Capitolo 3 Modellizzazione fluidodinamica: analisi al COMSOL

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Capitolo 3

Modellizzazione fluidodinamica: analisi

al COMSOL

3.1 Introduzione alla simulazione: COMSOL

In questo capitolo verranno descritte le analisi di simulazione svolte allo scopo di validare la geometria della cella di coltura e la conseguente possibilità di ricreare un gradiente in essa. Tale analisi si rende necessaria in quella fase del lavoro precedente la realizzazione vera e propria della cella e le successive fasi di test.

Per la simulazione del sistema fluidodinamico sono state considerate sia le leggi alla base della fluidodinamica, cioè le equazioni del moto dei fluidi di

Navier-Stokes che la legge di diffusività di Fick, allo scopo di ricavare

l’andamento teorico dei fluidi all’interno della cella di coltura.

Per effettuare la simulazione possono essere utilizzati diversi software di ultima generazione: la nuova serie dei CAD in commercio presenta delle ottime caratteristiche di indagine del sistema in esame. Questi software sono in grado di simulare l’andamento dei flussi in un sistema fluidodinamico con una particolare geometria modellando sia l’andamento delle velocità del fluido che il profilo delle concentrazioni. La scelta di

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Capitolo 3___________________Modellizzazione fluidodinamica: analisi al COMSOL

utilizzare il software COMSOL Multiphysics® [23], è stata effettuata perché questo permette di analizzare il sistema su più fronti. Inoltre, grazie alla sezione CAD del programma è possibile disegnare la geometria in esame, andando ad impostare le varie specifiche, quali grandezza e lunghezza dei canali, dimensioni della regione per la coltura cellulare, raggi di curvatura etc., permettendo quindi di effettuare un’analisi del sistema con la topologia scelta.

Gli aspetti principali di questo software sono: • utilizzo di modi di applicazione predefiniti; • definizione di problemi multifisici;

• possibilità di modellare il sistema utilizzando le proprietà fisiche che dipendono dalla soluzione del problema stesso;

• possibilità di convertire i risultati ottenuti in diversi formati; • creazione di geometrie in più dimensioni;

• riduzione del problema tridimensionale in più spazi bidimensionali. Disegnata la geometria del sistema, è possibile inserire le caratteristiche peculiari del problema. Per la simulazione del sistema fluidodinamico sono stati utilizzati due moduli del programma:

• Fluid Dynamics Application Mode;

• Convection and Diffusion Application Mode.

Il primo modulo permette di determinare il tipo di moto presente all’interno della geometria e di analizzare il profilo delle velocità mediante l’utilizzo delle equazioni di Navier-Stokes per fluidi isotermici incomprimibili; il secondo modulo invece consente di determinare il profilo del gradiente di concentrazione di una sostanza chimica, nota la sua costante di diffusione

D, attraverso l’applicazione della legge di Fick.

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Per ottenere la simulazione, il programma effettua una mesh per suddividere la geometria del sistema in componenti infinitesimali.

3.2 Creazione della geometria

Per la generazione della geometria del modello da analizzare il software permette sia di importare la geometria precedentemente creata con un software CAD, che di disegnare direttamente il modello geometrico in ambiente COMSOL utilizzando la sezione Geometry Modeling (fig. 3.1); in questo lavoro di tesi la geometria è stata creata direttamente in ambiente COMSOL.

Attraverso l’interfaccia grafica si possono creare un’ampia gamma di forme e linee su piani di lavoro mono-, bi- e tri-dimensionali. Per creare la geometria tridimensionale sono state disegnate tutte le forme necessarie su un piano di lavoro bi-dimensionale ed, in seguito, è stata effettuata una

mesh di estrusione in un piano di lavoro tri-dimensionale. Il programma

permette di effettuare un’estrusione delle forme su vari livelli di altezza.

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Figura 3.1 Geometry Modeling

Per la creazione della geometria bi-dimensionale sono state utilizzate le seguenti misure progettuali:

• larghezza di 1.6 mm per i microcanali;

• larghezza di 14.6 mm e lunghezza di 20 mm per la zona di coltura cellulare ovvero la regione nella quale si dovrebbe sviluppare il gradiente di concentrazione.

Dopo la creazione della geometria in un piano di lavoro 2-D è stata ottenuta la geometria finale effettuando una mesh di estrusione di 250 μm di spessore (fig. 3.2, 3.3), valore dato dal range di microfabbricazione.

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Figura 3.2 Mesh di estrusione

Figura 3.3 Struttura 3-D

Durante l’elaborazione fluidodinamica tridimensionale delle geometrie è stato riscontrato un problema nella simulazione: il sistema generato presentava infatti un numero così elevato di gradi di libertà da analizzare, che il computer non riusciva ad elaborarli (fig. 3.4). Lo stesso problema si è presentato anche andando a ridurre il numero di elementi finiti in cui veniva scomposta la geometria del sistema.

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Figura 3.4 Limiti dell’elaborazione

Poiché il sistema risulta caratterizzato dall’essere principalmente sviluppato in due dimensioni, con un’altezza lungo l’asse z infinitesima rispetto alle dimensioni caratteristiche sugli altri assi, si è pensato, allora, di effettuare lo studio fluidodinamico riducendo il problema ad un sistema bi-dimensionale (fig. 3.5).

Figura 3.5 Mesh 2-D

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3.3 Analisi fluidodinamica

Una volta disegnata la geometria, è stato possibile effettuare lo studio fluidodinamico del sistema per caratterizzare il tipo di moto dei fluidi presenti.

Per effettuare l’analisi fluidodinamica del sistema è stato selezionato il modulo Fluid Dynamics Application Mode: questa modalità permette di studiare ogni infinitesimo spaziale generato dalla mesh attraverso le

equazioni di Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.

Le equazioni a cui si fa riferimento per uno studio allo stato stazionario del sistema sono: - u ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ sec m

: campo di velocità con le sue componenti spaziali; - p

[

Pa

]

: pressione; - T

[

K

]

: temperatura; - ρ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 3 m Kg

: densità del fluido;

- η

[

Pa⋅sec

]

: viscosità dinamica del fluido; - F ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 3 m N

: campo di forza volumetrico.

Per procedere con l’analisi sono state impostate delle costanti quali la temperatura e la velocità del fluido in ingresso. Poiché il sistema è progettato per un utilizzo con colture cellulari, la temperatura impostata è stata di 37 °C pari a circa 310 K. La velocità in ingresso può essere ottenuta conoscendo la portata della pompa peristaltica; considerando una portata

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pari a 170 μl/min e ipotizzando una sezione dei microcanali costante e con

dimensioni 1.6x0.25 mm si ottiene una velocità del fluido pari a 7·10P

-3

P m/sec (fig. 3.6).

Figura 3.6 Costanti implementate per l’analisi

I valori di ρ e di η vengono calcolati dal programma stesso in funzione della temperatura: 6 . 1014 333 , 22 10 1327 . 9 10 6538 . 1 10 1538 . 1 _⋅ 7 _⋅ 4 ₊ _⋅ 4 _⋅ 3 ₋ _⋅ 2 _⋅ 2 ₊ _⋅ ₋ − = − _T − _T − _T _T ρ 67 . 4 054 . 0 10 36 . 2 10 57 . 4 10 34 . 3 _⋅ 10 _⋅ 4 ₋ _⋅ 7 _⋅ 3 ₊ _⋅ 4 _⋅ 2 ₋ _⋅ ₊ = − _T − _T − _T _T η

Per procedere con l’analisi è necessario inoltre impostare i parametri per i

sottodomini e le condizioni al contorno del sistema (fig. 3.7, 3.8).

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Figura 3.7 Sottodomini per l’analisi fluidodinamica

Figura 3.8 Condizioni al contorno per l’analisi fluidodinamica

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Per le condizioni al contorno si può scegliere tra diverse caratteristiche: • velocità entrante/uscente; • flusso uscente/pressione; • scorrimento/simmetria; • scorrimento assente; • flusso normale/pressione; • condizione neutra.

3.4 Analisi delle concentrazioni

Per effettuare un’analisi della variazione delle concentrazioni di una specie chimica in soluzione nel fluido è stato utilizzato il modulo Convection and

Diffusion Application Mode. Questo modulo permette di effettuare

un’analisi sugli elementi infinitesimi del problema utilizzando le equazioni del trasporto di massa in presenza di flusso laminare.

L’equazione a cui si fa riferimento per uno studio allo stazionario del sistema è: - c ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 3 m moli : concentrazione; - D ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ sec 2 m

: coefficiente di diffusione del componente chimico;

- R ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ sec 3 m moli : fattore di reazione; - u ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ sec m

: campo di velocità con le sue componenti spaziali.

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Anche in questo caso è stato necessario impostare i parametri per i

sottodomini e le condizioni al contorno del sistema (fig. 3.9, 3.10):

Figura 3.9 Sottodomini per l’analisi delle concentrazioni

Figura 3.10 Condizioni al contorno per l’analisi delle concentrazioni

All’interno della sezione dedicata ai sottodomini è necessario impostare il coefficiente di diffusione D della sostanza in esame; questo è un parametro che caratterizza la velocità di diffusione della molecola analizzata. Le simulazioni sono state effettuate per diversi valori del coefficiente di diffusione.

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Per quanto riguarda il parametro relativo al fattore di reazione R, questo può essere considerato nullo perchè la quantità di nutrienti e di farmaco in soluzione assorbita dalle cellule è molto minore rispetto alla quantità fornita.

Per quanto riguarda invece la sezione per le condizioni al contorno, in questo caso si possono scegliere le seguenti opzioni:

• concentrazione; • flusso;

• isolamento/simmetria; • flusso convettivo.

All’interno di questa sezione si possono impostare anche le concentrazioni dei due flussi in ingresso al sistema.

3.5 Risultati

I risultati ottenuti dall’analisi fluidodinamica hanno convalidato l’ipotesi di un flusso laminare all’interno dei canali. Graficando infatti il numero di Reynolds (fig. 3.11) si può vedere che all’interno del sistema non sono presenti zone caratterizzate da un suo elevato valore; in tutto il sistema quindi il flusso presente è di tipo laminare e non turbolento, caratteristica questa necessaria per il corretto miscelamento dei flussi all’interno dei microcanali e la creazione di un gradiente di concentrazione in direzione perpendicolare al flusso all’interno della camera di coltura.

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Figura 3.11 Grafico del Numero di Reynolds all’interno del sistema

Il modulo Fluid Dynamics Application Mode permette di determinare il campo delle velocità u con le sue componenti spaziale; questo viene utilizzato come input nel modulo Convection and Diffusion Application

Mode per la determinazione del profilo di concentrazione.

Definito il coefficiente di diffusione e le concentrazioni ai due ingressi, col secondo modulo si vuole determinare:

• la diffusione della specie chimica all’interno dei microcanali; • il profilo di concentrazione all’ingresso della cella di trattamento; • il profilo di concentrazione a 1 cm dall’inizio della camera di coltura. Le simulazioni che seguono sono state effettuate con un coefficiente di diffusione ₌₁_⋅₁₀−6

D e con concentrazioni in ingresso CB1B = 0 M e CB2B = 1 mM.

Da una prima analisi dell’intero sistema (fig. 3.12) si può notare che all’interno dei microcanali avviene un trasporto della specie chimica dalle zone a maggior concentrazione verso quelle a concentrazioni minori.

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Figura 3.12 Simulazione del trasporto nel sistema

All’interno dei microcanali il miscelamento dei due flussi risulta essere completo (fig. 3.13) tale che, ad ogni livello di miscelazione si ottengono sempre più valori intermedi fino all’immissione di sei diversi flussi con concentrazioni gradualmente crescenti nella zona di trattamento. Come si può vedere dalla figura, in questa simulazione, caratterizzata da una costante di diffusione ₌₁_⋅₁₀−6

D , il miscelamento completo dei due flussi avviene in prossimità della giunzione; in simulazioni caratterizzate da costanti di diffusione più basse il miscelamento avviene invece sfruttando appieno la lunghezza dei canali.

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Figura 3.13 Particolare: miscelamento all’interno dei canali

Analizzando la zona deputata al trattamento cellulare (fig. 3.14) si nota un corretto miscelamento dei flussi con la formazione di un gradiente di concentrazione.

Figura 3.14 Particolare: miscelamento nella camera di coltura cellulare

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Per analizzare il profilo di concentrazione, sia all’ingresso della zona di trattamento che a 1 cm da questo, è possibile sfruttare il comando Draw

Line for Cross-Section Line Plot che permette di graficare l’andamento

della concentrazione lungo una linea desiderata.

L’andamento della concentrazione all’ingresso della cella di coltura è stato riportato in figura 3.15. A questo livello, il gradiente non risulta essere ben definito; infatti la sostanza in esame non ha avuto ancora un tempo sufficiente per diffondere adeguatamente e il profilo di concentrazione non presenta un andamento lineare.

Figura 3.15 Profilo di concentrazione in ingresso alla cella di coltura

Analizzando il profilo di concentrazione a 1 cm dall’ingresso (fig. 3.16) si può vedere come questo invece risulta essere ben delineato, con un andamento lineare soprattutto nella regione centrale della cella di coltura.

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Figura 3.16 Profilo di concentrazione a 1 cm dall’ingresso della cella di coltura

Questo profilo di concentrazione genera un gradiente di concentrazione riportato in figura 3.17.

Figura 3.17 Gradiente di concentrazione

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3.6 Analisi al variare dei parametri

I risultati ottenuti dalla simulazione dipendono dal valore dei parametri impostati e in particolar modo dalla velocità in ingresso, dalle concentrazioni dei due flussi che alimentano il sistema e dalla costante di diffusione. Mantenendo costanti i primi due parametri si può analizzare l’effetto della variazione della costante di diffusione sul miscelamento dei flussi e quindi sul funzionamento del dispositivo.

Un aumento della costante di diffusione provoca un miscelamento dei flussi più rapido sia a livello dei canali che nella zona di coltura. Aumentando la costante di diffusione di un ordine di grandezza, e quindi

con 5

10

1_⋅ −

=

D , si raggiunge un equilibrio delle concentrazioni nella parte iniziale della cella di coltura, senza l’instaurarsi del gradiente desiderato (fig. 3.18).

Figura 3.18 Simulazione del sistema con D=1·10P

-5

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Al limite per velocità di diffusione ancora più elevate si può raggiungere un equilibrio delle concentrazioni all’interno dei canali stessi senza la creazione di sei flussi a diversa concentrazione (fig. 3.19).

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Per evitare questo problema è possibile aumentare la portata della pompa peristaltica in modo da ridurre il tempo di miscelamento.

In seguito a una diminuzione della costante di diffusione D invece il processo di miscelazione dei fluidi avviene più lentamente (fig. 3.20).

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Analizzando in particolare i microcanali (fig. 3.21) si può notare come in questo caso il miscelamento avvenga più lentamente e richieda uno spazio maggiore per essere completato.

Figura 3.21 Particolare: miscelamento all’interno dei canali con D=1·10P

-7

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In questo caso il problema che si può verificare è quello di una non corretta miscelazione tra i flussi a diversa concentrazione all’interno del canale; ovviamente questo fenomeno è tanto maggiore quanto minore è la costante di diffusione D. Per evitarlo è possibile diminuire la velocità in ingresso dei flussi e quindi diminuire la portata della pompa peristaltica dando così più tempo alla sostanza di diffondere e miscelarsi completamente.