Appendice-A
Modello utilizzato per il calcolo dei coefficienti di scambio termico e delle
perdite di carico nello scambiatore a recupero.
Disegno e nomenclatura
di P C do DsLa nomenclatura utilizzata nelle correlazioni è la seguente:
• m: portata in massa di fluido di lavoro; • M: portata in massa di fluido geotermico; • nt: numero di tubi dello scambiatore; • di: diametro interno del tubo;
• sp: spessore del tubo;
• do: diametro esterno del tubo; • At: sezione di passaggio del tubo
2
(
)
4
di
At
=
π
;• A: superficie totale di scambio;
• C: minima distanza tra due tubi adiacenti; • B: C + 2sp;
• P: passo;
• Ds: diametro del mantello dello scambiatore; • Deq: diametro equivalente dei tubi lato mantello; • Lb: spazio tra due buffles adiacenti;
• S: sezione minima di passaggio lato mantello; • Ms: portata per unità di sezione lato mantello; • f: fattore d’attrito di Fanning;
• h: coefficiente di scambio convettivo; • k: conducibilità termica;
• ρ: densità;
• µ: viscosità dinamica;
• cp: calore specifico a pressione costante; • hpb: coefficiente di pool boiling;
• Re: numero di Reynolds; • Pr: numero di Prandtl; • Nu: numero di Nusselt.
Calcolo del coefficiente di scambio lato tubi
Per il calcolo del coefficiente di scambio termico convettivo è stata utilizzata la correlazione di Dittus-Boelter, che mette così in relazione i numeri adimensionali di Reynolds, di Prandtl e di Nusselt:
0,8 0,4
0,023Re Pr
Nu
=
Per ricavare i numeri adimensionali è necessario conoscere le grandezze termofluidodinamiche.
La portata in massa che attraversa ogni tubo si trova dividendo la portata totale per il numero di tubi:
mt
m
nt
=
.La velocità del fluido nell’attraversamento del tubo si trova dividendo la portata per la sezione di passaggio e per la densità:
*
mt
v
At
ρ
=
.Una volta ricavata la velocità possiamo passare al calcolo del numero di Reynolds:
* *
Re
v di
ρ
µ
=
.Il numero di Prandtl, funzione solo delle proprietà termofisiche del fluido, si calcola come
*
Pr
cp
k
µ
=
.Noti i due numeri adimensionali si può calcolare il numero di Nusselt e attraverso la sua definizione, passare alla valutazione del coefficiente di scambio termico convettivo:
*
Nu k
h
di
Calcolo del coefficiente di scambio lato mantello
Per il calcolo del coefficiente di scambio termico convettivo lato mantello si è utilizzata il metodo proposto da Kern.
Il numero di Nusselt è fornito dalla relazione
Nu
=
0,36 * Re
0,55* Pr
1 3La correlazione proposta è valida solo se i numero adimensionali di Reynolds e di Nusselt, che hanno una certa componente di arbitrarietà, vengono calcolati come descritto in seguito.
Per prima cosa è necessario conoscere il numero di tubi presenti lungo un diametro
Ds
Nt
P
=
.Ora possiamo calcolare la sezione minima disponibile per il passaggio del fluido geotermico tra due buffles:
S
=
Nt C Lb
* *
.Nota la sezione di passaggio si può calcolare il rapporto tra la portata in massa e la sezione, andando a trovare una portata per unità di sezione.
Ms
M
S
=
Quest’ultima, avente le dimensioni del prodotto di una velocità per una densità, verrà utilizzata nel calcolo del numero di Reynolds, proprio in sostituzione del prodotto
v
ρ
.La lunghezza caratteristica del numero di Reynolds è rappresentata dal diametro equivalente, definito come
4 Area attravrsata
Perimetro bagnato
Deq
=
×
.Con riferimento al disegno riportato all’inizio dell’appendice, si vede come l’area attraversata sia rappresentata da un quadrato di lato pari al passo dei tubi, decurtata di un cerchio di diametro pari al diametro esterno.
Il perimetro bagnato è invece individuato semplicemente da una circonferenza di diametro coincidente con il diametro esterno.
Per il passo quadrato, quindi, il diametro equivalente è 2 2
4
4
do
P
Deq
do
π
π
⎛
⎞
×
⎜
−
⎟
⎝
⎠
=
.Il numero di Reynolds lato mantello è definito come
Re
Deq Ms
*
µ
=
.Il numero di Prandtl invece, essendo caratteristico del fluido, non modifica la propria forma, anche se ovviamente modificherà il proprio valore.
Applicando la correlazione si calcola il numero di Nusselt; il coefficiente di scambio termico convettivo è ricavato come
h
Nu k
*
Deq
=
.Calcolo delle perdite di pressione
Lato tubi
Le perdite di carico lato tubi sono valutate attraverso un bilancio di forze, ovvero uguagliando le forze di pressione a quelle di attrito:
2
*
* * *
4
di
p
π
τ π
di L
∆
=
, dove τ è lo sforzo di taglio che agisce sul fluido.Definendo il fattore di attrito di Fanning come il rapporto tra lo sforzo di taglio e l’energia cinetica per unità di volume
2
2
v
ρ
, l’espressione delle perdite di pressione diventa
2 2
4
2
2
v L
L
p
f
f v
di
di
ρ
ρ
∆ =
=
.Il valore del fattore di Fanning è calcolabile in funzione del numero di Reynolds e della rugosità del tubo.
In particolare, per tubi lisci i valori sono i seguenti: 1 4 1 5
16
flusso laminare
Re
0,079Re
Re 20000
0,046Re
Re 20000
f
f
f
− −⎧ =
⎪
⎪⎪
=
≤
⎨
⎪
=
>
⎪
⎪⎩
Per tubi scabri, invece, non è possibile fornire una correlazione ed il valore del fattore di attrito è fornito dal diagramma di Moody.
Lato mantello
Il metodo proposto da Kern prevede anche una correlazione per il calcolo delle perdite di carico:
(
)
4 *
*
*
1
2 *
f
Ms Ds
N
p
Deq
ρ
+
∆ =
, dove N rappresenta il numero dei buffles.Il valore del diametro del mantello può essere stimato dalla formula seguente
3
*
2
Ds
=
nt
P
. Tale approssimazione risulta tanto più corretta quanto maggiore è il numero dei tubi.Anche in questo caso il principale problema è il calcolo del fattore di attrito. La correlazione utilizzata nei calcoli è la seguente:
1 5
