funzioni analitiche

Capitolo I38:

funzioni analitiche

Contenuti delle sezioni

a. integrali curvilinei di funzioni complesse p.2 b. integrali di funzioni olomorfe p.4

c. formula integrale di Cauchy e derivate delle funzioni olomorfe p.6 d. serie di Cauchy-Taylor e serie di Laurent p.8

e. zeri e principio di identit`a delle funzioni olomorfe p.10 f. elementi analitici e prolungamento analitico p.11 g. serie di funzioni analitiche p.13

h. singolarit`a isolate p.14 i. residui integrali p.15

l. funzioni inverse delle circolari p.13 m. funzione Gamma euleriana p.16 nm. funzioni di Bessel Jn(z) p.17

17 pagine

I38:0.01 In questo capitolo, in stretta connessione con il precedente, si introduce la nozione di funzione analitica e si danno le propriet`a basilari di queste entit`a.

Inoltre si prosegue con la presentazione di ulteriori esempi di funzioni speciali di largo uso: funzioni inverse delle circolari, funzione Gamma e funzioni di Bessel.

I38:d. serie di Cauchy-Taylor e serie di Laurent

I38:d.01 Si consideri una funzione complessa f (z) olomorfa in una regione R, un punto z ∈ R e un secondo punto c ∈ R tale che la circonferenza C di centro c e raggio r := |z − c| sia interna ad R.

Denotato con C il cerchio aperto {z ∈ C |z − c| < r} , si ha che    

z − c z − c    

< 1 , si ha il seguente sviluppo mediante serie geometrica convergente

(1) 1

z − z = 1

(z − c) − (z − c) = 1 z − c

1

1 − ^z−c_z−c = 1 z − c

+∞

X

n=0

 z − c z − c

ⁿ

=

+∞

X

n=0

(z − c)ⁿ (z − c)ⁿ⁺¹ . Si ha quindi l’espressione

(2) f (z)

z − z =

+∞

X

n=0

(z − c)ⁿ f (z) (z − c)ⁿ⁺¹ .

La serie a secondo membro `e totalmente (e uniformemente) convergente: infatti se introduciamo M :=

max

z∈C |f (z)|, la serie dei moduli `e minorante della M r

+∞

X

n=0

z − z r

n

, serie di addendi costanti positivi convergente. Si pu`o quindi effettuare la integrazione termine a termine rispetto alla z

1 2 π

Z

C

dz f (z) z − z =

+∞

X

n=0

(z − c) 1 2 π

Z

C

dz f (z) (z − c)ⁿ⁺¹ .

Per la formula integrale di Cauchy c01(1) per la espressione integrale delle derivate c03(2) si ottiene

(3) f (z) =

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(c)

n! (z − c)ⁿ .

Questo viene detto sviluppo in serie di Taylor-Cauchy ed estende dal campo dei reali al campo dei complessi lo sviluppo in serie di Taylor.

Come nel caso reale si dimostra poi l’unicit`a di questo sviluppo.

I38:d.02 Lo sviluppo in serie avente come centro l’origine della funzione 1

1 + z² si ottiene dalla serie geometrica

1

1 + z² = 1 − z²+ z⁴− z⁶+ · · ·

ed ha raggio di convergenza 1. Questa funzione sull’asse reale ha valori reali ed `e illimitatamente derivabile, ma il suo sviluppo in serie di potenze non vale per |x| ≥ 1. In effetti considerando la funzione per valori complessi della variabile indipendente, essa non `e olomorfa per z = 1 e z = −i:

quindi `e garantito il suo sviluppo in serie solo per z interni al cerchio caratterizzato da |z| < 1.

I38:d.03 Consideriamo due circonferenze C1 e C2 aventi come centro comune c, la prima contenuta nel cerchi della seconda e da considerare orientate in verso antiorario, la corona circolare aperta K da esse delimitata, la sua chiusura K e una funzione f (z) continua in K e olomorfa in K. Per ogni z ∈ K in forza della formula integrale c02 si ha

1 Z f (z) 1 Z f (z)

In conseguenza della e01(3) si ha 1

2 π Z

C₂

dz f (z) z − z =

+∞

X

n=0

sn(z − c)ⁿ ove sn := 1 2 π

Z

C₂

d z f (z) (z − c)ⁿ⁺¹ . Per z ∈ C1 si ha

z − c z − c    

< 1 e quindi

− 1

z − z = 1

(z − c) − (z − c) = 1 z − z

1 1 −^z−c_z−c =

+∞

X

n=1

(z − c)ⁿ⁻¹ (z − c)ⁿ ,

−f (z) z − z =

+∞

X

n=1

1

(z − c)nf (z)(z − c)ⁿ⁻¹.

L’ultima serie scritta `e uniformemente convergente per z ∈ C1e quindi `e lecita la integrazione termine a termine per ottenere

− 1 2 π

Z

C₁

d z f (z) z − z = 1

2 π

+∞

X

n=1

1 (z − c)ⁿ

Z

C₁

d z f (z) (z − c)ⁿ⁻¹. Di conseguenza

1 2 π

Z

C1

d z f (z) z − z =

+∞

X

n=1

s_−n

(z − c)ⁿ dove s_−n := 1 2 π

Z

C1

d z f (z) (z − c)ⁿ⁻¹. In conclusione si ottiene il cosiddetto sviluppo in serie di Laurent

(1) f (z) =

+∞

X

n=0

s_n(z − c)ⁿ+

+∞

X

n=1

s_−n (z − c)ⁿ nella quale si pu`o usare l’espressione

(2) ∀n = ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... sn= 1 2 π

Z

C

d z f (z) (z − c)ⁿ⁺¹ ,

dove C denota un qualunque circuito contenuto in R e che racchiude la circonferenza interna C1. I38:d.04 Se la funzione f (z) `e olomorfa in tutti i punti interni alla circonferenza esterna C2, tutti i coefficienti s<sub>−n</sub>, circuitazioni di una funzione olonoma, sono nulli e la serie di Laurent si riduce alla serie di Taylor-Cauchy. Se invece la f (z) non `e olomorfa in tutti i punti interni a C₂sono effettivamente presenti termini relativi a qualche potenza negativa 1

(z − c)ⁿ; questi possono essere in numero finito oppure infinito.

I38:e. zeri e principio di identit` a delle funzioni olomorfe

I38:e.01 Consideriamo una funzione f (z) olomorfa in un insieme aperto e connesso D contenente un punto a nel quale f (a) = 0, punto chiamato zero o infinitesimo della funzione. La f (z) `e sviluppabile in serie di z − a in un intorno circolare aperto A di a e scriviamo

f (z) = c₀+ c₁(z − a) + c₂(z − a)²+ · · · con c₀= 0 . Sia n il primo intero positivo per il quale cn6= 0; in tal caso si ha lo sviluppo

f (z) = c_n(z − a)ⁿ+ c_n+1(z − a)ⁿ⁺¹+ · · · = (z − a)ⁿ[c_n+ c_n+1(z − a) + · · ·] con c_n6= 0 e si dice che a `e uno zero di ordine n, o un infinitesimo di ordine n della f (z).

Alternativamente pu`o accadere che tutti i coefficienti c<sub>n</sub> dello sviluppo in serie siano nulli e questo equivale ad avere la funzione f (z) nulla nell’intero A. In tal caso accade che la funzione sia nulla nel suo intero dominio D in conseguenza del teorema che segue; inoltre, come vedremo, il dominio della f (z) pu`o estendersi all’intero C.

I38:e.02 Teorema Se una funzione f (z) olomorfa in un insieme aperto e connesso D si annulla in infiniti punti distinti di D aventi almeno un punto di accumulazione a ∈ C, allora essa `e nulla nell’intero D.

Dim.:

I38:e.03 Dal teorema precedente seguono direttamente utili propriet`a.

(1) Coroll.: (principio di identit`a) Se due funzioni complesse f (z) e g(z) che sono olomorfe in un insieme aperto e connesso A assumono gli stessi valori in un insieme di infiniti punti avente almeno un punto di accumulazione in C, allora esse coincidono nell’intero A.

Dim.: Basta considerare la funzione f (z) − g(z) che si annulla come richiesto in e02 e concludere che deve essere f (z) − g(z) = 0 nell’intero A

(2) Coroll.: Se una funzione complessa f (z) olomorfa in un insieme aperto e connesso A assume uno stesso valore g in un insieme di infiniti punti avente almeno un punto di accumulazione in C, allora si ha f (z) = g nell’intero A.

Dim.: Segue applicando l’enunciato precedente nel caso sia g(z) = g costante complessa

I38:e.04 Consideriamo la funzione f (z) olomorfa in una regione semplicemente connessa R delimitata da un circuito, un punto a ∈ R, un qualsiasi c ∈ C e la funzione F^a,c(z) := c +

Z

γ_z

dz f (z) , dove γz

denota un cammino regolare contenuto in R da a a z ∈ R.

Questa funzione, come visto in ..., `e una primitiva della f (z) e ogni primitiva della f (z) si ottiene specificando a e c, (o meglio f (a)−c). Infatti se F1(z) `e un’altra primitiva della f (z), cio`e se Dz[F1(z)] = f (z), le due funzioni in a F (z) − F (a) e F1(z) − F1(a) si annullano e ammettono derivate di tutti gli ordini che coincidono; quindi esiste un intorno circolare di a nel quale hanno lo stesso sviluppo di Taylor-Cauchy; esse quindi coincidono in tutto R, e in tale insieme F (z) − F (a) = F1(z) − F1(a) ossia F₁(z) = F (z) + [F₁(a) − F (a)] = F (z) + [F₁(a) − c] = F₁(a) +R

γz d z f (z).

I38: e.05

f (z) − f (a) + Z

γ_z

d z f (z) .

I38:f. elementi analitici e prolungamento analitico

I38:f.01 Si dice elemento analitico ogni sviluppo in serie di Taylor-Cauchy

+∞

X

n=0

c_n(z −a)ⁿavente raggio di convergenza positivo. Pi`u dettagliatamente il precedente oggetto viene chiamato elemento analitico di centro a e successione c := hn ∈ N :| cni e viene denotato con EA(a, c). Nel seguito lo identificheremo con E .

Denotiamo con CC(a, c) il suo cerchio aperto di convergenza e con RCC(a, c) il raggio (positivo) di tale cerchio; nel seguito useremo anche gli identificatori C := CC(a, c) ed R := RCC(a, c). I punti interni di C sono detti anche punti interni di E .

Sia a1 un punto interno di E ; esso si pu`o considerare centro di un altro elemento analitico che indi- vidueremo con E1 := EA(a1, c⁽¹⁾) :=

+∞

X

n=0

c⁽¹⁾_n (z − a1)ⁿ. E1 pu`o essere determinato univocamente da E1 ed a1: come si `e visto E1 =P+∞

n=0 f⁽ⁿ⁾

n! (z − a1)ⁿ ; rappresenteremo questa dipendenza funzionale scrivendo E₁= E [→]a₁. Scriviamo inoltre C₁:= CC(E₁) e R₁:= RCC(E₁) e ricordiamo esplicitamente che tale raggio di convergenza si pu`o determinare con il teorema di Cauchy-Hadamard.

I38:f.02 Denotiamo con aA il raggio di C passante per a1, con AB il relativo diametro e con A1 il punto nel quale la semiretta aA interseca la circonferenza di C1. Il raggio R1 deve essere maggiore o uguale della distanza minima tra a₁ e la circonferenza circ(C), cio`e della lunghezza di aA: in caso contrario la f (z) non sarebbe olomorfa negli infiniti punti di A1A. Inoltre R1 deve essere minore o uguale della massima distanza tra a<sub>1</sub> e circ(C), cio`e della lunghezza di a₁B: in caso contrario f (z) sarebbe olomorfa all’interno di un cerchio di centro a1 pi`u esteso di CC(E ).

Vanno distinti il caso in cui CC(E₁) `e interamente contenuto in CC(E ), caso in cui A = A₁, dal caso in cui CC(E1) contiene punti esterni a CC(E ), punti che costituiscono la lunula L := CC(E1) \ CC(E ).

Non `e invece necessario distinguere i casi R < R₁, R = R₁e R > R₁.

Se L 6= ∅ `e definita la funzione olomorfa con dominio in CC(E ) ∪ CC(E₁) coincidente con

+∞

X

n=0

c_n(z − a)ⁿ

in CC(E ) e con

+∞

X

n=0

c⁽¹⁾_n (z − a1)ⁿ in CC(E1), le due serie fornendo le stesse somme negli infiniti punti di CC(E ) ∩ CC(E₁). L’elemento analitico EA(E₁) si dice prolungamento analitico dell’elemento EA(C).

I38:f.03 A partire da EA(E1) e da un suo punto a2 si pu`o ripetere il processo e individuare un terzo elemento analitico E2 = EA(C2) e cos`ı via. Denotiamo con ∼prolan l’estensione per transitivit`a della relazione costituita dalle coppie di elementi analitici della forma hE , E [→]a1i.

(1) Teorema La relazione ∼prolan`e una equivalenza.

Dim.: Riprendiamo le notazioni introdotte in f01 e f02 per E ed E₁.

La relazione, oltre che transitiva per definizione, `e riflessiva: infatti EA(a, c)[→]a = EA(a, c).

Dimostriamo che essa `e anche simmetrica, cio`e da EA(a, c) ∼prolan EA(a1, c⁽¹⁾) ricaviamo EA(a₁, c⁽¹⁾) ∼_prolanEA(a, c).

Se R1> a1a si pu`o ottenere EA(a, c) come EA(a1, c⁽¹⁾)[→]a. In caso contrario per ottenere EA(a, c) si rende necessario effettuare successive costruzioni di elementi analitici utilizzando come nuovi centri successivi punti sul segmento a1a.

In conclusione la relazione ∼_prolan`e riflessiva, simmetrica e transitiva

I38:f.04 Con Weierstrass definiamo funzione-analitica ogni insieme di elementi analitici equivalenti per la relazione di prolungamento analitico ∼_prolan.

Queste entit`a sono funzioni del genere {C −→ C} solo in una parte dei casi. Questo accade sicuramente se essa consiste in una spvc avente come raggio di convergenza +∞, come per i polinomi, le serie esponenziale, del seno, del coseno, del seno iperbolico e del coseno iperbolico. Questi sviluppi in serie sono definiti per ogni z ∈ C e non esistono loro prolungamenti analitici effettivi.

Esistono poi spvc con raggi finiti che sono prive di effettivi prolungamenti analitici.

Un esempio `e dato dalla serie

S(z) =

+∞

X

n=0

z^n! .

Per il teorema di Cauchy-Hadamard essa ha raggio di convergenza uguale ad 1. Consideriamo una qualsiasi frazione propria positiva p

q (q ∈ P, p = 0, 1, 2, ..., q − 1) e lo sviluppo che segue.

r→1−lim

+∞

X

n=0



re^2πipq^n!

= lim

r→1−

q−1

X

n=0



re^2πipq^n!

+ lim

r→1−

+∞

X

n=q

r^n!;

Chiaramente il primo limite d`a un definito numero complesso mentre il secondo limite `e +∞. Dato che l’insieme dei punti e^{2 π ipq} `e denso sulla circonferenza |z| = 1 in nessun punto di tale circonferenza la serie in esame converge e non esiste nessun elemento analitico contiguo a tale serie che contenga punti della |z| = 1.

I38:f.05 Oltre alle funzioni-analitiche riconducibili a un unico elemento analitico (funzioni trascendenti intere ed elementi analitici privi di prolungamenti analitici), come vedremo, vi `e una ampia variet`a di funzioni analitiche costituite da pi`u elementi analitici.

Tra queste va fatta una distinzione fondamentale in due sottoclassi.

La prima `e detta insieme delle funzioni analitiche monodrome ed `e costituita dalle funzioni-analitiche tali per cui tutti gli elementi analitici che le compongono e che riguardano cerchi di convergenza con punti comuni in tali punti assumono gli stessi valori; evidentemente queste funzioni-analitiche sono a tutti gli effetti funzioni del genere {C −→ C}.

La seconda classe `e costituita dalle funzioni analitiche polidrome, entit`a che presentano coppie di elementi analitici che nei punti comuni ai loro cerchi di convergenza assumono valori diversi e quindi, a rigore di termini, non possono considerarsi funzioni del genere {C −→ C}. Come vedremo vi sono funzioni- polidrome che a un punto complesso associano valori diversi che possono 2, 3, ..., n, ... o costituire una infinit`a numerabile di valori.

Vedremo anche che due diversi elementi analitici aventi lo stesso centro hanno lo stesso cerchio di convergenza e in esso le due rispettive funzioni differiscono per un addendo costante ottenibile con un integrale di cammino significativo.

I38:g. serie di funzioni analitiche

I38:g.01 Le serie di funzioni olomorfe uniformemente convergenti consentono di definire nuove funzioni olomorfe che possono essere utilmente elaborate in forza della propriet`a che segue.

(1) Teorema (teor. di Weierstrass) Consideriamo una successione f = hn ∈ N :| fn(z)i di funzioni olomorfe in un insieme aperto e connesso A. Se la serie

+∞

X

n=0

f_n(z) `e uniformemente convergente in ogni cerchio (chiuso) C contenuto in A, allora

(a) la somma della serie f (z) :=

+∞

X

n=0

fn(z) `e una funzione olomorfa in A;

(b) la serie delle rispettive derivate n-esime `e anch’essa uniformemente convergente in qualunque cerchio chiuso contenuto in A e si ha

f^(k)(z) =

+∞

X

n=0

f_n^(k)(z) .

Dim.: . . . .

I38:g.02 Le funzioni cui si applica il teorema precedente sviluppate in serie di potenze presentano coefficienti collegati da serie numeriche.

Per ogni c ∈ A sia la f (z) che le fn(z) sono funzioni olomorfe in un cerchio C di centro c e raggio R > 0. Si possono quindi considerare serie delle forme

f (z) =

+∞

X

k=0

a_k(z − c)^k , ∀n ∈ N f_n(z) =

+∞

X

k=0

a_n,k(z − c)^k, In tal caso

∀n ∈ N ak =

+∞

X

n=0

an,k .

I38:h. singolarit` a isolate

I38:h.01 Sia f (z) una funzione analitica monodroma (non trascendente intera) se sia s un suo punto singolare. Esso si dice punto singolare isolato sse esiste un cerchio aperto C di centro s nel quale non cadono altri punti singolari della funzione. Sia R il raggio di tale cerchio, sia R1∈ (0, R) e C1un cerchio aperto di centro s contenuto propriamente in C; siano inoltre R₁ il suo raggio e C1 la sua chiusura.

Nella corona circolare C \ C1sussiste lo sviluppo in serie di Laurent f (z) =

+∞

X

k=0

ak(z − s)^k+

+∞

X

n=1

αn

(z − s)ⁿ ; per l’arbitrariet`a di R1 esso vale per ogni z tale che 0 < |z − s| < R.

Si possono dare due casi: (P) i termini nonnulli delle potenze negative di z − s sono in numero finito;

(E) questi termini sono infiniti.

Nel caso (E) si dice che s `e un punto singolare essenziale isolato o una singolarit`a essenziale isolata delle f (z). Nel caso (P) denotiamo con m la massima delle potenze di 1

(z − s)ⁿ per le quali αn 6= 0; in tal caso si dice che s `e un polo di ordine m per la f (z).

I38:h.02 Consideriamo ora una funzione olomorfa F (z) definita in un intorno del punto ∞ del piano complesso completato, cio`e una funzione olomorfa per ogni z ∈ C tale che sia |z| > M per un certo M reale positivo. Lo studio del comportamento della F (z) in tali punti, cio`e nei punti esterni al cerchio con centro nell’origine e raggio M , si utilizza la variabile complessa ζ := 1

z e ci si riconduce al comportamento della funzione Φ(ζ) := F 1

z

 .

Si dice quindi che z = ∞ `e un punto regolare per la F (z) sse ζ = 0 `e un punto regolare per la Φ(ζ).

In tal caso si ha lo sviluppo in serie convergente per |z| > M F (z) =

+∞

X

k=0

αk

ζ^k .

Si dice che z = ∞ `e una singolarit`a isolata per la F (z) sse ζ = 0 `e una singolarit`a isolata per la Φ(ζ).

Pi`u in particolare si distingue il caso in cui z = ∞ `e un polo di ordine m per la F (z) dal caso in cui `e una singolarit`a essenziale.

I38:h.03 Se z = s `e un polo di ordine m della f (z) si ha chiaramente

z→slim(z − s)^mf (z) = αm6= 0 .

Nel caso in cui s `e una singolarit`a essenziale la situazione `e pi`u complessa; essa viene chiarita dal seguente teorema.

(1) Teorema (teorema di Picard) Se s `e una singolarit`a essenziale per la funzione olomorfa f (z), allora per tutte le scelte del parametro v ∈ C a esclusione al pi`u di un solo valore l’equazione nella incognita z ∈ C f (z) = v `e soddisfatta in infiniti punti distinti aventi s come punto di accumulazione.

I38:i. residui integrali

I38:i.01 Consideriamo una funzione analitica monodroma f (z) e sia a un suo punto regolare oppure un suo punto singolare isolato. In tal caso nei punti z interni a un opportuno cerchio C di centro in a diversi da a si ha lo sviluppo della forma

f (z) = A(z − a) +

+∞

X

n=1

αn

(z − a)ⁿ ,

nel quale tutte le αn sono nulle sse a `e regolare e sono nulle per n maggiore di un certo m ∈ P sse a `e un polo di ordine m.

Si dice (con Cauchy) residuo [integrale] della f (z) nel punto a l’integrale 1

2 π Z

γ

dz f (z) ,

ove γ denota un circuito regolare interno a C che gira intorno al punto a in verso antiorario. Come si

`e visto il valore dell’integrale no dipende dallo specifico γ.

Si trova

1 2 π

Z

γ

dz f (z) = α₁ .

Il residue, quindi, `e nullo non solo quando a `e punto regolare, ma anche quando a `e singolare isolato ma `e nullo il coefficiente dello sviluppo di Laurent del termine in 1

z − a. I38:i.02 Residuo della f (z) nel punto ∞

1 2 π

Z

γ

dz f (z) = −a1 .

I38:i.03 Formula di Cauchy 1 2 π

Z

Γ

dz f (z) = R1+ r2+ · · · + rh+ r_∞ .

I38:l. funzioni inverde delle circolari

I38:l.01

I38:m. funzione Gamma euleriana

I38:m.01 Integrale generalizzato di funzioni a valori complessi:

Z +∞

0

dt [f1(t) + if2(t)) :=

Z +∞

0

dt f1(t) + i Z +∞

0

dt f2(t) . Integrale generalizzato convergente su [0, +∞).

I38:m.02 L’integrale

Z +∞

0

dt e^−tt^z−1 con t^z:= e^{z ln t}

`e convergente

Definiamo come funzione gamma Γ(z) la funzione che

∀z <(z) > 0 Γ(z) :=

Z +∞

0

dt e^−tt^z−1 .

I38:m.03 Cerchiamo di estendere la definizione della funzione Gamma ai punti complessi z con <(z) ≤ 0.

1

Γ(z) := e^γem

+∞

Y

n=1

 1 + z

n



e^−nz per z ∈ C \ {−1, −2, −3, ...} .

I38:m.04 La funzione Γ(z) `e una funzione analitica monodroma in C \ {−1, −2, −3, ...} . I38:m.05 La funzione Γ(z) soddisfa l’equazione funzionale

Γ(z + 1) = z Γ(z) .

I38:m.06 La funzione Γ(z) soddisfa l’equazione dei complementi Γ(z + 1) = z Γ(z) . I38:m.07

Γ 1 2



= Z +∞

0

dt e^−tt⁻¹² = √ π .

Questa uguaglianza `e in accordo con la 2 Z +∞

0

du e^−u2 = √ π .

I38:n. funzioni di Bessel

I38:n.01 Consideriamo un n reale o complesso con <(n) > 0 e la serie di potenze nella variabile complessa z

(1)

+∞

X

ν=0

(−1)^ν(z/2)^2ν Γ(n + ν + 1) Γ(ν + 1) .

Questa serie rappresenta una funzione-CtC trascendente intera in quanto

ν→+∞lim    

Γ(n + ν + 1) Γ(ν + 1) Γ(n + ν) Γ(ν)

= lim

ν→+∞|ν (n + ν)| = +∞ ; . Quindi la serie converge per ogni valore di z.

Si osserva inoltre che se n 6∈ Z− per ν ∈ N si ha 1

Γ(n + ν + 1) 6= 0.

Possiamo quindi definire funzione di Bessel di ordine n la funzione

(2) J_n(z) :=





 P+∞

ν=0

(−1)^ν(z/2)^n+2ν

Γ(n+ν+1) Γ(ν+1) se <(n) > 0 P+∞

ν=0

(−1)^ν(z/2)^−n+2ν

Γ(−n+ν+1) Γ(ν+1) se N 6∈ R−

.

I38: n.02 Quando n = 0, −1, −2, −3, ..., dato che 1

Γ(−n + ν + 1) = 0 per ν = 0, 1, 2, ..., n − 1, si ha J−n(z) = (−1)ⁿJn(z) .

In particolare si ha

J_1/2(z) = 1

√2 z

+∞

X

ν=0

(−1)^ν Z^2ν+1

2^2νΓ(ν + 3/2) Γ(ν + 1) . Dato che

2^2νΓ(ν + 3/2) Γ(ν + 1) = ... = (2ν + 1)!

√π 2 , si ottiene

J_1/2(z) = r2

π sin z

√z . Similmente si ottiene

J_−1/2(z) = r2

π cos z

√z .

I38:n.03 La relazione d

dz (zⁿJn(z)) = 2ⁿ

+∞

X

ν=0

(−1)^ν(n + ν) (z/2)^2n+2ν−1 Γ(n + ν) Γ(ν + 1)

= zⁿ

+∞

X

ν=0

(−1)^ν(z/2)^n+2ν−1

Γ(n + ν) Γ(ν + 1) = zⁿJn−1(z) ,

equivale alla uguaglianza

d

dz (zⁿJ_n(z)) = zⁿJ_n−1(z) . Similmente si ottiene

Le formule precedenti sono dette formule di ricorrenza per la Jn di Bessel.

I38:n.04 Effetuandola derivazione addendo per addendo delle serie in k02(2) si verifica che le funzioni J_n(z) e J_−n(z) soddisfano la cosiddetta equazione differenziale delle funzioni di Bessel

(1) d²

dz²y +1 z

d dz y +

 1 +n²

z²



y = 0 . Per n 6∈ Z⁻ l’integrale generale di questa equazione `e esprimibile come (2) y = C1Jn(z) + C2J−n(z) con arbitrarie C1, C2∈ C

I38:n.05 Ci proponiamo di valutare l’integrale (1)

Z ζ 0

dz z Jn(a z) z Jn(b z) , con a, b ∈ C, a²6= b², n ∈ R e n > −1.

Cominciamo con il caso a 6= 0 e b 6= 0. L’equazione k04(1) implica le seguenti:

z d²

dz²Jn(a z) + d

dz Jn(a z) −n²

z Jn(a z) = −a²z Jn(a z) z d²

dz²Jn(b z) + d

dz Jn(b z) −n²

z Jn(b z) = −b²z Jn(b z) ,

e moltiplicando la prima per Jn(b z), la secoda per Jn(a z) e sottraendo membro a membro si ottiene d

dz

 z



Jn(a z) d

dz Jn(b z) − Jn(b z) d

dz Jn(a z)



= (a²− b²) z Jn(a z) Jn(b z) ; integrando per parti tra 0 e ζ si ha

(2)

Z ζ 0

dz z Jn(a z) z Jn(b z) = z a²− b²



Jn(a z) d

dz Jn(b z) − Jn(b z) d

dz Jn(a z)

 , equazione che vale nelle ipotesi a²6= b² e sia a che b diverse da 0.

Passando al limite per _a^b e applicando al secondo membro la regola di de l’Hospital, si ottiene (3)

Z ζ 0

dz z (Jn(a z))² = z 2 a

 d

dzJn(a z) d

daJn(a z) − Jn(a z) d da

d

dz Jn(a z)

 . Tenendo conto che

d da

d

dz Jn(a z) = d²Jn(a z)

d(az)² a z +d Jn(a z) d(az) , si ottiene

(4)

Z ζ 0

dz z (Jn(a z))² = z² 2

"

 d Jn(a z) d(az)

²

− Jn(a z)d²Jn(a z)

d(az)² −Jn(a z) a z

d Jn(a z) d(az)

# .

I38:n.06 Si dimostra che per n ∈ ( − 1, +∞) la funzione Jn(z) presenta una infinit`a numerabile di zeri semplici, ad eccezione di z = 0.

La successione di questi zeri positivi la denotiamo con hr ∈ P :| λ^ri e per essi si ha 0 < λ₁< λ₂< λ₃< · · · e lim_rto+∞ λ_r= +∞ . Dalla k05(2) assumendo ζ = 1, a = λr e b = λs con r 6= s si ottiene

(1)

Z 1 0

dz z J_n(λ_rz) J_n(λ_sz) = 0 per r 6= s .

Dalla k05(4) assumendo ζ = 1, a = λrsi ottiene (2)

Z 1 0

dz z (Jn(λrz))² = 1

2 Jn0(λr)
2

.

Tenendo conto delle formule di ricorrenza e del significato dei λr, possiamo anche la formula (3)

Z 1 0

dz z (Jn(λrz))² = 1 2Jn+12

(λr) = 1 2Jn−12

(λr) .

I38:n.07 In molti problemi nella fisica matematica, in particolare nella meccanica quantistica di una particella in un campo centrale e nella teoria del calore, si pone il problema di esprimere una funzione Φ(ξ) come serie della forma

(1) Φ(ξ) =

+∞

X

r=1

c_rJ_n(λ_rξ) con n ∈ ( − 1, +∞) . Questa espressione si chiama sviluppo in serie di Bessel per la Φ(ξ).

Si tratta quindi di trovare una successione di numeri complessi hc₀, c₁, c₂, ...i che soddisfano la (1), cio`e che sono i coefficienti del detto sviluppo in serie.

Nel caso si abbia una Φ(ξ) per la quale si trovano i coefficienti dello sviluppo e che la serie secondo membro della (!) sia uniformemente convergente per ξ variabile nell’intervallo [0, 1], moltiplicando entrambi i membri per ξ J_n(λ_rξ), integrando in [0, 1], in forza di k06(1)(2)(3) si ottiene

Z 1 0

dξ ξ Φ(ξ) Jn(λrξ) = cr

Z 1 0

dξ ξ Jn2(λrξ) = 1

2cr(J⁰n(λr))² ; Di conseguenza abbiamo l’espressione per i coefficienti dello svilupp

(2) c_r = 2

(J⁰n(λr))² Z 1

0

dξ ξ Φ(ξ) J_n(λ_rξ) .

I38:n.08 Lo studio delle funzioni di Bessel conduce a vari criteri sufficienti che assicurano la conver- genza della serie k07(1) con i coefficienti forniti dalla k07(2) e quindi la validit`a della corrispondente rappresentazione della Φ.

Un risultato abbastanza semplice `e il seguente.

Se n ∈ ( − 1/2, +∞) e 0 < a < b < 1 e se Φ(ξ) `e dotata di derivata continua in [a, b], allora la sua serie di Bessel converge uniformemente a Φ(ξ) in ogni intervallo [α, β] con a < α < β < b.

Segnaliamo anche che la convergenza della serie per ξ = 0 e ξ = 1 richiede esami particolari. Per esempio per ξ = 1 tutti gli addendi della serie si annullano e quindi la serie pu`o rappresentare solo funzioni Φ(ξ) tali che Φ(1) = 0.

Testi dell’esposizione in http://www.mi.imati.cnr.it/alberto/ e in http://arm.mi.imati.cnr.it/Matexp/