
3 10 )
6 0
F r
k Nm C N
r cm E
r C m C
b
r cm E
l m
−
−
= = = = −
= =
Problema 2.S3
Consideriamo un condensatore piano con carica q = ± 8 mC, area dei piatti A = 100 cm2 e distanza d = 1 cm; il condensatore è per metà riempito con un dielettrico (in giallo) di costante relativa r = 10; calcolare:
a) l’intensità E1 del campo elettrico nel punto P1 posto a metà tra la superficie positiva ed il dielettrico
b) L’intensità E2 del campo elettrico nel punto P2 posto nel mezzo del dielettrico
c) La d.d.p. DV = V1 - V2 tra i punti P1 e P2
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
P
1P
2d
1 2
) )
)
a E b E
c V
= =
D =
2 12
0 8.85 10 C 2 8.85 pF
N m m
= − =
Problema 2.S3: soluzione
campo elettrico nello spazio vuoto:
8
1 1 2
2 2 12
0 0
2
: 8 0.904 10
10 8.85 10
q C N
P E
C
A C
m N m
m
− −
= = = =
8 5
1 1 0.904 10 0.125 1.13 10 8
d V
V E cm V
D = = m =
Nella regione riempita di dielettrico:
Muovendosi da P1 a P2 il potenziale cala linearmente con una pendenza data dal campo elettrico, per cui nella regione vuota:
7 5
2 2 0.904 10 0.25 0.226 10 4
d V
V E cm V
D = = m =
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
P
1P
24 d 8
d
La d.d.p. tra piano positivo e P2 è quindi:5 1 2
1.356 10
V V V V
D = D + D =
campo elettrico nel dielettrico: 2 2 7
0
: 0.904 10
r
P E N
C
= =
Problema 2.S4
Sia dato un guscio sferico isolante di raggio interno a = 4 cm ed esterno b = 8 cm; nel guscio è presente una carica distribuita nello spazio con densità
uniforme r = 4 mC/cm3; calcolare l’intensità del
campo elettrico ad una distanza dal centro r = 10 cm
a b
Problema 2.S4: soluzione
Essendo r al di fuori del guscio sferico, il campo elettrico è quello di una carica
puntiforme posta nell’origine; calcoliamo la carica totale del guscio come prodotto della densità di carica per il volume totale del guscio:
2 3
9 8
2 2 4 2
7.5 10
9 10 67.56 10
100 10
q Nm C N
E k
r C m C
−
−
= = =
(
3 3)
3(
3 3)
3 34 4 4 16
8 4 448 7.5 10
3 3 3
q Vol b a C cm C C
cm
r r m m −
= = − = − = =
Il campo elettrico è:
Problema 2.S5
Consideriamo un condensatore piano con carica q = ± 5 mC, area dei piatti A = 100 cm2 e distanza d = 1 cm; il condensatore è per metà riempito con un dielettrico (in giallo) di costante relativa r = 4; calcolare:
a) l’intensità E1 del campo elettrico nel punto P1 posto nel mezzo del dielettrico
b) L’intensità E2 del campo elettrico nel punto P2 posto nel mezzo della regione vuota
c) La capacità del condensatore
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
P
1P
2d
1 2
) )
)
a E b E
c V
= =
D =
2 12
0 8.85 10 C 2 8.85 pF
N m m
= − =
Problema 2.S5: soluzione
campo elettrico nello spazio vuoto:
8
2 2 2
2 2 12
0 0
2
: 5 0.565 10
10 8.85 10
q C N
P E
C
A C
m N m
m
− −
= = = =
( )
61 2 1 2
0.5 0.353 10
2 2
d d
V E E E E cm V
D = + = + =
Poiché il dielettrico non riempie totalmente il condensatore, la capacità non può essere calcolata dalla formula per il condensatore piano; dobbiamo ricorrere alla formula generale: C = q/DV, ove DV è la d.d.p. tra i piatti; calcoliamo DV :
6
5 14.16
0.353 10
q C
C pF
V V
= = m =
D
La capacità è quindi:
campo elettrico nel dielettrico: 1 1 8
0
: 0.141 10
r
P E N
C
= =
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
P
1P
2d
Problema 2.S6
Un condensatore cilindrico ha carica lineare l= ± 2 mC/cm, raggio del cilindro interno a = 1 cm, raggio del guscio esterno b = 2.5 cm; il condensatore è riempito interamente con un dielettrico di costante dielettrica relativa r = 8; calcolare:
a) il campo elettrico nei punti distanti dal centro r1
= 0.8 cm, r2 = 2 cm, r3 = 4 cm
b) la d.d.p. DV = V+ - Vr3tra lo strato positivo ed un punto a distanza dal centro uguale ad r3
a
b + + + +
+
+ +
− + +
−
−
−
− −
− − −
−
−
−
−−
Problema 2.S6: soluzione
Il campo del condensatore è diverso da zero soltanto nello spazio tra le armature, per cui:
Calcoliamo la d.d.p. tra il piatto positivo ed r3 integrando il campo elettrico all’interno del condensatore; notiamo che r3 è al di fuori del condensatore, dunque la d.d.p.
equivale a quella tra le distribuzioni di carica, poiché il potenziale resta costante oltre lo strato negativo, ovvero per r maggiore di b; dunque:
3
2 9
2 2
5
1 2
2 ' 2 ln 2.25 10 ln 2.5
' 10
4.123 10
b r
r a r
k k b Nm C
V V dr
r a C m
V
l l m
+
− = = =
−
=
1
2
9 7
2 2 4 2
3
0.8 0
2 2 2.25 10 2 2.25 10
2 10
4 0
r
r cm E
k Nm C N
r cm E
r C m C
r cm E
l m
−= =
= = = =
= =
Problema 3.S1
Dato il circuito in figura, con 4 condensatori con capacità C1 = 6 mF, C2 = 12 mF, C3 = 4 mF, C4 = 8 mF, ed una batteria con f.e.m. = 10 V,
calcolare la carica q1 e la d.d.p. DV1 presenti sul condensatore 1
1 1
1
42.58
7.096 6
q C
V V
C F
m
D = = m =
E C2
C
3C
4C
134
32 2.666 C = 12 m F = m F
234
14.666
C = m F
1234
88 4.258
20.666
C = m F = m F
1234 1 234 1234
42.58
q = q = q = C E = m C
Problema 3.S2
Dato il circuito in figura, con 4 condensatori con capacità C1 = 2 mF, C2 = 7 mF, C3 = 6 mF, C4 = 10 mF, ed una batteria con f.e.m. = 10 V,
calcolare la carica q2 e la d.d.p. DV2 presenti sul condensatore 2
234
234 2 2 2 2
234
16.862
1.5686 10.98
10.75
q C
V V V q C V C
C F
m m
D = D = = m = = D =
E C2
C
3C
4C
134
60 3.75
C = 16 m F = m F
234
10.75
C = m F C
1234= 1.6862 m F
1234 1 234 1234
16.862
q = q = q = C E = m C
Problema 3.S3
Dato il circuito in figura, con 4 condensatori con capacità C1 = 4 mF, C2 = 6 mF, C3 = 10 mF, C4 = 8 mF, ed una batteria con f.e.m. = 10 V, calcolare le cariche q1, q4, e le d.d.p. DV1 , DV4 presenti sui condensatori 1 e 4
1 1
4 4
40 80
q C C
q C C
m m
= =
= =
E E
C
4C
1E
C
2C
31 4
10
V V V
D = D =
Problema 3.S4
Dato il circuito in figura, con 4 condensatori con capacità C1 = 8 mF, C2 = 6 mF, C3 = 10 mF, C4 = 4 mF, ed una batteria con f.e.m. = 10 V, calcolare le cariche q1, q2, e le d.d.p. DV1 , DV2 presenti sui condensatori 1 e 2
12
48 3.42857 C = 14 m F = m F
12 1 2 12
34.2857
q = q = q = C E = m C
C
4C
1E C2
C
31 2
1 2
1 2
34.2857 34.2857
4.2857 5.7143
8 6
q C q C
V V V V
C F C F
m m
m m
D = = = D = = =
Problema 3.S5
Dato il circuito in figura, con 4 condensatori con capacità C1 = 6 mF, C2 = 10 mF, C3 = 2 mF, C4 = 8 mF, ed una batteria con f.e.m. = 10 V,
calcolare la carica q2 e la d.d.p. DV2 presenti sul condensatore 2
234 2
234
39.54
3.409 11.6
q C
V V
C F
m
D = =
m
=E C2
C
3C
4C
134
16 1.6 C = 10 m F = m F
234
11.6
C = m F
1234
69.6 3.954 C = 17.6 m F = m F
1234 1 234 1234
39.54
q = q = q = C E = m C
2 2 2
34.09
q = C D V = m C
Problema 3.S6
Dato il circuito in figura, con 4 condensatori con capacità C1 = 4 mF, C2 = 2 mF, C3 = 3 mF, C4 = 6 mF, ed una batteria con f.e.m. = 10 V, calcolare le cariche q1 , q2 , q3 , q4 presenti ai piatti dei 4 condensatori
C
4C
1E C2
C
334
18 2
C = 9 m F = m F
34 3 4 34
20
q = q = q = C E = m C
C
4C
1E C2
C
312
8 1.333
C = 6 m F = m F
12 1 2 12
13.333
q = q = q = C E = m C
Problema 4.S1
Consideriamo 2 fili conduttori perpendicolari alla pagina percorsi da correnti i1 = 4 A, i2 = 10 A; sia a
= 3 cm; il verso delle correnti è indicato in figura;
calcolare in componenti cartesiane Bx, By, Bz il campo magnetico totale generato dai due fili nel punto P di coordinate (x = a, y = -a)
A
7
Tm
0
= 4 10
−m
Ricordiamo che:
x y z
B = B = B =
xˆ yˆ
•
1i
a a
i
2a
P a
a •
Problema 4.S1: soluzione
( ) ( )
( ) ( )
0 1 0 1 0 1 0 1
1
0 2 0 2 0 2 0 2
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
cos 45 sin 45
2 2 2 2 2 2 4 2 4 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
cos 45 sin 45
2 2 2 2 4 4
o o
o o
i i i i
B x y x y
a a
a a
i i i i
B x y x y
a a
a a
m m m m
m m m m
= − + = +
= + = +
0 1 0 1
2
ˆ
2ˆ
4 2 4 2
i i
B i x i y
a a
m m
= + + +
il campo totale è:
I campi generati in P dai fili sono vettori paralleli:
7
12
510 4 10
3
0
x
y x
z
T m A
B T
A cm B B
B
− −
= =
=
=
xˆ yˆ
•
1i
i
2P a
a •
B1
B
2Problema 4.S2
Consideriamo 2 fili conduttori perpendicolari alla pagina percorsi da correnti i1 = 4 A, i2 = 10 A; sia a
= 3 cm; il verso delle correnti è indicato in figura;
calcolare in componenti cartesiane Bx, By, Bz il campo magnetico totale generato dai due fili nel punto P di coordinate (x = a, y = a)
A
7
Tm
0
= 4 10
−m
Ricordiamo che:
x y z
B = B = B =
xˆ yˆ
•
i
1a
a
•
i
2a
P
Problema 4.S2: soluzione
( ) ( )
0 1 0 1 0 1 0 1
1
0 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
cos 45 sin 45
2 2 2 2 4 4
2 ˆ
o o
i i i i
B x y x y
a a
a a
B i x
a
m m m m
m
= − + = − +
= −
0
2
2 1 0 1ˆ ˆ
4 4
i i i
B x y
a a
m m
= − + +
il campo totale è:
I campi generati in P dai fili 1 e 2 sono:
7 5
7 5
10 24 8 10
3
10 4 1.333 10 3
0
x
y
z
T m A
B T
A cm
T m A
B T
A cm
B
− −
− −
= − = −
= =
= xˆ
yˆ
•
i
1•
i
2P
B
2B
1Problema 4.S3
Una particella di carica q = 1 C e massa M = 10 g in moto rettilineo uniforme entra in un campo magnetico uniforme, parallelo all’asse z d’intensità B = 0.5 T; la velocità iniziale della particella è:
ˆ ˆ ˆ
30 m 30 m 50 m
v x y z
s s s
= + +
a) Calcolare l’intensità ac dell’accelerazione centripeta che agisce sulla particella
b) Calcolare il passo p del moto elicoidale nella direzione parallela al campo magnetico
2 c
a v
r
= ⊥
Ricordiamo che nel moto circolare uniforme:
B
v
xˆ
yˆ
zˆ
Problema 4.S3: soluzione
( ) ( )
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
0 0
x y z y z x z
z
x y z
F q v B q v v v q v B x q v B y B
= = = −
l’intensità della forza di Lorentz sulla particella dalla relazione:
sin
F = qvB = qv B
⊥La componente della velocità perpendicolare al campo è:
2 2
30 30 m 18 10 m 42.43 m
v
⊥= + s = s = s
1 0.5 42.43 m 21.2
F C T N
= s =
B
v
xˆ
yˆ zˆ
v
⊥Alternativamente, possiamo calcolare le componenti cartesiane della forza come:
2 2
1 30 0.5 15 1 30 0.5 15 0
15 15 21.2
x y z
m m
F C T N F C T N F
s s
F N N
= = = − = − =
= + =
Problema 4.S3: soluzione
10 2 42.43 / 1 0.5 0.85
M v Kg m s
r m
qB C T
⊥
−
= = =
3
2 2
21.2 2.12 10
c 10
F N m
a = M = − Kg = s
Alternativamente, possiamo calcolare prima il raggio dell’orbita circolare:
E poi l’accelerazione dalla relazione fondamentale del moto circolare uniforme:
B
v
xˆ
yˆ zˆ
v
⊥Dalla forza calcoliamo l’accelerazione centripeta:
( )
22
42.43 / 3
2.12 10
c 0.85
v m s m
a r m s
= ⊥ = =
2 50 2 0.85 6.29
42.43
z z
p v T v r m m
v
⊥
= = = =
Il passo è lo spazio percorso dalla particella in direzione del campo nel tempo di un periodo, dunque:
Problema 4.S4
Una particella di carica q = 1 C e massa M = 10 g in moto rettilineo uniforme entra in un campo magnetico uniforme, parallelo all’asse z d’intensità B = 0.5 T; la velocità iniziale della particella è:
ˆ ˆ
20 m 10 m
v y z
s s
= +
a) Calcolare il periodo di rotazione T della particella all’interno del campo magnetico
b) Calcolare la frequenza angolare (in radianti) w del
moto circolare compiuto dalla particella all’interno del campo magnetico
2 c
a v
r
= ⊥
Ricordiamo che nel moto circolare uniforme:
B
v
xˆ
yˆ
zˆ
Problema 4.S4: soluzione
10 2 20 / 1 0.5 0.4
M v Kg m s
r m
qB C T
⊥
−
= = =
Il raggio dell’orbita circolare è dato da:
Alternativamente si può utilizzare direttamente la formula:
B
v
xˆ
yˆ zˆ
T 2 r v
⊥
=
Il periodo di rotazione è il tempo percorso dalla particella nel compiere un giro:
2 0.4
0.125 20 /
T m s
m s
= =
2 2 2 10 2
0.125 1 0.5
r M Kg
T s
v qB C T
−⊥
= = = =
La frequenza angolare è data da:
2 2 1
50.26 0.125
s rad
T s
w = = − =
Problema 4.S5
Consideriamo 2 fili conduttori perpendicolari alla pagina percorsi da correnti i1 = 6 A, i2 = 8 A; sia a = 3 cm; il verso delle correnti è indicato in figura;
calcolare in componenti cartesiane Bx, By, Bz il campo magnetico totale generato dai due fili nel punto P di coordinate (x = a, y = a)
A
7
Tm
0
= 4 10
−m
Ricordiamo che:
x y z
B = B = B =
xˆ yˆ
•
1i
a a
•
i
2a a P
a
Problema 4.S5: soluzione
( ) ( )
0 1 1
0 2 0 2 0 2 0 2
2
2 2 ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
cos 45 sin 45
2 2 2 2 4 4
o o
B i y
a
i i i i
B x y x y
a a
a a
m
m m m m
=
= − + = − +
0 2
ˆ
0 2 1ˆ
4 4
i i i
B x y
a a
m m
= − + +
il campo totale è:
I campi generati in P dai fili 1 e 2 sono:
7 5
7 5
10 8 2.666 10
3
10 14 4.666 10 3
0
x
y
z
T m A
B T
A cm T m A
B T
A cm B
− −
− −
= − = −
= =
=
xˆ yˆ
•
1i
•
i
2P
B1
B2
Problema 4.S6
Una particella di carica q = 1 C e massa M = 10 g in moto rettilineo uniforme entra in un campo magnetico uniforme, parallelo all’asse z; la velocità iniziale della particella è:
ˆ ˆ
30 m 40 m
v x z
s s
= +
a) Calcolare l’intensità B del campo magnetico necessario a far ruotare la particella di un moto circolare uniforme con raggio r = 1 m
b) Calcolare l’energia cinetica della particella
2 c
a v
r
= ⊥
Ricordiamo che nel moto circolare uniforme:
B v
xˆ
yˆ
zˆ
Problema 4.S6: soluzione
Dalla relazione tra raggio dell’orbita e campo magnetico ricaviamo:
la componente della velocità perpendicolare al campo è ovviamente vx
L’energia cinetica è:
B v
xˆ
yˆ zˆ
( )
22 2 2 2
2
1 0.5 10 30 40 12.5
2
K M v Kg m J
s
= = − + =
10 2 30 / 1 1 0.3
M v M v Kg m s
r B T
qB qr C m
⊥ ⊥
−
= = = =
Problema 5.S1
Una spira di forma esagonale con resistenza R = 6 W ed area A = 80 cm2 è immersa in un campo magnetico uniforme B = 0.2 T, perpendicolare alla pagina di verso uscente; la spira, inizialmente parallela alla pagina, viene messa in rotazione attorno all’asse verticale con frequenza w = 500 rad/s; calcolare l’intensità della corrente indotta iin nella spira al tempo t = 0.1 s
( ) ( )
cos cos
B
A A
B dA B wt dA AB wt
=
=
=( )
( )
2 2
1 sin
0.8 10
0.2 500 sin 50 0.1333 ( 0.262) 35 6
B in
d AB
i t
R dt R
m rad
T rad A mA
s
w w
−
