I QUADRILATERI
Il quadrilatero è un poligono formato da quattro angoli e da quattro lati.
Al contrario del triangolo è una figura deformabile, infatti i quadrilateri possono essere intercambiabili fra loro variandone le proprietà fondamentali.
Il quadrilatero è caratterizzato dalle seguenti PROPRIETA’:
1. TEOREMA DELLA FORMA -il quadrilateroè una figura deformabile, aumentando la simmetria interna si ottengono tutti i quadrilateri conosciuti;
2. TEOREMA DELLE DIAGONALI -il quadrilatero ha due diagonali;
3. TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI E ESTERNI - la somma degli angoli interni di un quadrilatero è uguale a quella degli angoli esterni, cioè uguale a un angolo giro, ossia 360°;
1.
ILT
RAPEZIOE’ un quadrilatero con 2 lati paralleli.
Le caratteristiche sono: AH = proiezione del lato obliquo
• 2 lati paralleli differenti tra loro (sono detti BASI e si distinguono in maggiore e minore)
• 2 lati non paralleli differenti tra loro (sono detti LATI OBLIQUI)
• 2 diagonali differenti tra loro e non perpendicolari
• 4 angoli differenti tra loro
TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI TRAPEZI: i due angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono supplementari.
A ˆ + ˆD = ˆB + ˆC = 180°
Classificazione: la maggiore simmetria crea una classificazione:
trapezio RETTANGOLO trapezio ISOSCELE
- un lato è perpendicolare alle basi
(AD) - i lati obliqui sono congruenti (AD = BC) - le diagonali sono congruenti (AC = BD)
- gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti (A = B) e (D = C)
- le proiezioni dei lati obliqui sono congruenti (AH=KB)
S
I= (n − 2)⋅180° = (4 − 2)⋅180° = 360°
d
tot= n(n − 3) : 2 = 4(4 − 3) : 2 = 2
S
E= 360°
PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI TRAPEZI
ES1 : Un trapezio isoscele ha il perimetro di 72 cm e il lati obliqui che misurano ciascuna 12 cm. Sapendo che la base maggiore è 5
3 della minore, calcola la misura delle proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore.
ES2 : Un trapezio rettangolo ha il perimetro di 50 cm e il lato obliquo che misura 20 cm. Sapendo che la base maggiore supera la minore di 8 cm e che una è 1
3 dell’altra, calcola l’altezza del trapezio.
PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI TRAPEZI
ES : Calcola la misura degli angoli di un trapezio isoscele sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono uno i 5
3 dell’altro.
2.
ILP
ARALLELOGRAMMAE’ un quadrilatero con i lati opposti uguali e paralleli.
Le caratteristiche sono: AH = altezza del lato DC AK = altezza del lato CB
• 2 lati paralleli uguali dette BASI
• altri 2 lati paralleli uguali tra loro sono detti LATI OBLIQUI
• 2 diagonali differenti tra loro e non perpendicolari
• angoli opposti uguali
TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI : i due angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari.
A ˆ + ˆD = ˆD + ˆC = ˆB + ˆC = ˆA + ˆB = 180°
PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI PARALLELOGRAMMI
ES1 : Un parallelogramma ha il perimetro di 96 cm. Sapendo che un lato è 5
3 del suo consecutivo, calcola la misura dei lati del parallelogramma.
PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI
ES : Calcola la misura degli angoli interni di un parallelogramma sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono uno i 2
7 dell’altro.
3.
ILR
ETTANGOLOE’ un quadrilatero con i lati opposti uguali e paralleli.
I lati consecutivi sono perpendicolari
Le caratteristiche sono:
• 2 lati paralleli e uguali sono detti BASI
• 2 lati paralleli e uguali sono dette ALTEZZE
• 2 diagonali uguali tra loro e non perpendicolari
• 4 angoli uguali di 90°
PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI PARALLELOGRAMMI
ES1 : Un rettangolo ha il perimetro di 36 cm. Sapendo che la base è 5
7 dell’altezza, calcola la misura dei lati del rettangolo.
ES1 : Un rettangolo ha il perimetro di 112 cm. Sapendo che la differenza della base e dell’altezza misura 35 cm, calcola le dimensioni del rettangolo.
4.
ILR
OMBOE’ un quadrilatero equilatero con gli angoli a due a due opposti uguali .
Le caratteristiche sono:
• 4 lati uguali a due a due paralleli
• 2 diagonali differenti, ma perpendicolari
• gli angoli opposti uguali
TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI : i due angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari.
A ˆ + ˆD = ˆD + ˆC = ˆB + ˆC = ˆA + ˆB = 180°
TEOREMA DELLA DIAGONALE MINORE: se gli angoli tagliati dalla diagonale maggiore sono di 60° ciascuno, allora la diagonale minore è congruente al lato
TEOREMA DELL’ALTEZZA: se il rombo è considerato un parallelogramma allora avrà l’altezza perpendicolare al lato.
PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI ROMBI
ES1: Calcola la misura degli angoli interni di un rombo sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato sono uno i 2 dell’altro. 7
ES2: Calcola la misura del perimetro di un rombo avente gli angoli minori da 60° ciascuno e sapendo che la somma della diagonale maggiore con la diagonale minore è 54 cm e una è 1
3 dell’altra.
5.
ILQ
UADRATOE’ un quadrilatero equilatero ed equiangolo
Le caratteristiche sono:
• 4 lati uguali
• i lati opposti uguali e paralleli
• 2 diagonali uguali tra loro e perpendicolari
• 4 angoli uguali di 90°
