La circonferenza nel piano cartesiano

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

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Esercitazione su: la circonferenza nel piano cartesiano

Indice

1 Circonferenza 2

1.1 Applicazione di formule . . . 2

1.1.1 Determinazione di centro e raggio . . . 2

1.2 Applicazione di metodi standard . . . 2

1.2.1 Mutua posizione di retta e circonferenza [2] . . . 2

1.2.2 Tangenti condotte ad una circonferenza da un punto esterno . . . 2

1.3 Problemi di determinazione dell’equazione . . . 2

1.3.1 Diﬃcolt`a 1 . . . 3

1.3.2 Diﬃcolt`a 2 . . . 3

1.3.3 Diﬃcolt`a 3 . . . 3

1.4 Problemi geometrici vari . . . 3

1.4.1 Esercizio 1 [2] . . . 3

1.4.2 Esercizio 2 [3] . . . 3

1.5 Dimostrazioni . . . 3

1.5.1 Esercizio 1 . . . 3

Riferimenti bibliograﬁci 3

1 _{Per altri materiali didattici o per informazioni:}

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1 Circonferenza

1.1 Applicazione di formule

1.1.1 Determinazione di centro e raggio

Per le circonferenze elencate qui di seguito: determinare le coordinate del centro; determinare la misura del raggio; rappresentarle in un piano cartesiano.

𝑥2+ 𝑦2+ 6𝑥 − 6𝑦 = 0 (1)

1.2 Applicazione di metodi standard

1.2.1 Mutua posizione di retta e circonferenza [2]

Si considerino le circonferenze elencate di seguito e le rette scritte a ﬁanco. Per ciascuna di esse, si determini: se la retta `e esterna, tangente o secante; le coordinate degli eventuali punti di tangenza.

𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0; 𝑥 + 𝑦 = 1 (2) 𝑥2+ 𝑦2− 4𝑥 − 6𝑦 + 3 = 0; 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 (3) 𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑥 + 2𝑦 = 0; 𝑥 + 𝑦 + 14 = 0 (4) 1.2.2 Tangenti condotte ad una circonferenza da un punto esterno

Condurre le tangenti alle circonferenze elencate qui di seguito, dai punti ad esse esterni, indicati di ﬁanco [1] : 𝑥2+ 𝑦2− 6𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0; 𝑂(0, 0) (5) 𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑥 − 4 = 0; 𝑃 (6, 1) (6) 𝑥2+ 𝑦2− 4𝑥 − 4𝑦 − 17 = 0; 𝑃(7, −1 2 ) (7) 𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑥 + 2𝑦 − 18 = 0; 𝑃 (1, 5) (8)

1.3 Problemi di determinazione dell’equazione

Nota: i problemi di questa sezione possono essere anche svolti nelle seguenti varianti:

∙ Determinare il numero di soluzioni (nessuna, una, due, . . . , infinite), senza risolvere il problema. Nel caso siano possibili più soluzioni, illustrarne, graficamente, almeno un paio.

∙ Illustrare, per punti, la procedura di soluzione dell’esercizio, senza svolgere alcun calcolo.

Sono contrassegnati con un asterisco quei problemi che ammettono inﬁnite soluzioni e sono, pertanto, indeterminati.

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1.3.1 Diﬃcolt`a 1

Determinare l’equazione delle circonferenze 𝒞 che soddisfano le seguenti condizioni: ∙ Centro di coordinate 𝐶(−1, 3) e raggio 𝑟 = 2.

∙ Passante per i punti (2, 0); (0, 1); (0, −1).

∙ Passante per l’origine e con centro nel punto di intersezione di 𝑟 : 𝑥 + 𝑦 − 7 = 0 e 𝑠 : 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0. ∙ Il cui raggio misura 2√2 e concentrica alla circonferenza di equazione 𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0.}

1.3.2 Diﬃcolt`a 2

Determinare l’equazione delle circonferenze 𝒞 che soddisfano le seguenti condizioni: ∙ Centro sulla retta di equazione 𝑦 = 3𝑥 − 6 ed ha raggio 𝑟 = 4. (∗)

∙ Centro sulla retta di equazione 4𝑥 − 𝑦 + 3 = 0, ha raggio 𝑟 = 3 ed `e tangente all’asse delle ascisse. ∙ Passante per 𝐴(1, −1) e 𝐵(3, 5); il cui centro appartiene a 𝑟 : 2𝑦 − 𝑥 − 7 = 0. [2]

1.3.3 Diﬃcolt`a 3

Determinare l’equazione delle circonferenze 𝒞 che soddisfano le seguenti condizioni:

∙ E’ tangente all’asse y; il suo raggio ha misura 𝑟 = 2; stacca, sulla bisettrice del I quadrante, una corda di misura 2√2.

∙ Passa per 𝑃 (0, 2); `e tangente nell’origine a 𝑟 : 𝑦 + 2𝑥 = 0.

∙ Passa per l’origine; `e ivi tangente a 𝑟 : 2𝑥 − 3𝑦 = 0; ha centro su 𝑠 : 𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0.

1.4 Problemi geometrici vari

1.4.1 Esercizio 1 [2]

Si consideri la circonferenza 𝛾 di equazione (𝑥 − 2)2_{+ (𝑦 − 2)}2_{= 8. Determinare:}

∙ Le coordinate dei punti A e B di intersezione di 𝛾 con 𝑟 : 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0.

∙ Le coordinate dei vertici D ed E dei triangoli isosceli 𝐴𝐵𝐷 e 𝐴𝐵𝐸 inscritti in 𝛾. ∙ Il perimetro e l’area di 𝐴𝐵𝐷 e 𝐴𝐵𝐸.

1.4.2 Esercizio 2 [3]

Determinare la misura della corda della circonferenza (𝑥 − 2)2_{+ (𝑦 − 4)}2 _{= 10, sapendo che tale corda}

ha come punto medio 𝑀 (1, 2).

1.5 Dimostrazioni

1.5.1 Esercizio 1

Si dia la deﬁnizione geometrica di circonferenza. A partire da tale deﬁnizione, ricavare l’equazione canonica di una circonferenza nel piano cartesiano.

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Riferimenti bibliograﬁci

[1] Lineamenti di matematica

[2] Il paesaggio matematico verde. Vol. 3. Fico, M.; Cariani, G.; Mattina, S.; Goglio, S. [3] Itinerari nella matematica. Vol. 1, Zwirner, G.; Scaglianti, L. CEDAM, 1989.

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