Analisi Matematica 1

(1)

Analisi Matematica 1 - Polo di Savona

Analisi Matematica 1

Prove Parziali e d’Esame

A.A. 1999/2007

(2)

Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998

Prima prova Parziale 21/10/1998

Si consideri l’insieme

A = 1

x²+ 9 , x ∈ R .

A3 Determinare supA e inf A.

B3 Determinare maxA e min A.

Dimostrare, usando il principio di induzione, che

n

X

k=1

k²+ 3k = (5 +n)n(n + 1) 3

Siaf : R → R una funzione il cui grafico `e quello in figura:

C2 Disegnare il grafico di f1(x) = |f(x)|

D2 Disegnare il grafico di f2(x) = f(|x|)

(3)

E2 Disegnare il grafico di f3(x) = f(x + a)

F2 Disegnare il grafico di f4(x) = f(x) + a

(4)

Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Seconda prova Parziale 27/11/2000

Seconda prova Parziale 27/11/2000

Si consideri la successione definita da

(an+1= 3 + an

a0= 3 2

A3 Verificare che an `e crescente ed superiormente limitata.

B3 Calcolare il limite di an

C2 Determinare la regola di ricorrenza che soddisfa la successione bn=a2n e calcolareb0ed il limite dibn.

D2 Calcolare

lim

x→1

sin(x − 1) + (1 − cos(x − 1)) tan(2x − 2)

E2 Stabilire sef(x) = _1−x¹2 `e invertibile su [−9, −3] ed in caso affermativo calcolarne l’inversa.

(5)

Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2000

Terza prova Parziale 20/12/2000

Si consideri la funzione definita da

f(x) = e^x− lnx

A3 Calcolare f⁰(x) e provare che f⁰ si annulla in un solo puntox0, provare inoltre che risultax0< 1

B3 Stabilire il segno dif(x0) e disegnare il grafico dif

Si consideri la funzione

g(x) =f(x) x > x0

a(x − x0)²+b(x − x0) +c x ≤ x0

(6)

Prima prova Parziale 21/10/1998

A = 1

x²+ 9 , x ∈ R .

A3 Determinare supA e inf A.

B3 Determinare maxA e min A.

Dimostrare, usando il principio di induzione, che

n

X

k=1

k²+ 3k = (5 +n)n(n + 1) 3

Siaf : R → R una funzione il cui grafico `e quello in figura:

C2 Disegnare il grafico di f1(x) = |f(x)|

D2 Disegnare il grafico di f2(x) = f(|x|)

(7)

E2 Disegnare il grafico di f3(x) = f(x + a)

F2 Disegnare il grafico di f4(x) = f(x) + a

(8)

Seconda prova Parziale 27/11/2000

aⁿ⁺¹=a³n

a0= 3

A3 Verificare che an ≥ 3.

B3 Verificare che an `e crescente.

C2 Calcolare il limite di an.

D2 Calcolare

lim

x→0

sin(1 − cos²(x)) x²

E2 Si consideri la funzione

f(x) = pln(1 + x²)

F3 Disegnare il grafico di f

(9)

Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terzaa prova Parziale 19/12/2001

Terzaa prova Parziale 19/12/2001

A3 Disegnare il grafico di

f(x) = p1 − x ln(x)

B3 Disegnare il grafico di

fa(x) = pa − x ln(x) al variare dia ∈ R

C2 Stabilire se `e possibile prolungaref per continuit`a nell’origine.

D2 Stabilire se `e possibile prolungaref nell’origine in modo che risulti continua e derivabile.

(10)

Terza prova Parziale 20/12/2000

Si consideri la funzione definita da

f(x) = e^x− lnx

A3 Calcolare f⁰(x) e provare che f⁰ si annulla in un solo puntox0, provare inoltre che risultax0< 1

B3 Stabilire il segno dif(x0) e disegnare il grafico dif

g(x) =f(x) x > x0

a(x − x0)²+b(x − x0) +c x ≤ x0

C2 Stabilire per quali valori dia, b, c g `e continua

(11)

Prima prova Parziale 21/10/1998

A = x

x²+x + 1 , x ∈ R .

A Determinare i maggioranti di A

B Determinare sup A

B Determinare i minoranti di A

C Determinare inf A

D Stabilire se A ammette massimo o minimo e calcolarlo

(12)

Seconda prova Parziale 25/11/1998

f(x) = s

x 1 +x

²

A Calcolare

x→+∞lim f(x)

B Disegnare il grafico di _1+x^x

C Disegnare il grafico di f(x)

D Determinare un insieme su cui f `e invertibile e calcolare l’inversa di f nell’insieme scelto E Calcolare

x²

(13)

Terza prova Parziale 19/12/1998

f(x) = x²e^−x

A Determinare campo di definizione, continuit`a, limiti agli estremi del campo di definizione, crescenza, decrescenza dif

B Disegnare il grafico di f precisando i punti ed i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti.

C Supponendo noto che f(x) ≤ x per x > 0, disegnare sullo stesso grafico di f(x) e g(x) = x

(14)

E Stabilire graficamente il comportamento della successione definita da

an+1=f(an) a0= 1

(15)

Prima prova Parziale 22/10/2003

A = 1

x + 1 , x ∈ R , x ≥ 1 .

A Determinare i maggioranti di A

B Determinare sup A

C Determinare i minoranti di A

D Determinare inf A

E Stabilire se A ammette massimo o minimo e calcolarlo

(16)

Seconda prova Parziale 25/11/1998

(an+1= 6 5 −an

a0=k A Disegnare il grafico della funzione

f(x) = 6 5 −x

B Verificare che se k ∈ [2, 3], an ∈ [2, 3]

C Verificare che se k ∈ [2, 3], an `e decrescente

D Stabilire se an ammette limite ed, in caso affermativo, calcolarlo

E Determinare al variare di k il comportamento della successione (non `e richiesto dimostrare le affermazioni e si pu`o procedere graficamente

(17)

Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza Prova scritta 19/12/2003

Terza Prova scritta 19/12/2003

f(x) = x ln(1 + x²)

A Determinare campo di definizione e calcolare i limiti agli estremi del campo.

D Calcolare f⁰(x) ed f⁰⁰(x)

E Disegnare il grafico di f⁰

E Disegnare il grafico di f

(18)

Seconda prova Parziale 25/11/1998

f(x) = s

x 1 +x

²

A Calcolare

x→+∞lim f(x)

B Disegnare il grafico di _1+x^x

C Disegnare il grafico di f(x)

D Determinare un insieme su cui f `e invertibile e calcolare l’inversa di f nell’insieme scelto E Calcolare

x²

(19)

Terza prova Parziale 19/12/1998

f(x) = x²e^−x

A Determinare campo di definizione, continuit`a, limiti agli estremi del campo di definizione, crescenza, decrescenza dif

B Disegnare il grafico di f precisando i punti ed i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti.

C Supponendo noto che f(x) ≤ x per x > 0, disegnare sullo stesso grafico di f(x) e g(x) = x

(20)

E Stabilire graficamente il comportamento della successione definita da

an+1=f(an) a0= 1

(21)

Prima prova Parziale 22/10/2003

Sia

f(x) = x²+ 2

2x²− 1 , g(x) = x + 2 2x − 1 A Disegnare il grafico di g

B Disegnare il grafico di f

(22)

Seconda prova Parziale 29/11/2004

A Calcolare

lim

x→0

sin(3x³) ln(1 +x³)

B Calcolare

x→0lim

e^x²− cos(x) x²

C Calcolare

x→0lim

e^x²− cos(x) − x 5x

D Calcolare

x→0lim

e^x²− cos(x) x²+x⁴

E Calcolare al variare di α e di β

lim

x→0

e^x^α− 1 (ln(1 +x))^β

(23)

Terza prova Parziale 20/12/2004

Si consideri

f(x) = e^−x²(1 − 4x²) + 2

A Disegnare il grafico di f

B Verificare che f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R Si consideri

g(x) = p|x|(e^−x²+ 2)

C Assumendo vero che f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R, Disegnare il grafico di g

(24)

(25)

Prima prova Parziale 22/10/2003

Sia

f(x) = tanπ 4x²−π

4

A Disegnare il grafico di f per x ∈ [−3, 3]

B Disegnare il grafico di f⁻¹ perf ristretta a (√ 3, 2]

(26)

Seconda prova Parziale 24/11/2005

A Calcolare

lim

x→0

√1 −x − 1 x

B Calcolare

x→0lim

sin(x⁶) x²ln(1 + 2x⁴)

C Calcolare

x→+∞lim sin(x)

5x

D Calcolare

x→−∞lim

x⁴+ 2x + 1 x²+ 3x⁴

E Verificare mediante la definizione di limite che lim

x→2⁻E(x) = 1

(27)

Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005

Terza Prova Parziale 21/12/2005

f(x) = 1 + be⁻^x2²

B Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione g continua e derivabile su R tale che g⁰(x) = f(x)

(28)

D Per b = 1; disegnare il grafico di una funzione h continua e derivabile su R tale che h⁰(x) = f(x) ed h(0) = 1

E Per b = 1; calcolare (h⁻¹)⁰(1)

(29)

Terza prova Parziale 20/12/2004

Si consideri

f(x) = e^−x²(1 − 4x²) + 2

g(x) = p|x|(e^−x²+ 2)

(30)

(31)

Prima prova Parziale 17/10/2006

A = 3

√x²− 2x + 2 : x ∈ R

A Determinare maggioranti e minoranti di A.

B Determinare estremo superiore ed inferiore di A

C Determinare massimi e minimi di A, nel caso che esistano.

D Si consideri il seguente teorema e la sua dimostrazione.

Teorema La somma di un qualunque numero k di interi n1, n2, ..., nk al quadrato `e un quadrato. In altre parole

k

X

j=1

n²j =m² con m ∈ N , ∀k ∈ N

Dimostrazione Pern = 1 si ha che n²1 `e un quadrato

Supponiamo il teorema vero perk e verifichiamo che `e vero per k + 1.

Consideriamo

k+1

X

j=1

n²j =n²1+

k+1

X

j=2

n²j

Per l’ipotesi induttiva,

k+1

X

j=2

n²j =m²1 con m1∈ N

quindi

(32)

Seconda prova Parziale 30/11/2006

A Un carrello si muove lungo l’asse x con velocit`a costante uguale a 5 metri al secondo, partendo da fermo.

Disegnare il grafico dello spazio percorso in funzione del tempot.

La temperatura lungo l’assex aumenta linearmente di 2 gradi per metro partendo da 10 gradi Disegnare il grafico della temperatura avvertita a bordo del carrello in funzione del tempo.

B Calcolare

lim 1 − cos(x³) x²(1 −e^2x⁴)

(33)

D Calcolare, al variare di a

x→−∞lim

x⁴+ 2x x²+ax⁴

E Verificare mediante la definizione di limite che

x→πlimsin(x) = 0

F Calcolare

x→0lim 2 −√

4 −x x

(34)

Terza Prova Parziale 20/12/2006

f(x) = a x x²− 5x + 6 A Disegnare il grafico di f al variare di a

B Determinare, se possibile, x0in modo che il coefficiente angolare della retta tangente al grafico dif in x0 valga 1

C Per a = 2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R \ {2, 3}, tale che φ⁰(x) = f(x) perx ∈ R \ {2, 3}

(35)

Seconda prova Parziale 24/11/2005

A Calcolare

lim

x→0

√1 −x − 1 x

B Calcolare

x→0lim

sin(x⁶) x²ln(1 + 2x⁴)

C Calcolare

x→+∞lim sin(x)

5x

D Calcolare

x→−∞lim

x⁴+ 2x + 1 x²+ 3x⁴

(36)

Terza Prova Parziale 21/12/2005

f(x) = 1 + be⁻^x2²

B Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione g continua e derivabile su R tale che g⁰(x) = f(x)

(37)

D Per b = 1; disegnare il grafico di una funzione h continua e derivabile su R tale che h⁰(x) = f(x) ed h(0) = 1

(38)

Terza prova Parziale 20/12/2004

Si consideri

f(x) = e^−x²(1 − 4x²) + 2

g(x) = p|x|(e^−x²+ 2)

D Dopo aver verificato che

g(1) = 2 +1 e

(39)

(40)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004

Analisi Matematica 2

Prove Parziali e d’Esame

A.A. 1999/2007

(41)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 12/03/1998

Prima Prova Scritta 12/03/1998

Si considerino le funzioni

f(x) = sin x³ g(x) = e^x²

A2 Scrivere gli sviluppi di McLaurin di sinx e e^xdi ordinen con il resto nella forma di Peano.

B2 Scrivere gli sviluppi di McLaurin di f e g di ordine 6 con il resto nella forma di Peano.

C2 Scrivere gli sviluppi di McLaurin di f(x)g(x) di ordine 6 con il resto nella forma di Peano.

D2 Calcolare, al variare di α reale

x→0lim

(e^x²− 1) sinx³ x^α

(42)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 19/03/1998

Seconda Prova Scritta 19/03/1998

f(x) = ln(1 + x) g(x) = (sin x)² h(x) = ln

1 + (sinx)² 10

A3 Determinare il polinomio di McLaurin di f che approssima f a meno di ₂₀₀¹ sull’intervallo [0,₁₀¹].

B3 Determinare l’errore che si commette sostituendo ad h(x) il valore ^{(sin x)}₁₀ ² perx ∈ R

C3 Trovare lo sviluppo di McLaurin dig di ordine 2 e stimare il resto di Lagrange corrispondente per x ∈ −₁₀¹,₁₀¹

D3 Stimare l’errore che si commette sostituendo h(x) con ^x₁₀² per x ∈ −₁₀¹,₁₀¹

(43)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 26/03/1998

Terza Prova Scritta 26/03/1998

f(x) = (1 + x) arctan x

A1 Calcolare la derivata prima di f f⁰(x) =

B1 Calcolare la derivata seconda di f f⁰⁰(x) =

C2 Disegnare il grafico di f⁰

D2 Disegnare il grafico di f

E2 Precisare dove f `e convessa e dove f `e concava

(44)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 16/04/1998

Quarta Prova Scritta 16/04/1998

f(x) =

x²+ 1 x ∈ [0, 1]

ax + b x ∈ (1, 2]

A2 Determinare i valori di a, b ∈ R in corrispondenza dei quali f `e integrabile su [0, 2]

B2 Scrivere le somme superiori U1(f, Pn) della funzione f sull’intervallo [0, 1] rispetto alla partizione

Pn = {k

n :k = 0, 1, 2, ..., n}

U1(f, Pn) =

C2 Scrivere le somme superiori U2(f, Qn) della funzione f sull’intervallo [1, 2] rispetto alla partizione

Qn= {1 +k

n :k = 0, 1, 2, ..., n}

U2(f, Qn) =

D2 Scrivere le somme superiori U(f, Pn∪Qn) della funzione f sull’intervallo [0, 2] rispetto alla partizionePn∪Qn

U(f, Pn∪Qn) =

E2 CalcolareR2

f(x)dx mediante il limite di U(f, Pn∪Qn) pern che tende ad infinito, precisando

(45)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 23/04/1998

Quinta Prova Scritta 23/04/1998

f(x) = (

arctanx + 1

x²− 1 x < 3 sin²(x − 1) + a x ≥ 3

A2 Determinare una primitiva di f su (3, +∞) precisando dove `e definita.

B2 Determinare una primitiva di f su (−∞, 3) precisando dove `e definita.

C2 Determinare per quali a ∈ R f ammette primitiva su R e determinarne una precisando dove `e definita.

D2 Per i valori di a ∈ R per i quali f ammette primitiva su R determinare tutte le primitive di f precisando dove sono definite.

(46)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 29/04/1998

Sesta Prova Scritta 29/04/1998

Si consideri la funzione f il cui grafico `e rappresentato di seguito A5 Disegnare il grafico della funzione

F (x) =Z x 1

f(t)dt

B2 Precisare dove F `e derivabile

C2 Calcolare, se esistono, F⁰(0),F⁰(0−), F⁰(0+).

D1 Calcolare

F (x) =Z −4

−10

f(t)dt

(47)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 07/05/1998

Settima Prova Scritta 07/05/1998

Si consideri il problema di Cauchy

y⁰(x) = e^y²^(x) y(x0) =y0

A2 Stabilire esistenza ed unicit`a locale della soluzione del problema, al variare di x0, y0∈ R

B3 Disegnare il grafico della funzione

F (y) =Z y y₀

e^−t²dt

C2 Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0= 0, y0= 1

(48)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 07/05/1998

Ottava Prova Scritta 07/05/1998

y⁰(x) = f(y(x)) y(x0) =y0

dove

f(y) =

(1 y > 1

√y3 −1 ≤y ≤ 1

−1 y < −1

A2 Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0= 0, y0= ^π₄

B3 Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0= 0, y0= −2

C2 Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0= 0, y0= 2

D3 Disegnare il grafico delle soluzioni al variare dei dati iniziali x0, y0

(49)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 21/05/1998

Nona Prova Scritta 21/05/1998

Si consideri l’equazione differenziale

y⁰⁰(x) − 2y⁰(x) + 2y(x) = e^x+ sinx

A2 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata

B2 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa

C2 Determinare la soluzione dell’equazione completa tale che y(0) = y⁰(0) = 0

D2 Scrivere il sistema di primo ordine equivalente all’equazione data

(50)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 02/06/1998

Decima Prova Scritta 02/06/1998

f(x, y) = x³+y²

A2 Determinare massimi e minimi assoluti di f su R²

B2 Determinare massimi e minimi assoluti di f sul triangolo delimitato dalle rette y = x, y = 2x − 2, y = 0

C2 Disegnare le curve di livello di f

D2 Calcolare la matrice Hessiana Hf(1, 0) nel punto (1, 0)

E2 Calcolare le derivate di f nel punto (2, 0) rispetto ad ogni direzione (a, b) (f⁰((2, 0), (a, b)))

(51)

Prima Prova Scritta 12/03/1998

f(x) = log(1 + x⁴) g(x) = cos(x)

A4 Scrivere gli sviluppi di McLaurin di f e g di ordine 5

B6 Calcolare,

x→0lim

(g(x) − 1)²−f(x) x⁴

(52)

Seconda Prova Scritta 19/03/1998

f(x) = arctan x

A3 Determinare il polinomio p(x) di McLaurin di f del primo ordine

B3 Scrivere il resto di Lagrange relativo al polinomio p(x) di McLaurin di f del primo ordine

C4 Determinare δ in modo che

|f(x) − p(x)| ≤ 10⁻³ su [−δ, δ]

(53)

Terza Prova Scritta 26/03/1998

f(x) = x log(1 + x)

A4 Disegnare il grafico di f⁰

D6 Disegnare il grafico di f

(54)

Quarta Prova Scritta 16/04/1998

f(x) = x²+x

A5 Scrivere le somme superiori U(f, Pn) della funzione f sull’intervallo [0, 1] rispetto alla partizione

Pn=

k

n :k = 0, 1, 2, ..., n U(f, Pn) =

B5 Calcolare R1

0 f(x)dx mediante il limite di U(f, Pn) per n che tende ad infinito, precisando le ragioni per cui tale limite fornisce l’integrale richiesto.

(55)

Quinta Prova Scritta 23/04/1998

f(x) =2ax + b x > 0 log(1 +x) −1< x ≤ 0

A3 Determinare a, b ∈ R in modo che f ammetta primitiva su (−1, +∞)

B3 Determinare una primitiva di f su (−1, +∞).

C4 Per i valori di a, b ∈ R per i quali f ammette primitiva su (−1, +∞) determinare tutte le primitive di f

(56)

Sesta Prova Scritta 29/04/1998

Si consideri la funzione f il cui grafico `e rappresentato di seguito

A10 Disegnare il grafico della funzione F (x) = R₀^xf(t)dt precisando crescenza convessit`a ed asintoti

(57)

Settima Prova Scritta 07/05/1998

y⁰(x) = 1 + y⁴(x) y(x0) =y0

A4 Stabilire esistenza ed unicit`a locale della soluzione del problema, al variare di x0, y0∈ R

B6 Disegnare il grafico delle soluzioni al variare dei dati iniziali x0, y0

(58)

Ottava Prova Scritta 07/05/1998

y⁰(x) = p|y(x)|

y(x0) =y0

A5 Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0= 0, y0= 1

B5 Determinare tutte le soluzioni costanti e disegnare il grafico delle soluzioni al variare dei dati inizialix0, y0

(59)

Nona Prova Scritta 21/05/1998

y⁰⁰(x) − 3y⁰(x) + 2y(x) = e^x+x

C3 Determinare la soluzione dell’equazione completa tale che y(0) = y⁰(0) = 0

(60)

Decima Prova Scritta 02/06/1998

f(x, y) = xy²−x

A4 Determinare massimi e minimi assoluti di f sul triangolo delimitato dalle rette y = 2 − x, y = 2, x = 2

B3 Disegnare le curve di livello di f

C3 Calcolare le derivate di f nel punto (1, 1) rispetto ad ogni direzione (a, b) (f⁰((1, 1), (a, b)))

(61)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame giugno 11/06/1999

Esame giugno 11/06/1999

COGNOME NOME Corso

Numero di matricola

f(z) =Z z 0

e^−t²dt

A3 Studiare il grafico della funzione f

B3 Studiare il grafico della funzione per _{f (s)}¹ ds

C3 Studiare il grafico della funzione per Z y

1

1 f(s)ds

D3 Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy

y⁰(x) = f(y(x)) y(x0) =y0

COGNOME NOME Corso

Numero di matricola

Si consideri l’equazione

y⁰⁰⁰(x) + 27y(x) = 2e^−3x+ 1

(62)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Luglio 25/06/1999

Esame Luglio 25/06/1999







y⁰⁰(x) = 1 + (y⁰(x))² y(0) = 0

y⁰(0) = 0

A3 Provare che la soluzione del problema `e convessa dove `e definita.

B3 Provare che la soluzione ha un minimo locale in 0

C3 Disegnare il grafico della soluzione del problema dato

D3 Determinare esplicitamente tutte le soluzioni del’equazione differenziale data

E3 Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dell’equazione data.

Si consideri

f(x) = tan(x)

A4 Determinare una primitiva di f

B3 Determinare tutte le primitive di f

C3 Determinare l’areaa della parte di piano delimitata dagli assi, dalla retta x = 1 e dal grafico della funzionef

(63)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Luglio 16/07/1999

Esame Luglio 16/07/1999

Si consideri il sistema

y⁰(x) = 3y(x) − 2z(x) + e^x z⁰(x) = 2y(x) − z(x) + x

A3 Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato

B3 Determinare tutte le soluzioni del sistema completo

C3 Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo tali che y(0) = 0

D3 Determinare tutte le soluzioni del sistema completo tali che y(0) = 0

E3 Precisare se le soluzioni ottenute in ciascuno dei punti precedenti `e uno spazio vettoriale e, in caso affermativo trovarne la dimensione

Si consideri

f(x) = 2x 1 +x² A4 Disegnare il grafico di f

B3 Disegnare il grafico di g(x) = f(E(x)) dove E indica la parte intera.

(64)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Settembre 17/09/1999

Esame Settembre 17/09/1999

f(x) =









 x

x²+ 1 x < 0 1 0 ≤x < 1

1

x 1 ≤x < 2 10

x⁴ x ≥ 2

A5 Disegnare il grafico di f

B5 Disegnare il grafico di f⁰

C5 Disegnare il grafico di Rx 1 f(t)dt

y⁰(x) = y⁷(x) − 1

A3 Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) = 0

B2 Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) = 1

C3 Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) > 1

D3 Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) < 1

(65)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Gennaio 17/01/2000

Esame Gennaio 17/01/2000

f(x) = arctan(k(x³−x))

B5 Disegnare il grafico di f⁰

C5 Disegnare il grafico di Rx 0 f(t)dt

D5 Determinare il numero di soluzioni dell’equazione f(x) = 0 al variare di k

y⁰⁰⁰(x) + y(x) = x

A3 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea

(66)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Febbraio 2/02/2000

Esame Febbraio 2/02/2000

f(x) = ln |1 −x² k²| g(x) = arctan(x)

B3 Disegnare il grafico di g

C4 Disegnare il grafico di g(f(x))

D4 Disegnare il grafico di f(g(x))







y⁰(x) = y(x) siny(x) y(x0) =y0

A3 Studiare esistenza ed unicit`a della soluzione del problema assegnato

B3 Scrivere la retta tangente al grafico della soluzione per x0=y0= 1

C4 Disegnare il grafico delle soluzioni del problema per x0=y0= 1

(67)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Febbraio 22/02/2000

Esame Febbraio 22/02/2000

f(x) = e^−x 1 −x² A4 Disegnare il grafico di f

B3 Disegnare il grafico di g(x) = R₀^xf(t)dt

C4 Disegnare il grafico di tutte le primitive di f

y(x) = 2 +Z x 1

1 sin(y(t))dt

A3 Studiare esistenza ed unicit`a della soluzione del problema assegnato

B3 Determinare la soluzione dell’equazione data

(68)

Prima Prova Scritta 09/03/2000

f(x) = (1 + x)e^x

B2 Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f di grado 1, e l’equazione della retta tangente al grafico dif nel punto (0, f(0)0

(69)

C2 Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f(x) di ordine 3 con il resto nella forma di Lagrange

D2 Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f(x) di ordine 5 con il resto nella forma di Peano

E2 Determinare l’ordine di infinitesimo a di (1 + x)e^x− 1 − 2x nell’origine e calcolare

x→0lim

(1 +x)e^x− 1 − 2x x^a

COGNOME NOME Corso

Numero di matricola

(70)

Seconda Prova Scritta 16/03/2000

Si consideri la funzione f sull’intervallo [a, b] di cui `e noto

* il grafico della derivata prima

* i valori f(0) = 0, f(α) = −1, f(β) = −2. f(γ) = 1 A4 Disegnare il grafico di f

B3 Precisare gli intervalli in cui f `e convessa o concava e trovare eventuali punti di flesso.

C1 Determinare i valori massimi e minimi assoluti di f⁰

D2 Stimare, usando il teorema di Lagrange, f(a).

(71)

Terza Prova Scritta 23/03/2000

f(x) = −1 x ∈ [0, 1) 3x² x ∈ [1, 2]

e la partizione Pn= {^k_n, k = 0, 1, 2, 3, ...., 2n}

B2 Calcolare le somme superiori U(f, Pn) dif su [0, 2] rispetto alla partizione Pn

C2 Calcolare le somme inferiori L(f, Pn) di f su [0, 2] rispetto alla partizione Pn

D2 Calcolare limnU(f, Pn) e lim_nL(f, Pn)

(72)

Quarta Prova Scritta 30/03/2000

Si consideri la funzione f il cui grafico `e indicato in figura A3 Disegnare il grafico di F (x) = R₀^xf(t)dt

B2 Precisare il valore che la funzione F assume in −1, 0, 1, 2, 3, 4

Si consideri la funzione g il cui grafico `e indicato in figura C2 Disegnare il grafico di G(x) = R₀^xg(t)dt

D3 Precisare il segno di G

(73)

Quinta Prova Scritta 06/04/2000

f(x) =











1 −x² |x| < 1 1

x− 1 x > 1 1

x+ 1 x < −1 A3 Disegnare il grafico di f, precisandone il dominio D

B2 Determinare una primitiva di f su D

C2 Determinare tutte le primitive di f su D

D Determinare una espressione esplicita per

(74)

Sesta Prova Scritta 13/04/2000

f(x) = 1 x(x − 1)

A3 Calcolare

Z +∞

4

f(t)dt, Z 4 1

f(t)dt, Z 4 2

f(t)dt

B2 Disegnare il grafico di

Z x 4

f(t)dt

(75)

Settima Prova Scritta 13/04/2000

e^y(x)y⁰(x) = 2x(e^y(x)+ 1) y(x0) =y0

A2 Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0= 0,y0= 0, precisando il campo di definizione

B2 Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = 1, y0 = −1 precisando il campo di definizione

C2 Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0= −1,y0= −1 precisando il campo di definizione

(76)

Ottava Prova Scritta 13/04/2000

y⁰(x) =p³

ln(y(x) + 1) y(x0) =y0

A2 Determinare le soluzioni costanti dell’equazione differenziale data

B2 Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0= 0, y0= 1 precisando il campo di definizione ed eventuali prolungamenti.

C2 Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0= 0, y0= −1/2 precisando il campo di definizione ed eventuali prolungamenti.

C2 Disegnare il grafico della soluzione del problema al variare di x0,y0

(77)

Nona Prova Scritta 18/05/2000

y⁰⁰⁰(x) + 4y⁰(x) = sin(x) + sin(2x)

C2 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea tali chey(0) = 0, y⁰(0) = 0 ey⁰⁰(0) = 0

(78)

Decima Prova Scritta 25/05/2000

Si consideri il sistema di equazioni differenziali

˙x(t) = −2x(t) + y(t) + f(t) y(t) = 2x(t) − 2y(t) + g(t)˙

A2 Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato.

B2 Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f(t) = sin t e g(t) = 0.

C2 Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f(t) = 0 e g(t) = e^2t.

D2 Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f(t) = sin t e g(t) = e^2t.

(79)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undicesima Prova Scritta 25/05/2000

Undicesima Prova Scritta 25/05/2000

f(x, y) = x²+ 2xy e l’insieme

D = {(x, y) ∈ R²: 1 ≤x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 x} A2 Disegnare le curve di livello di f

B2 Determinare massimi e minimi assoluti di f su D

C2 Calcolare

Z Z

D

f(x, y)dxdy

(80)

Prima Prova Scritta 12/06/2000

f(x) = (1 + x) ln(x + 1)

B4 Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f di grado 1, e l’equazione della retta tangente al grafico dif nel punto (0, f(0))

D3 Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f(x) di ordine 5 con il resto nella forma di Peano

(81)

Seconda Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri la funzione f sull’intervallo [a, b] di cui `e noto che f(0) = 0 e che

f⁰(x) =







1 −x² x < 2 x² 2 ≤x ≤ 3 12 −x x > 3

(82)

Terza Prova Scritta 12/06/2000

f(x) = x²+x e la partizione Pn= {^k_n, k = 0, 1, 2, 3, ...., n}

B4 Calcolare le somme inferiori L(f, Pn) di f su [0, 1] rispetto alla partizione Pn

D4 Calcolare limnL(f, Pn)

E1 Calcolare R1 0 f(x)dx

(83)

Quarta Prova Scritta 12/06/2000

Si consideri la funzione f il cui grafico `e indicato in figura A5 Disegnare il grafico di F (x) = R₀^xf(t)dt

B5 Disegnare il grafico di G(x) = R₀^x²f(t)dt

(84)

Quinta Prova Scritta 12/06/2000

f(x) =

(x |x| ≤ 1 1 x > 1

−1 x < −1 A3 Disegnare il grafico di f, precisandone il dominio D

B2 Determinare una primitiva di f su D

C2 Determinare tutte le primitive di f su D

D3 Determinare una espressione esplicita per

F (x) =Z x 0

f(t)dt

(85)

Sesta Prova Scritta 12/06/2000

f(x) = 1 x+ 2

3 −x+ 1

3 +x= 9 + 9x 9x − x³ A5 Calcolare

Z +∞

4

f(t)dt, Z 1 0

f(t)dt, Z 2 1

f(t)dt

B5 Disegnare il grafico di tutte le primitive di f

(86)

Settima Prova Scritta 12/06/2000

y⁰(x) = 2xe^−y(x) y(x0) =y0

A4 Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0= 0,y0= 0, precisando il campo di definizione

B6 Disegnare il grafico di tutte le soluzioni del problema al variare di x0, y0

(87)

Ottava Prova Scritta 12/06/2000

y⁰(x) = ln(y(x) + 1) y(0) = y0

A4 Disegnare il grafico della soluzione del problema per y0 = 1 e precisare il campo di definizione ed eventuali prolungamenti.

B6 Disegnare il grafico della soluzione del problema al variare di y0

(88)

Nona Prova Scritta 12/06/2000

y⁰⁰(x) − 3y⁰(x) + 2y(x) = e^2x

C3 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea tali che y(0) = 0

(89)

Decima Prova Scritta 12/06/2000

˙x(t) = x(t) + f(t) y(t) = 2x(t) + 3y(t)˙

A5 Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato.

B5 Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f(t) = e^t.

(90)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undicesima Prova Scritta 12/06/2000

Undicesima Prova Scritta 12/06/2000

f(x, y) = y²+x + y e l’insieme

D = {(x, y) ∈ R²: 1 ≤x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4 − x}

A3 Disegnare le curve di livello di f

B4 Determinare massimi e minimi assoluti di f su D

C3 Calcolare

Z Z

D

f(x, y)dxdy

(91)

Esame giugno 12/06/2000

f(x) = 2 x(1 − x²)

B3 Disegnare il grafico di g(x) = R₀^xf(t)dt

xy⁰⁰(x) − y⁰(x) = |x|

A3 Risolvere l’equazione omogenea associata all’equazione data

B3 Risolvere l’equazione data su R+

(92)

Esame giugno 27/06/2000

f(x) = e^x x²+x A4 Disegnare il grafico di f

B3 Disegnare il grafico di g(x) = R₄^xf(t)dt

C4 Disegnare il grafico di g(x) = R_−∞^x f(t)dt

Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari

y⁰(x) = y(x) + z(x) + x z⁰(x) = z(x) + 1

A3 Risolvere il sistema omogeneo associato

B3 Risolvere il sistema

C4 Trovare la soluzione del sistema omogeneo associato tale che y(0) = z(0) = 0

(93)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame luglio 14/07/2000

Esame luglio 14/07/2000

fk(x) = e^2x+ke^x

A4 Determinare gk(t) tale che

fk(x) = gk(e^x) e disegnarne il grafico al variare dik ∈ R

B3 Disegnare il grafico di fk(x) al variare di k ∈ R

C4 Per k = 2 Disegnare il grafico di F (x) = R₀^xf2(t)dt

C4 Per k = 2 determinare un intervallo in cui f2 `e invertibile e trovarne l’inversa.

Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari

y⁰⁰(x) + y⁰(x) = z(x) z⁰(x) + z(x) = x

A5 Determinare tutte le soluzioni del sistema dato

B3 Determinare tutte le soluzioni del sistema dato

(94)

Prima Prova Scritta 09/03/2000

f(x) = x cos(√

x) − sin(x)

A2 Scrivere il polinomio di McLaurin Q2(x) di sin(x) di grado 2,

B2 Scrivere il polinomio di McLaurin R2(x) di x cos(√

x) di grado 2,

C2 Scrivere il polinomio di McLaurin P2(x) di f(x) di grado 2,

D2 Calcolare al variare di n ∈ N

x→0lim f(x)

xⁿ

E2 Maggiorare l’errore che si commette sostituendo P2(x) ad f(x) in [0, 1/10]

(95)

Seconda Prova Scritta 22/03/2000

* i valori f(0) = 0.

(96)

Terza Prova Scritta 22/03/2000

f(x) = xe^−x⁶^+ax²

A4 Determinare il campo D di definizione di f ed i limiti di f agli estremi del campo

B3 Calcolare f⁰ e disegnare il grafico di

g(x) = f⁰(x) e^−x⁶^+ax²

C1 Disegnare il grafico di f

D2 Determinare il polinomio di Mc Laurin di f di grado 3

(97)

Quarta Prova Scritta 05/04/2001

f(x) =

(1 x ≤ 1

x − 1 1< x ≤ 2 0 x > 2 A4 Disegnare il grafico di f

B3 Calcolare,usando la geometria elementare, l’area A(x) della parte di piano delimitata dall’asse dellex, dall’asse delle y, dalla retta parallela all’asse delle y di ascissa generica x e dal grafico di f.

C1 Disegnare il grafico di A

(98)

Quinta Prova Scritta 05/04/2001

f(x) =





 1 x²+ 1−1

2 x ≤ 1 ln(x) 1< x ≤ 2 x + a x > 2

A4 Disegnare il grafico di f e determinare a in modo che f ammetta primitiva su R

B3 Calcolare una primitiva di f su R, per gli a per cui ci`o `e possibile

C1 Calcolare tutte le primitive di f su R, per gli a per cui ci`o `e possibile

D2 Per a = 0, disegnare il grafico di F (x) = R₁^xf(t)dt

(99)

Sesta Prova Scritta 05/05/2001

f(x) = 1

√3

x − 1(e^x− 1/e)

A4 Determinare gli intervalli in cui f `e integrabile (propriamente)

B3 Stabilire se f `e integrabile in senso improprio in intervalli che contengono x = 1

C1 Stabilire se f `e integrabile in senso improprio in intervalli che contengono x = −1

D2 Stabilire se f `e integrabile in senso improprio su [3, +∞) oppure su (−∞, −5]

D2 Disegnare il grafico di

F (x) =Z x 0

f(t)dt

(100)

Settima Prova Scritta 05/05/2001







y⁰(x) = 1 ln(y(x)) + 1 y(0) = a

A2 Studiare esistenza ed unicit`a della soluzione del problema dato, al variare di a.

B3 Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy dato per a = e

C3 Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy dato per a = 1/over2e

D2

Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchy al variare dia

(101)

Settima Prova Scritta 05/05/2001

y⁰⁰(x) − 5y⁰(x) + 6y(x) = e^2x+ sin(x)

C3 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea completa tali che y(0) = 0

D2 Scrivere un sistema differenziale lineare di primo ordine equivalente all’equazione data:

(102)

Nona Prova Scritta 05/05/2001

y⁰(x) = −y(x) + 2z(x) + e^x z⁰(x) = 3y(x) + 4z(x)

A2 Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato

B3 Determinare tutte le soluzioni del sistema completo

C3 Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo tali che y(0) = 0

D2 Scrivere un’equazione differenziale del secondo ordine equivalente al sistema dato

(103)

Decima Prova Scritta 31/05/2001

f(x, y) = x⁴+x²+y²

A2 Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (0, 1)

B2 Determinare massimi e minimi assoluti di f su R²

C3 Determinare massimi e minimi assoluti di f su

D = {(x, y) ∈ R²: −1 ≤x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}

D3 Calcolare

Z Z

D

f(x, y)dxdy

(104)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta R

Prima Prova Scritta R

f(x) = e^x− sin(x²)

A2 Scrivere il polinomio di McLaurin P2(x) di f(x) di grado 2,

D2 Calcolare al variare di n ∈ N

x→0lim f(x)

xⁿ

E2 Maggiorare l’errore che si commette sostituendo P2(x) ad f(x) in [0, 1/10]

(105)

Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta R

Seconda Prova Scritta R

* i valori f(0) = 0.