ESAME DI STATO
DI LICEO SCIENTIFICO 1999
Indirizzo
Scientifico-Tecnologico
Progetto Brocca
La prova
Il candidato svolga una breve relazione su uno solo dei seguenti temi, a sua scelta.
Tema 2
Un condensatore `e un sistema elettrico costruito in modo tale da avere una grande capacit`a. Pi`u condensatori possono essere collegati fra loro per aumentare o diminuire la capacit`a complessiva disponibile.
Il candidato:
1. definisca la grandezza fisica “capacit`a elettrica” di un conduttore, la sua unit`a di misura nel sistema S.I. e i suoi sottomultipli;
2. calcoli il raggio di un’ipotetica sfera conduttrice che abbia la capacit`a di un farad e commenti il risultato; come dato di riferimento prenda il raggio medio della Terra di 6370 km;
3. descriva la struttura di un condensatore piano spiegando perch´e essa permette d’aumentare, per quanto possibile, la capacit`a elettrica del sistema;
4. ricavi e commenti la formula per calcolare la capacit`a elettrica di un condensatore piano;
5. descriva almeno un’utilizzazione del condensatore in ambito scientifico o tecnologico;
6. disegni i simboli grafici di tre condensatori da 100 µF collegati in modo da ottenere le capacit`a complessive di 150 µF e di 300 µF.
Il candidato risolva, infine, il seguente problema.
Un sistema di condensatori avente la capacit`a complessiva di 1 mF, a cui `e applicata la d.d.p. di 10 kV, `e fatto scaricare su un resistore con R = 100 Ω immerso in un litro d’acqua distillata alla temperatura di 20◦C e contenuta in un recipiente isolato termicamente.
Il candidato calcoli la temperatura finale dell’acqua dopo che il sistema di condensatori si `e completamente scaricato e spieghi che cosa succederebbe se si fosse raddoppiato il valore della resistenza.
La soluzione
Tema 2 1.
La capacit`a elettrica C di un conduttore carico isolato `e definita come il rapporto fra la carica totale QT presente sul conduttore e il potenziale elettrico V al quale si trova il conduttore (ponendo V = 0 a distanza infinita dal conduttore):
C =QT
V . (1)
Di conseguenza le dimensioni fisiche della capacit`a sono quelle di una carica divisa per una ten- sione, ovvero di una carica al quadrato divisa per un’energia. L’unit`a di misura nel Sistema Internazionale `e il farad, definito in modo che
1 F = 1 C
1 V= 1 A · 1 s
1 J/(1 A · 1 s)= (1 A)2· (1 s)2
1 kg · (1 m)2/(1 s)2 =(1 A)2· (1 s)4
1 kg · (1 m)2 . (2) Com’`e noto, e come si vedr`a esplicitamente in seguito, il farad `e un campione di capacit`a di dimen- sioni troppo elevate per essere di uso pratico. Per questo risultano importanti i suoi sottomultipli, definiti come previsto dal Sistema Internazionale:
1 millifarad = 1 mF = 10−3F 1 microfarad = 1 µF = 10−6F
1 nanofarad = 1 nF = 10−9F 1 picofarad = 1 pF = 10−12F.
Il concetto di capacit`a elettrica di un sistema `e stato costruito storicamente in analogia con il con- cetto di capacit`a di un recipiente e di capacit`a termica. In tutti questi casi, infatti, entra in gioco la relazione fra “qualcosa” che viene fornito al sistema e il livello a cui si porta il sistema in conse- guenza di ci`o. Nel caso di un recipiente, parliamo di un fluido e del livello da esso raggiunto nel recipiente. Nel caso della capacit`a termica, parliamo dell’energia termica fornita al sistema e del livello termico, cio`e della temperatura, da esso raggiunta. Nel caso della capacit`a elettrica, si tratta della carica elettrica e del livello elettrico, cio`e del potenziale.
Poich´e i primi modelli fisici tanto dell’energia termica che della quantit`a di carica sono stati quelli di un particolare fluido, `e facile osservare che l’analogia sottesa al termine di “capacit`a” non
`e affatto casuale dal punto di vista storico.
2.
La capacit`a elettrica di una sfera conduttrice carica isolata e in equilibrio, di raggio R, pu`o essere determinata calcolando il potenziale V a cui essa si trova.
La sfera `e un conduttore all’equilibrio; di conseguenza, il campo elettrico al suo interno de- v’essere nullo ovunque, altrimenti i portatori di carica si metterebbero in moto, contro l’ipotesi dell’equilibrio. Sulla superficie della sfera, per lo stesso motivo, il campo elettrico dev’essere
normale alla superficie. Cos`ı, se immaginassimo di spostare una carica infinitesima da un punto all’altro della sfera, il campo elettrico non eseguirebbe su di essa alcun lavoro. Poich´e la differenza di potenziale fra due punti `e data appunto dal lavoro elettrico compiuto spostando da uno all’altro una carica di prova, concludiamo che il potenziale deve essere lo stesso in tutti i punti della sfera.
Per il teorema di Gauss, il flusso del campo elettrico su una qualsiasi superficie chiusa interna alla sfera deve risultare proporzionale alla carica elettrica racchiusa dalla superficie. Ma, per quanto detto sopra, tale flusso risulta identicamente nullo per qualunque superficie. Di conseguenza, al- l’interno della sfera non troveremo alcuna carica elettrica non equilibrata. In altri termini, la carica elettrica depositata sulla sfera deve distribuirsi sulla superficie di questa.
Determiniamo il potenziale elettrico al centro della sfera. Ogni carica infinitesima dq posta sulla superficie della sfera pu`o essere trattata come una carica puntiforme, che genera a distanza R, cio`e nel centro della sfera, un potenziale infinitesimo
dV (R) = 1 4πε0
dq R .
Sommando tutti questi contributi, e ricordando che R ha lo stesso valore per ciascuno di essi, otteniamo il potenziale
V (R) = 1 4πε0
QT
R (3)
che coincide, in maniera niente affatto casuale, con il potenziale che la carica QT genererebbe sulla superficie della sfera se fosse concentrata nel suo centro.
Come abbiamo gi`a detto, questo valore del potenziale `e lo stesso in tutti i punti della sfera e pu`o quindi essere considerato come il potenziale della sfera. Per la definizione (1) otteniamo la seguente espressione della capacit`a di una sfera:
C =QT
V = QT· 4πε0 R
QT = 4πε0R. (4)
Se C = 1 F abbiamo:
R = C
4πε0 = 1 F
4π 8,854 · 10−12F/m = 8,988 · 109m.
Come si vede, si tratta di una sfera il cui raggio `e di tre ordini di grandezza maggiore di quello della Terra.
3.
Un condensatore piano `e costituito da due superfici conduttrici piane (dette armature) di area S e affacciate a una distanza x. Lo spazio fra le armature A e B `e per lo pi`u riempito da un dielettrico d.
A
d B
Se depositiamo una carica positiva +Q sull’armatura A, l’altra armatura, se collegata a terra, si carica per induzione assumendo una carica negativa −Q. I due conduttori non sono evidentemente isolati, per cui il potenziale a cui si trova ciascuno di essi dipende dalla presenza dell’altro con- duttore. Piuttosto che parlare di potenziale di ciascuna delle armature, `e conveniente parlare della differenza di potenziale ∆V fra di esse. La capacit`a di un condensatore `e infatti definita come il rapporto fra la carica presente su un’armatura e la differenza di potenziale fra le armature.
Il testo chiede di spiegare perch´e un condensatore piano “permette d’aumentare, per quanto pos- sibile, la capacit`a elettrica del sistema”. Non `e del tutto chiaro che cosa l’estensore abbia in mente.
Ma, in ogni caso, ci sembra pi`u opportuno discutere questo punto contestualmente al prossimo e a partire dall’espressione analitica della capacit`a di un condensatore piano.
4.
Per determinare il campo elettrico generato da una armatura, applichiamo il teorema di Gauss alla superficie cilindrica S (rappresentata di taglio nel disegno qui sotto).
+ -
+ -
+ -
+ -
E
S
Nel seguito, supporremo che la distanza fra le armatura sia molto minore delle dimensioni delle armature stesse. Ci`o comporta che, per i punti lontani dal bordo, gli effetti di bordo siano molto limitati, e il campo appaia come quello di una distribuzione piana di carica praticamente infinita.
Per motivi di simmetria, il campo deve avere due propriet`a importanti:
1. deve essere perpendicolare alla superficie dell’armatura;
2. deve avere la stessa intensit`a su entrambe le facce dell’armatura, a distanze uguali da essa, e deve essere rivolto in versi opposti.
Il flusso di tale campo attraverso il cilindro S `e fatto di due contributi: il flusso attraverso la super- ficie laterale e quello attraverso le due superfici di base. Per il punto 1. indicato sopra, il primo contributo `e nullo, perch´e il campo `e dappertutto tangente alla superficie laterale del cilindro. Per il punto 2., il flusso totale `e pari al doppio del flusso attraverso una delle due basi del cilindro. Tale flusso vale:
ΦS(~E) = 2 Φbase(~E) = 2~E ◦~A = 2 E · A (5) dove A `e l’area di base di S, ed `e anche l’area intercettata da S sull’armatura. Per il teorema di Gauss, il flusso totale attraverso S dev’essere uguale alla carica totale racchiusa da S divisa per la costante dielettrica del mezzo:
ΦS(~E) = QT ε =σ A
ε (6)
dove σ `e la densit`a superficiale di carica sull’armatura.
Confrontando la (5) e la (6) otteniamo l’espressione del campo elettrico di un’armatura:
E = σ
2 ε. (7)
Si tratta di un campo indipendente dalla distanza dalle armature. Nei limiti delle ipotesi da noi poste, e dunque per distanze dall’armatura piccole rispetto all’armatura stessa, e per punti non troppo vicini al bordo, il campo generato da un’armatura ha lo stesso valore in tutti i punti.
Sovrapponiamo ora i campi generati dalle due armature. All’esterno del condensatore i campi hanno verso opposto (ricordiamo che il campo dell’armatura positiva `e uscente da essa, mentre il campo dell’armatura negativa `e entrante in essa) ma uguale direzione e intensit`a: la loro somma `e pertanto uguale a zero. All’interno del condensatore, invece, i versi dei due campi sono concordi,
per cui i campi si sommano. Il campo totale `e perci`o confinato all’interno del condensatore e ha ivi intensit`a σ/ε uniforme.
Per determinare la differenza di potenziale fra le armature, ricordiamo la definizione:
∆VAB= − Z B
A ~E ◦ d~s (8)
che in questo caso, andando dall’armatura negativa a quella positiva (ricordiamo che x rappresenta la distanza fra le armature), diventa:
∆V = −(~E ◦ ∆~s) = −(−E x) = E x =σ x ε =Q x
ε S. (9)
La capacit`a del condensatore risulta pertanto:
C = Q
∆V =ε S
x . (10)
L’espressione (10) ci permette di capire quali fattori influenzano la capacit`a di un condensatore.
In primo luogo, la presenza di un dielettrico fra le armature aumenta il valore della capacit`a di un fattore pari alla costante dielettrica relativa εr del mezzo interposto. In effetti, il dielettrico fra le armature cariche risulta polarizzato, con un campo elettrico dovuto alla polarizzazione rivolto in verso opposto a quello delle armature. Ci`o va a diminuire il campo elettrico totale e quindi la differenza di potenziale fra le armature, permettendo di immagazzinare su di esse pi`u carica elettrica a parit`a di tensione.
In secondo luogo, la capacit`a risulta tanto maggiore quanto maggiore `e il rapporto S/x. Per avere una grande capacit`a, le armature devono essere le pi`u estese possibile e la distanza che le separa dev’essere la minima possibile. Ci`o viene realizzato, in pratica, con fogli conduttori molto sottili, separati da strati di dielettrico spessi poche molecole, e avvolti strettamente su se stessi.
5.
Molte applicazioni dei condensatori sono direttamente legate alla loro natura di serbatoi di carica elettrica. In alcune calcolatrici programmabili, ad esempio, un condensatore svolge il ruolo di
“generatore di tensione di emergenza”. Queste calcolatrici non hanno, ovviamente, memorie di massa simili a un disco fisso, cos`ı che i dati e i programmi dell’utente devono essere conservati nella RAM sotto forma di stati di tensione. La tensione necessaria a questo scopo `e fornita naturalmente dalle batterie che fanno funzionare la calcolatrice. Quando queste batterie sono esaurite e devono essere sostituite, per`o, occorre un “dispositivo tampone” che mantenga una tensione sufficiente per il tempo necessario. Questo dispositivo pu`o appunto essere costituito da un condensatore di grande capacit`a, in grado di mantenere una corretta differenza di potenziale per parecchi minuti a calcolatrice spenta.
6.
`E facile dimostrare che la connessione di pi`u condensatori gode delle seguenti propriet`a:
1. la connessione di pi`u condensatori in parallelo `e equivalente a un unico condensatore, la cui capacit`a sia uguale alla somma delle capacit`a dei condensatori;
2. la connessione di pi`u condensatori in serie `e equivalente a un unico condensatore, l’inverso della cui capacit`a sia uguale alla somma degli inversi delle capacit`a dei condensatori.
In base a ci`o, tracciamo gli schemi seguenti, dove tutti i condensatori hanno una capacit`a di 100 µF.
1 2
Questi schemi costituiscono la risposta al quesito proposto.
1. Nello schema 1 i due condensatori collegati in serie hanno una capacit`a equivalente di 50 µF, cos`ı che la loro connessione in parallelo con il terzo condensatore ha una capacit`a equivalente di 150 µF.
2. Nello schema 2 i tre condensatori collegati in parallelo hanno una capacit`a equivalente di 300 µF.
Problema
Per risolvere il problema proposto, determiniamo l’espressione che fornisce l’energia necessaria a caricare un condensatore fino a una tensione ∆V assegnata. Se sul condensatore `e presente una carica q e quindi una differenza di potenziale ∆V (q), per portare sull’armatura positiva un’ulteriore carica infinitesima dq occorre spendere un’energia dq ∆V . L’energia totale necessaria a caricare il condensatore `e pertanto:
E = Z Q
0 ∆V dq = Z Q
0
q
Cdq =1 2
Q2 C =1
2C ∆V2. (11)
Nel nostro caso tale energia vale E =1
2· 1 mF · (10 kV)2= 50 kJ. (12)
Quando il condensatore si scarica sul resistore, l’energia immagazzinata viene spesa per fare passare la corrente in quest’ultimo e viene quindi convertita in energia interna del resistore e dell’acqua per effetto Joule. Trascurando (come `e certamente legittimo) la capacit`a termica del resistore, l’energia termica trasferita all’acqua pu`o essere calcolata con l’espressione:
Eterm= Cterm∆T = c m ∆T. (13)
Per il principio di conservazione dell’energia la (12) e la (13) sono uguali. Ricordando che per l’acqua c = 4186 J/(K · kg) e d = 1000 kg/m3e risolvendo per ∆T otteniamo:
∆T =Eterm
c m = 50 kJ
4186 J/(K · kg) · 1 kg = 12 K = 12◦C. (14) La temperatura finale dell’acqua risulta di 32◦C. Facciamo notare che questo risultato non dipende affatto dal valore della resistenza. Se R raddoppiasse, la costante di tempo τ = RC del circuito di scarica raddoppierebbe anch’essa e la scarica si svolgerebbe pi`u lentamente, ma la temperatura finale dell’acqua avrebbe lo stesso valore.
