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TRENTO, A.A. 2020/21 CORSO DI TEORIA DEI GRUPPI FOGLIO DI ESERCIZI # 10

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TRENTO, A.A. 2020/21

CORSO DI TEORIA DEI GRUPPI FOGLIO DI ESERCIZI # 10

Esercizio 10.1. Si enunci e si dimostri il Primo Teorema di Sylow.

Esercizio 10.2. Si enunci e si dimostri l’equazione delle classi.

Esercizio 10.3.

(1) Si mostri che se G ̸= { 1 } è un p gruppo finito, per un primo p, allora Z(G) ̸= { 1 }.

(2) Sia G un p-gruppo finito. Si mostri che per ogni divisore d dell’ordine di G, esiste un sottogruppo normale di G di ordine d.

Esercizio 10.4. Si enunci e si dimostri il teorema di Lucas, e si mostri come ne segue l’esercizio precedente.

Esercizio 10.5 (Facoltativo).

Si enunci e si dimostri il teorema di Kummer.

Esercizio 10.6.

(1) Sia G un gruppo. Si mostri che se G/Z(G) è ciclico, allora G è abeliano

(2) Sia p un primo. Si mostri che un gruppo di ordine p

2

è abeliano.

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