ˆ ˆ ˆ ˆ S d S = = = ( 360 n n ( − n ° 2) − 3):2 ⋅ 180 °= = 4(4 (4 − − 2) 3):2 ⋅ 180 = °= 2 360 ° A tot E I + D = B + C = 180 °

(1)

I QUADRILATERI

Il quadrilatero è un poligono formato da quattro angoli e da quattro lati.

Al contrario del triangolo è una figura deformabile, infatti i quadrilateri possono essere intercambiabili fra loro variandone le proprietà fondamentali.

Il quadrilatero è caratterizzato dalle seguenti PROPRIETA’:

1. TEOREMA DELLA FORMA -il quadrilatero è una figura deformabile, aumentando la simmetria interna si ottengono tutti i quadrilateri conosciuti;

2. TEOREMA DELLE DIAGONALI -il quadrilatero ha due diagonali;

3. TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI E ESTERNI - la somma degli angoli interni di un quadrilatero è uguale a quella degli angoli esterni, cioè uguale a un angolo giro, ossia 360°;

1.

IL

T

RAPEZIO

E’ un quadrilatero con 2 lati paralleli.

Le caratteristiche sono: AH = proiezione del lato obliquo

• 2 lati paralleli differenti tra loro (sono detti BASI e si distinguono in maggiore e minore)

• 2 lati non paralleli differenti tra loro (sono detti LATI OBLIQUI)

• 2 diagonali differenti tra loro e non perpendicolari

• 4 angoli differenti tra loro

TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI TRAPEZI: i due angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono supplementari.

A + ˆ ˆ D = ˆ B + ˆ C = 180°

Classificazione: la maggiore simmetria crea una classificazione:

trapezio RETTANGOLO trapezio ISOSCELE

- un lato è perpendicolare alle basi

(AD) - i lati obliqui sono congruenti (AC = BD) - le diagonali sono congruenti (AD = BC)

- gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti (A = B) e (D = C)

- le proiezioni dei lati obliqui sono congruenti (AH=KB)

S

_I

= (n − 2) ⋅180° = (4 − 2) ⋅180° = 360°

d

_tot

= n(n − 3) : 2 = 4(4 − 3) : 2 = 2

S

_E

= 360°

(2)

Le formule di calcolo sono particolari per il TRAPEZIO RETTANGOLO:

P = B + b + l + h

b = B − AH

B = b + AH

AH = B − b

Le formule di calcolo sono particolari per il TRAPEZIO ISOSCELE:

P = B + b + 2l

l = P − B + b ( )

2 b = B − 2AH

B = b + 2AH

AH = B − b 2

PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI TRAPEZI

ES1 : Un trapezio isoscele ha il perimetro di 72 cm e il lati obliqui che misurano ciascuno 12 cm. Sapendo che la base maggiore è 5

3 della minore, calcola la misura delle proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore.

DISEGNO DATI RISOLVO

PABCD = 72 cm AB + CD = P – 2AD = 72 – (12 + 12) = 48 cm

AD = BC = 12 cm n° seg = 5 + 3 = 8 seg AB = 5

3

CD SU = (AB + CD) : n° seg = 48 : 8 = 6 cm AB = SU • 5 = 6 • 5 = 30 cm

CD = SU • 3 = 6 • 3 = 18 cm INC AH = B − b

2 =30 −18

2 =^{6 cm}

? AH = KB

ES2 : Un trapezio rettangolo ha il perimetro di 50 cm e il lato obliquo che misura 20 cm. Sapendo che la base maggiore supera la minore di 8 cm e che una è 1

3 dell’altra, calcola l’altezza del trapezio.

P_ABCD= 50 cm n° seg = 3 – 1 = 2 seg BC = 20 cm SU = (AB – CD) : n° seg = 8 : 2 = 4 cm

AB – CD = 8 cm AB = SU • 3 = 4 • 3 = 12 cm CD = 1

3

AB CD = SU • 1 = 4 • 1 = 4 cm

INC AD = P – (AB + BC + CD) = 50 – (12 + 8 + 4) = 14 cm

? AD

PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI TRAPEZI

ES3: Calcola la misura degli angoli di un trapezio isoscele sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono uno i 5

3 dell’altro.

DISEGNO DATI RISOLVO A + D= B + C = 180° A + D = 180°

n° seg = 5 + 3 = 8 seg D = 5

3

A SU = (A + D) : n° seg = 180 : 8 = 22° 30’

A = SU • 5 = 22° 30’ • 5 = 112° 30’

INC D = SU • 3 = 22° 30’ • 3 = 67° 30’

? A; D

(3)

2.

IL

P

ARALLELOGRAMMA

E’ un quadrilatero con i lati opposti uguali e paralleli.

Le caratteristiche sono: DH = altezza del lato AB DK = altezza del lato BC

• 2 lati paralleli uguali dette BASI

• altri 2 lati paralleli uguali tra loro sono detti LATI OBLIQUI

• 2 diagonali differenti tra loro e non perpendicolari

• angoli opposti uguali

TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI: i due angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari.

A + ˆ ˆ D = ˆ D + ˆ C = ˆ B + ˆ C = ˆ A + ˆ B =180°

Le formule di calcolo sono:

P = (b + l)⋅ 2

b = P

2 − l

l = P

2 − b

PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI PARALLELOGRAMMI

ES₁ : Un parallelogramma ha il perimetro di 96 cm. Sapendo che il lato obliquo misura 15 cm, calcola la misura della base.

DISEGNO DATI RISOLVO P_ABCD= 96 cm

BC = 15 cm AB

= P

2 − l = 96

2 −15

^{= 33 cm}

INC ? AB

ES2 : Un parallelogramma ha il perimetro di 96 cm. Sapendo che un lato è 5

3 del suo consecutivo, calcola la misura dei lati del parallelogramma.

P_ABCD= 96 cm AB + BC = P: 2 = 96 : 2 = 48 cm

n° seg = 5 + 3 = 8 seg AB = 5

3

BC SU = (AB + BC) : n° seg = 48 : 8 = 6 cm AB = SU • 5 = 6 • 5 = 30 cm

CD = SU • 3 = 6 • 3 = 18 cm INC

? AB ? BC

PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI

ES2 : Calcola la misura degli angoli interni di un parallelogramma sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono uno i 2

7

dell’altro.

DISEGNO DATI RISOLVO A + B= 180° A + B = 180°

n° seg = 2 + 7 = 9 seg A = 2

7

B SU = (A + D) : n° seg = 180 : 9 = 20°

A = SU • 2 = 20° • 2 = 40°

INC B = SU • 7 = 20° • 7 = 140°

? A = C

? B = D

(4)

3.

IL

R

ETTANGOLO

E’ un quadrilatero con i lati opposti uguali e paralleli.

I lati consecutivi sono perpendicolari

Le caratteristiche sono:

• 2 lati paralleli e uguali che sono detti BASI

• 2 lati paralleli e uguali che sono dette ALTEZZE

• 2 diagonali uguali tra loro e non perpendicolari che si dividono a metà a vicenda formando 4 segmenti uguali

• 4 angoli uguali di 90°

P = (b + h)⋅ 2

b = P

2 − h

h = P

2 − b

PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI RETTANGOLI

ES1: Un rettangolo ha il perimetro di 55 cm. Sapendo che la base misura 21 cm, calcola la misura dell’altezza del rettangolo.

PABCD = 55 cm

CD = 21 cm BD

= P

2 − b = 55

2 − 21

^{= 6,5 cm}

INC ? BD

ES2: Un rettangolo ha il perimetro di 36 cm. Sapendo che la base è 5

7 dell’altezza, calcola la misura dei lati del rettangolo.

P_ABCD= 36 cm CD + BD = P: 2 = 36 : 2 = 18 cm n° seg = 5 + 7 = 12 seg

CD = 5 7

BD SU = (CD + BD) : n° seg = 18 : 12 = 1,5 cm CD = SU • 5 = 1,5 • 5 = 7,5 cm

BD = SU • 7 = 1,5 • 3 = 10,5 cm INC

? AB ? BC

ES3 : Un rettangolo ha il perimetro di 112 cm. Sapendo che la differenza della base e dell’altezza misura 35 cm, calcola le dimensioni del rettangolo.

PABCD = 112 cm CD + BD = P : 2 = 112 : 2 = 56 cm

CD - BD = 35 cm BD =

S − D

2 = 56 − 35

2 =

^{10,5 cm}

CD =

S − BD = 56 −10, 5 =

45,5 cm INC

? CD

? BD

(5)

4.

IL

R

OMBO

E’ un quadrilatero equilatero con gli angoli opposti uguali.

• 4 lati uguali e a due a due paralleli

• 2 diagonali differenti, ma perpendicolari che si dividono a metà a vicenda

• gli angoli opposti uguali

P = l ⋅ 4

l = P 4

TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI: i due angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari.

A + ˆ ˆ D = ˆ D + ˆ C = ˆ B + ˆ C = ˆ A + ˆ B = 180°

TEOREMA DELLA DIAGONALE MINORE: se gli angoli tagliati dalla diagonale maggiore sono di 60° ciascuno, allora la diagonale minore è congruente al lato

TEOREMA DELL’ALTEZZA: se il rombo è considerato un parallelogramma allora avrà l’altezza perpendicolare al lato.

PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI ROMBI

ES1: Calcola la misura degli angoli interni di un rombo sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato sono uno i 2 7 dell’altro.

DISEGNO DATI RISOLVO A + B= 180° A + B = 180°

n° seg = 2 + 7 = 9 seg A = 2

7

B SU = (A + D) : n° seg = 180 : 9 = 20°

A = SU • 2 = 20° • 2 = 40°

INC B = SU • 7 = 20° • 7 = 140°

? A = C

? B = D

ES2: Calcola la misura del perimetro di un rombo avente gli angoli minori da 60° ciascuno e sapendo che la somma della diagonale maggiore con la diagonale minore è 54 cm e una è 2

3 dell’altra.

DISEGNO DATI RISOLVO AC + BD= 54 cm CD = BD

n° seg = 2 + 3 = 5 seg BD = 2

3

AC SU = (AC + BD) : n° seg = 54 : 5 = 10,8 cm BD = SU • 2 = 10,8 • 2 = 21,6 cm

INC AC = SU • 3 = 10,8 • 3 = 32,4 cm ? PABCD PABCD =

P = l ⋅ 4

= 10,8 • 4 = 86,4 cm

(6)

5.

IL

Q

UADRATO

E’ un quadrilatero equilatero ed equiangolo

• 4 lati uguali e quelli opposti paralleli

• 2 diagonali uguali tra loro e perpendicolari che si dividono a metà a vicenda e formano 4 segmenti uguali

• 4 angoli uguali di 90°