a) Si determinino i livelli energetici e la relativa degenerazione dopo aver riscritto l’hamiltoniana in termini degli operatori x m i x y m i y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a x p a y p 2 2m 2 2m

Istituzioni di Fisica Teorica - Scritto 30/01/2008

1) Un oscillatore armonico piano ha come hamiltoniana

( ^{2x 2y}) ²( ^{2 2})

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

H p p m x y

2m 2

= + + +

a) Si determinino i livelli energetici e la relativa degenerazione dopo aver riscritto l’hamiltoniana in termini degli operatori

x m i x y m i y

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

a x p a y p

2 2m 2 2m

= + = +

e dei loro hermitiani coniugati.

b) Scrivere l’operatore momento angolare ˆL_z in termini degli operatori ˆa_x e ˆa_y e dei loro hermitiani coniugati. Determinare inoltre la rappresentazione matriciale di ˆL_z relativa all’autospazio corrispondente al secondo stato eccitato.

c) Nell’ipotesi che l’oscillatore sia in un autostato dell’energia corrispondente al secondo stato eccitato, determinare i possibili risultati di una misura di ^ˆL_z.

2) Una particella di spin 1/ 2 (il cui operatore di spin è S^ˆ=S^ˆ_{x x}eˆ +S^ˆ_{y y}eˆ +S^ˆ_{z z}eˆ ) è posta in un campo magnetico B uniforme e parallelo all’asse z in modo che l’Hamiltoniana è ˆH= BS^ˆ_z. Si considerino gli operatori dipendenti dal tempo:

( ) ^{iHtˆ iHtˆ}

j ˆj

ˆs t =e S e j x, y,z=

a) Utilizzando le relazioni di commutazione degli operatori ˆS_j, scrivere un sistema di equazioni differenziali per gli operatori ˆs t_{j( )} (derivandoli opportunamente rispetto al tempo).

b) Dopo aver indicato la condizione iniziale ˆs 0_{j( )}=…, risolvere il precedente sistema di equazioni per i tre operatori ˆs t_{j( )} con tale condizione iniziale.

c) Si supponga che nello stato _{( )}0 al tempo t 0= il valor medio dello spin sia ^{ˆ ˆ}_x

=2

S e .

Utilizzando il risultato del punto b) determinare il valor medio di ^ˆS a tutti i tempi.

2) Un contenitore cilindrico di altezza L e sezione S, inizialmente isolato, contiene N molecole di massa m di un gas perfetto classico monoatomico alla temperatura T. A partire da un certo istante, il cilindro viene posto a contatto termico con l’ambiente esterno alla temperatura 2T, cosìcchè il gas raggiunge un nuovo stato di equilibrio. Trascurando la capacità termica del contenitore, determinare:

a) La densità iniziale _{i( )}z e la densità finale _{f( )}z del gas (densità = numero di molecole per unità di volume), dove z indica la quota a partire dalla base del cilindro;

b) Il calore Q ceduto dall’ambiente al gas;

c) L’aumento di entropia dell’universo.

Dati: L,S,N,T,m,g (accelerazione di gravità)