I modelli di scambio termico in Fluent

33

Capitolo 4

I modelli di scambio

termico in Fluent

A secondo del tipo di problema, Fluent risolverà una formulazione dell’equazione dell’ energia contenente la modalità di trasmissione del calore specificata.

4.1

Conduzione

Il postulato di Fourier è utilizzato da Fluent ogniqualvolta si determina lo scambio ter-mico attraverso una superficie con spessore non nullo; in tal caso esso viene applicato sem-plicemente per determinare il flusso di calore ortogonale alla superficie ed è semplificata al caso monodimensionale. La conduzione attraverso un fluido è impostata di default in quan-to, localmente, se due particelle di fluido a temperatura diversa si urtano, istantaneamente hanno velocità relativa nulla, per cui sussiste scambio termico conduttivo. La conduzione at-traverso le pareti solide, invece, viene tenuta in conto, e quindi calcolata, solo se in prossimi-tà della stessa parete è attivato, attraverso l’impostazione delle condizioni al contorno lo scambio termico convettivo ed essa ha uno spessore non nullo.

4.2

Convezione

In Fluent la convezione è modellizzata come condizione al contorno, semplicemente impostando, nel pannello della termica relativo alla superficie in prossimità della quale si ha scambio termico, la convezione. In input occorre inserire il valore di h relativo al fluido e la temperatura della parete esterna, nel caso in cui essa abbia uno spessore non nullo. Se la pa-rete ha spessore nullo, la temperatura della sua superficie esterna coincide con quella della superficie interna.

34

4.3

Irraggiamento

Fluent offre la possibilità di utilizzare ben 5 modelli che sono in grado di includere gli effetti dell’ irraggiamento nelle simulazioni dello scambio termico:

• Discrete Transfer Radiation Model (DTRM); • P-1 Radiation Model;

• Rosseland Radiation Model;

• Surface-to-Surface (S2S) Radiation Model; • Discrete Ordinates (DO) Radiation Model.

4.3.1

DTRM

La principale assunzione del DTRM è che la radiazione emessa dagli elementi di super-ficie in un dato range di angoli solidi può essere approssimata con un singolo raggio. Ipotiz-zando anche che il coefficiente di scattering sia nullo e che l’indice di rifrazione sia unitario, l’equazione 3.45 diventa:



 +  =



(4.1)

dove a è il coefficiente di assorbimento del gas, I l’intensità di radiazione, T la temperatura locale e σ la costante di Stefan – Boltzmann. Il modello DTRM integra la precedente equazio-ne lungo una serie di raggi irradiati dalle superfici di contorno; se a è costante, I(s) può esse-re calcolata come:

 =



_{1 − }



 _{+ }





 (4.2)

dove I0 è l’intensità radiante all’inizio della traiettoria incrementale che è determinata dalle

condizioni al contorno. La sorgente di energia nel fluido dovuta alla radiazione è quindi cal-colata sommando gli integrali sulle traiettorie dei singoli raggi all’interno del volume di con-trollo. L’accuratezza del metodo è limitata dal numero di raggi tracciati e dalla griglia di cal-colo.

Il DTRM usa la tecnica del Ray Tracing per calcolare il trasferimento di energia termica tra superfici senza determinare esplicitamente il fattore di vista (frazione di energia irradiata da una superficie che incide su un’altra superficie).

35 Ray Tracing

Le traiettorie del raggio sono calcolate e memorizzate prima di fare calcoli sul flusso. Su ogni faccia irradiante vengono definiti un certo numero di raggi tra loro distanziati a valori discreti degli angoli azimutali e polari. Per coprire la semisfera irradiante θ e Φ sono fatti va-riare in maniera discreta rispettivamente fra 0 e π/2 e da 0 a 2π. Ogni raggio è quindi traccia-to e per determinare il volume di controllo che intercetta così come la sua lunghezza dentro ogni volume. Queste informazioni sono quindi scritte in un file ed utilizzate in seguito.

Clustering

Il DTRM è computazionalmente molto dispendioso quando ci sono molte superfici che irradiano e molti volumi che vengono attraversati. Per ridurre i costi computazionali, il nu-mero delle superfici irradianti e di quelle assorbenti è ridotto raggruppando (clustering) le celle di superficie (o di volume se stiamo raggruppando i volumi intercettati dai raggi) in grappoli, discretizzando ulteriormente il problema. Il flusso di calore irradiato incidente ed i volumi sorgenti sono calcolati per i grappoli e sono poi distribuiti sulle singole celle di super-ficie e di volume che formano i grappoli. Data la non linearità del problema (il flusso di calore è proporzionale alla potenza quarta della temperatura) le temperature delle superfici e dei volumi dei grappoli sono ottenute facendo una media pesata con superfici e volumi rispetti-vamente:





= 

∑ 





 

∑ 

 



 (4.3)





= 

∑ 





 

∑ 

_{ }



 (4.4)

dove Tsc e Tvc sono le temperature delle superfici e dei volumi dei grappoli, Af e Tf sono

l’area e la temperatura della faccia f, Vc e Tc sono il volume e la temperatura della cella c.

4.3.2

P-1 Radiation Model

Il P-1 è il caso più semplice del generico P-N Model, basato sull’espansione in serie or-togonale di armoniche sferiche dell’intensità dell’energia radiante. L’equazione aggiuntiva utilizzata dal solutore per la stima del flusso di calore radiante qr è:

36





= −

_{3 + }

1



 − 



∇"

(4.5)

dove a è il coefficiente di assorbimento, σs il coefficiente di scattering, C il coefficiente della

funzione di fase lineare anisotropa e G la radiazione incidente. Introducendo il parametro Γ, definito come:

# =

_{3 + }

1



 − 

 (4.6)

l’equazione 4.5 si semplifica in:





= −#∇"

(4.7)

L’equazione di trasporto per G è:

∇ ∙ #∇" − " + 4

_{= &}

' (4.8)

dove σ è la costante di Boltzmann e SG è una sorgente di radiazione definita dall’utente.

Fluent risolve questa equazione per calcolare l’intensità di radiazione locale quando è attiva-to il modello P-1.

4.3.3

Rosseland Radiation Model

Il Rosseland Radiation Model è valido quando il mezzo è opaco ed è raccomandato nei problemi in cui l’optical thickness è maggiore di tre. Differisce dal P-1 Radiation Model nel fatto che l’intensità della radiazione è quella di un corpo nero alla temperatura del gas. Così " = 4()_{ dalla quale si ricava che il flusso termico radiante è:}





= −16#(

)



+

∇

(4.9)

4.3.4

S2S Radiation Model

Il modello S2S può essere utilizzato quando si deve considerare lo scambio di radiazio-ni in un domiradiazio-nio chiuso formato da superfici grigie e diffondenti; l’energia scambiata tra due superfici dipende dalla loro dimensione, dalla distanza che le separa e dall’orientazione, pa-rametri che sono contenuti in una funzione geometrica chiamata fattore di vista. In questo modello vengono completamenti ignorati assorbimento, emissione e scattering della radia-zione e quindi per l’analisi si deve considerare solo l’irraggiamento superficie-superficie. Il flusso di energia che lascia una data superficie è composto da energia emessa direttamente

37 e da energia riflessa. Il flusso di energia riflessa dipende dal flusso di energia incidente della zona circostante, flusso che a sua volta si può pensare come uscente da tutte le altre super-fici. L’energia riflessa da una superficie k è:



out, k

= 2

3



3

+ 4

3



5n, k (4.10) dove qout, k è il flusso che lascia la superficie, εk l’emissività, σ la costante di Boltzmann, qin,k il

flusso di energia incidente nella superficie della zona circostante.

Il flusso di energia incidente può essere espresso in termini di flusso di energia che la-scia tutte le altre superfici con la seguente equazione:



3



in, k

= 8 

9



out, j

;

93 <

9=

(4.11)

dove Ak è l’area della superficie k e Fjk il fattore di vista tra la superficie k e quella j, calcolato

come :

;

39

=

_

1

3

> >

cosA

3

 cosA

9



B

) CD

E

39



3 CF



9 (4.12)

con δkj unitaria se dAj è visibile da dAk e nulla in caso contrario. Usando la relazione di

reci-procità del fattore di vista, cioè ₉;₉₃ = ₃;₃₉, si ha che:



in, k

= 8 ;

39



out, j <

9=

(4.12)

Sostituendo quest’ultima relazione nell’equazione 3.10 si ottiene:



out, k

= 2

3



3

+ 4

3

8 ;

39



out, j <

9=

(4.13)

Introducendo la radiosità di una superficie J, definita come la radiazione totale che ab-bandona una superficie per unità di area nell’unità di tempo, la relazione 4.13 assume la forma:

G

3

= H

3

+ 4

3

8 ;

39

G

9 <

9=

(4.14)

ossia in forma matriciale:

IG = H

(4.15)

38 Anche per il metodo S2S si procede al clustering per ridurre i tempi computazionali in modo del tutto analogo al DTRM.

4.3.5

DO Radiation Model

Il DO Radiation Model risolve l’equazione RTE (eq. 3.45) per un numero finito di angoli solidi discreti, a ciascuno dei quali viene associato un vettore direzione J fissato nel sistema di coordinate cartesiane assoluto (x,y,z). E’ possibile controllare l’accuratezza della discretiz-zazione angolare in analogia alla scelta del numero di raggi per il modello DTRM, ma diver-samente dal DTRM il modello DO non dispone della tecnologia del Ray Tracing. Il modello DO trasforma l’equazione 3.45 in un’equazione di trasporto in coordinate spaziali, risolvendo tante equazioni di trasporto quanti sono i vettori direzione sr_{, e considera la singola}

equa-zione come un’equaequa-zione di campo trattandola analogamente all’equaequa-zione di massa e di energia.

L’equazione RTE può essere riscritta come:

∇ ∙ BJ, JJ +  + 



BJ, J = (

)



+

4 > BJ, J



 K



L 

MJ ∙ J

K


_N

_(4.16)

Questo modello permette anche di studiare fenomeni non grigi usando un modello a banda grigio. Infatti l’equazione RTE può essere scritta anche per l’intensità monocromatica:

∇ ∙ 

_O

BJ, JJ + 

O

+ 





O

BJ, J = 

O

(

)



PO

+

_{4 > }



 O

BJ, J

K



L



MJ ∙ J

K


_N

_(4.17)

dove λ è la lunghezza d’onda, aλ il coefficiente di assorbimento monocromatico e Inλ

l’intensità monocromatica del corpo nero. Inoltre è stata fatta l’ipotesi che il coefficiente di scattering, la funzione di fase di scattering e l’indice di rifrazione n non dipendano dalla lun-ghezza d’onda.

Il modello DO non grigio divide lo spettro della radiazione in N bande di lunghezze d’onda, bande che non devono essere necessariamente contigue o di uguale estensione. L’equazione RTE, diventata un’equazione di trasporto per IλΔλ, viene quindi integrata per

ogni intervallo di lunghezza d’onda, assumendo grigio il comportamento in ogni banda Δλ; l’intensità totale I è calcolata come:

BJ, J = 8 

OF

BJ, J∆R

3

< 3=

39 Discretizzazione angolare e Pixellizzazione

Per quanto riguarda la discretizzazione del dominio computazionale, ogni ottante è di-viso in Nθ x NΦ (

θ

angolo polare,

Φ

angolo azimutale) angoli solidi di estensione

ω

_i, chiamati

angoli di controllo. In 2D sono considerati, a causa della simmetria, solo quattro ottanti, for-mando un totale di 4 NθNΦ direzioni, in 3D sono considerate 8 NθNΦ direzioni. Nel caso di

modello non grigio, il DO risolve 4 NθNΦ o 8 NθNΦ equazioni per ogni banda. Ogni superficie

del volume di controllo, individuata dalla discretizzazione angolare, viene suddivisa in Nθ_p x NΦ_p pixel (fig. 4.1).

Figura 4.1 – Discretizzazione e Pixellizzazione nel modello DO

Condizione al contorno di superficie opaca

Il modello DO permette di definire le superfici opache che sono all’interno del dominio (cioè con zone adiacenti di fluide da entrambi i lati) o esterne al dominio (cioè con zone a-diacenti di fluido solo da una parte).

La figura 4.2 mostra lo schema della radiazione incidente qin,a , sul lato a della

superfi-cie opaca; una parte dell’energia radiante è riflessa sia in maniera diffusa sia in maniera spe-culare per la parte a della superficie in funzione della diffuse fraction fd, specificata come

condizione al contorno; un’altra parte della radiazione incidente è assorbita ed una frazione di questa viene emessa in funzione dell’emissività della superficie e della diffuse fraction. Non vi è trasmissione della radiazione attraverso il mezzo opaco.

40

Figura 4.2 – Radiazione incidente, riflessa ed assorbita per una superficie opaca

Se qin è la parte di flusso termico radiante che incide sulla superficie, Fluent calcola le

seguenti quantità:

• emissione della superficie = ()2_S_{S ;}

• energia riflessa in maniera diffusa = T_U1 − 2_{S5P ;} • energia riflessa specularmente = 1 − T_{U5P ;} • assorbimento alle pareti = T_U2_{S5P ;}

dove n è l’indice di rifrazione del mezzo adiacente, fd la diffuse fraction, εw l’emissività della

parete, σ la costante di Boltzmann e Tw la temperatura della parete.

Per la radiazione diffusa grigia, il flusso termico radiante, qin, alla parete è:



5P

= >



5P

J ∙ (VJ
N

J∙PVJW (4.19)

Il flusso radiante netto che lascia la superficie è dato da:



XYZ

= 1 − 2

S



5P

+ (

)

2

S



S (4.20)

Questa equazione è anche valida per radiazione speculare, con emissività pari a zero.

Fluent, invece, utilizzerà un set speciali di equazioni per determinare le grandezze fisi-che su superfici opafisi-che diffondenti non grigie. Per questa situazione, il flusso termico radian-te, qin, alla parete è:

41



5P,O

= ∆R >



5P,O

J ∙ (VJ
N

J∙PVJW (4.21)

Il flusso radiante netto che lascia la superficie nella banda Δλ è dato da:



XYZ,O

= [1 − 2

S,O

\

5P

+ 2

S,O

]T ^0

` (R

)



S

a − T ^0

` (R





S

ab (

)



S (4.22) dove le funzioni f sono le funzioni di radiazione emessa dal corpo nero e derivano dalla inte-grazione numerica della legge di distribuzione di Planck.

Condizione al contorno di superficie semitrasparente

Fluent permette di specificare la parte interna ed esterna di una superficie semitra-sparente. Nel primo caso, la radiazione incidente può passare attraverso la parete ed essere trasmessa al mezzo adiacente (e possibilmente rifratta), può essere riflessa e assorbita attra-verso lo spessore della parete; trasmissione e riflessione possono essere diffuse e/o specula-ri. E’ possibile specificare la frazione diffusa per tutte le radiazioni trasmesse e riflesse, il re-sto è trattato specularmente. Nel secondo caso ci sono due possibili fonti di irraggiamento: fascio radiante proveniente dall’esterno del dominio computazionale e radiazione incidente dovuto alle celle adiacenti della zona fluida o solida.

Per radiazioni non grigie, questa condizione al contorno è applicata per ciascuna ban-da base in cui si è diviso lo spettro della radiazione incidente e l’energia radiante è trasmes-sa, riflessa e rifratta come nel caso di radiazione grigia; occorre precisare che non vi è intera-zione tra le diverse bande ossia che non si ha trasmissione, riflessione o rifraintera-zione di energia radiante tra una banda e l’altra.

Di default le equazioni del DO sono risolte in tutte le zone fluide ma in nessuna zona solida; infatti, se la zona adiacente alla superficie a cui si applica la condizione al contorno è solida, occorre definire questa come partecipante alla radiazione.

In figura 4.3 è mostrato il comportamento di una parete interna semitrasparente. Il flusso termico radiante, qin, attraversa la parete se e solo se le celle solide o fluide,

apparte-nenti alla zona attigua alla superficie considerata, partecipano alla trasmissione; l’energia radiante può essere trasmessa specularmene e/o in maniera diffusa e può essere riflessa alla parete.

42

Figura 4.3 – Radiazione incidente, riflessa, assorbita e rifratta per una superficie semitrasparente interna

Se la parete semitrasparente ha una spessore, allora lo spessore ed il coefficiente di assorbimento determinano l’assorbimento della parete sottile. Se uno di questi è impostato su di un valore nullo, allora la parete non sarà soggetta ad assorbimento. Fluent non consi-dera l’emissione da una parete semitrasparente eccetto nel caso in cui è stata definita una condizione al contorno termica ben precisa.

In figura 4.4 è mostrato il caso generale di superficie semitrasparente esterna con spessore della parete uguale a zero e coefficiente di assorbimento, assegnato come proprie-tà del materiale diverso da zero, in cui è applicato un fascio di radiazioni qirrad. Il flusso

ra-diante, attraversando la parete semitrasparente, passa dall’esterno del dominio computa-zionale alla zona fluida adiacente o nel mezzo solido a. La radiazione trasmessa può essere rifratta e dispersa, specularmente e/o in maniera diffusa, in funzione dell’indice di rifrazione e di fd che sono stati impostati come input nelle condizioni al contorno; se l’indice di

43

Figura 4.4 – Radiazione incidente, riflessa, assorbita e rifratta per una superficie semitrasparente esterna

Il fascio radiante è definito dal modulo, dalla direzione e dallo spessore del fascio. Il modulo deve essere assegnato come flusso termico radiante incidente (W/m2) mentre lo spessore del fascio deve essere specificato come l’angolo solido dentro cui è distribuito l’irraggiamento (fig. 4.5).

44

4.3.6

Scelta del modello di irraggiamento

Quando si sceglie il modello di irraggiamento da utilizzare per la risoluzione di un de-terminato problema bisogna considerare i seguenti fattori:

• Optical thickness: definita come aL, dove L è una lunghezza caratteristica del dominio computazionale (ad esempio nel caso di una camera di combustione L è il suo diametro). Se aL>>1, le migliori alternative sono il P-1 ed il Rosseland; il P-1 è usato per optical thi-ckness >1, invece per optical thithi-ckness >3 il Rosseland risulta meno dispendioso e più ef-ficiente. Per optical thickness < 1 solo il DO ed il DTRM sono appropriati ma entrambi ri-sultano dispendiosi per cui si consiglia di usare il P-1 ed il Rosseland tutte le volte che si può.

• Scattering ed emissività: il P-1, il Rosseland ed il DO tengono in conto lo scattering; il DTRM lo trascura ed il Rosseland è insensibile all’emissività delle pareti.

• Effetti di particelle: solo il P-1 ed il DO tengono conto di effetti cambiamento di radiazio-ne tra gas e particelle.

• Pareti semitrasparenti: solo il DO permette di modellizzare l’effetto di pareti semitraspa-renti di vario tipo (ad esempio il vetro è un materiale semitrasparente).

• Fonti di calore localizzate: in problemi di fonti localizzate di calore il P-1 sovrastima i flussi radiativi, il DO è probabilmente il migliore in questi casi, ma anche il DTRM con un numero sufficiente di raggi è accettabile.

• Trasferimento di calore per irraggiamento in dominio chiuso in un mezzo non parteci-pante: il S2S è il più indicato per questo tipo di problema.

Risulta evidente come il DO sia l’ unico modello che tenga conto delle caratteristiche non grigie delle proprietà radiative dei materiali e che permetta di gestire superfici semitra-sparenti, quali i vetri dei finestrini laterali, del parabrezza e del lunotto di un’autovettura; ne segue quindi che il DO è il solo modello in grado di modellizzare l’effetto serra all’interno dell’abitacolo. Pertanto la simulazione CFD delle diverse prove sarà eseguita utilizzando que-sto modello di irraggiamento.

45

4.4

Modelli di irraggiamento solare

Fluent dispone anche di due modelli di carico solare che permettono di includere gli effetti della radiazione solare all’interno del dominio di calcolo:

• Solar Ray Tracing; • DO Irradiation.

Il modello Solar Ray Tracing è estremamente efficiente, infatti gli effetti del carico sola-re sono trattati come fonti di calosola-re nell’equazione dell’energia; nel caso in cui si voglia uti-lizzare il modello DO per calcolare gli effetti della radiazione all’interno del dominio, è possi-bile ottenere i parametri che caratterizzano il fascio radiante esterno direttamente dal mo-dello DO Irradiation. I modelli di carico solare sono applicabili soltanto ad un solutore 3D e comprendono un’utility, il solar calculator, che può essere utilizzata per costruire la posizio-ne del sole conoscendo l’ora, il giorno e la posizioposizio-ne geografica (fig. 4.6)

Figura 4.6 – Solar calculator

4.4.1

Solar Ray Tracing

Questo algoritmo può essere utilizzato per predire la fonte di energia luminosa diretta come risultato della radiazione solare incidente; per far questo un fascio viene modellato uti-lizzando il vettore posizione del sole e i parametri di illuminazione, lo applica a tutte le zone del contorno definite wall o inlet/outlet, esegue una shading analisys, superficie per superfi-cie, con lo scopo di determinare zone d’ombra e calcola il flusso di calore nelle facce di con-torno. Questo flusso è considerato una fonte di calore aggiuntiva nell’equazione dell’energia:

46 fisicamente, è come se le sorgenti fossero applicate direttamente alle celle computazionali che delimitano ogni superficie. Dunque Il Solar Ray Tracing non è un modello di irraggia-mento.

Per stimare gli effetti della radiazione incidente diretta viene adottato un modello spettrale a due bande che considera diverse le proprietà dei materiali per le bande del visibi-le e dell’infrarosso; per la radiazione diffusa è utilizzato un modello spettravisibi-le a singola ban-da. I materiali opachi sono caratterizzati in termini di due bande di assorbimento, i materiali semi-trasparenti richiedono la specificazione dell’assorbimento e della trasmissività per un raggio incidente normale (Fluent interpola e ricalcala questi valori per un dato angolo di inci-denza).

L’algoritmo in esame tiene anche in considerazione lo scattering interno: definito come la quantità di energia derivante dalla somma di parte della componente trasmessa dal-la radiazione sodal-lare incidente diffusa e di una frazione del flusso di calore radiato diretto ri-flesso. Lo scattering può essere responsabile dell’inclusione o dell’esclusione di un gran nu-mero di radiazioni dal dominio computazionale.

4.4.2

DO Irradiation

Il modello solare DO Irradiation permette di applicare il carico solare direttamente al modello d’irraggiamento DO. Diversamente dal Solar Ray Tracing, questo modello non calco-la flussi di calore ma applica il flusso radiante direttamente alle superfici semitrasparenti. Il trasferimento di calore per irraggiamento deriva dalla soluzione dell’equazione di trasferi-mento del calore radiante propria del DO.