H∗ densità di carica superficiale su un'armatura: ∗L σ@ρD = ε0E

CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 2 - 21/11/2009

Soluzioni

Il presente testo è stato ottenuto con una seduta di Mathematica^®, cercando di rendere i passaggi ben comprensibili senza necessità di conoscere il linguaggio di programmazione. Ove necessario è spiegato il significato di simboli speciali (per esempio: il comando "/." significa "calcolato con la sostituzione seguente").

1)

V@ρ, φ, zD = −k φ E”

= −∇V@ρ, φ, zD E”

=:0, k ρ, 0>

E” = k ρ

2) nˆ

= eˆ

φ=80, 1, 0< H∗ versore normale a un'armatura ∗L;

H∗ densità di carica superficiale su un'armatura: ∗L σ@ρD = ε0E”

⋅ nˆ H∗ per il teorema di Coulomb ∗L;

sHrL =ke0

r

H∗ il comando "ê." significa "calcolato con la sostituzione seguente" ∗L V@φ₁D = V@ρ, φ, zD ê. φ → 0

V@φ1D = 0 H∗ potenziale di un'armatura ∗L

V@φ2D = V@ρ, φ, zD ê. φ → φ2

V@φ2D = −k φ2 H∗ potenziale della seconda armatura ∗L Dalla formula generale per l' energia di configurazione U = 1

2 ‡

Sσ@PD V@PD S, nel nostro caso si ha :

U = 1 2 ‡

S1

σ@PD V@φ1D S + 1 2 ‡

S2

σ@PD V@φ2D S = 1

2 V@φ1D ‡

S1

σ@PD S + 1

2 V@φ2D ‡

S2

σ@PD S, dove gli integrali sono estesi alle due armature.

Poiché la densità di carica su un' armatura è opposta a quella presente sull' altra, si ottiene : U = 1

2 HV@φ1D − V@φ2DL ‡

S1

σ@PD S Scegliendo S = z₂ ρ, si ha :

U = 1

2 HV@φ1D − V@φ2DL ‡

ρ₁ ρ₂k ε₀

ρ z₂ ρ

In alternativa, dalla densita` volumica di energia :

U = ‡

ρ₁ ρ₂

ε₀ E”⋅ E”

2 ρ φ₂z₂ ρ H∗ elemento di volume dr = ρ φ2 z₂ ρ ∗L U = ¹₂k²z2e₀f₂logJ^r_r²

1N

3) q =

‡ρ₁ ρ₂k ε₀

ρ z₂ ρ H∗ integrale della densità di carica sull'armatura ∗L q= k z2e0log r2

r1

∆V = V@φ1D − V@φ2D DV = k f₂

c = qê ∆V H∗ capacità del condensatore ∗L

c=

z2e0logJ^r_r²

1N f2

In alternativa, avendo già calcolato l'energia di configurazione in risposta alla domanda n.2, da U = 1 2

q²

c si ricava:

c = q²

2 U H∗ capacità del condensatore ∗L

c=

z2e₀logJ^r_r²

1N f2

4)

Poiché il dielettrico riempie completamente il condensatore, tutte le formule che legano la carica sulle armature al campo elettrico o alla tensione devono essere corrette sostituendo e0 con il prodotto ere0. In particolare la nuova capacità è c' = e_rc.

A parità di carica q sulle armature, la nuova tensione vale DV' = q/c' = DVêer e il nuovo campo elettrico E' = E / e_r. La carica complessivamente presente sul piano f = f₁ adesso vale q' = qêer. Tale carica risulta dalla sovrapposizione della carica libera sull'armatura e di quella di polarizzazione:

q' = q + Qpol. Pertanto:

Q_pol= q ε_r − q

Qpol= -

k z2e₀Her- 1L logJ^r_r²

1N e_r

5) j”

= γ E” j”

= :0, k γ ρ , 0>

La potenza dissipata per unità di volume è ^dW_d7^J = j” · E” dWJ

d7 =k²g r²

6)

Poiché la densità di corrente dipende da r, la corrente si ottiene dal flusso della densità di corrente attraverso una sezione rettangolare suddivisa in elementi di superficie di area dS = z2 „r:

i = ΦS@j” D = ‡

ρ₁ ρ₂

j”

⋅ nˆ z₂ ρ

k γ LogBρ₂ ρ₁F z2

i= k z2g log r2

r1

R = ∆V

i H∗ legge di Ohm ∗L

φ₂ γ LogB^ρ_ρ²

1F z2

R= f2

z2g logJ^r_r²

1N

Si noti che, se r₂ = r₁+ s, s ` r<sub>1</sub>, e z<sub>2</sub> - z<sub>1</sub> ` r1, la configurazione geometrica è quella di un filo di sezione s Hz2 - z1) e lunghezza r1 f2.

In effetti, sviluppando il logaritmo al prim'ordine in sê r1 si ha:

R > NormalBSeriesB φ₂ γ LogB^ρ1_ρ^+s

1 F z2

,8s, 0, −1<F F H∗ sviluppa all'ordine s⁻¹ ∗L

f2

z2g logJ^r_r²

1N> r1f2

s z2g

che è proprio la resistenza del filo con resistività 1/g.

7)

Dette qa e qb le cariche rispettivamente presenti all'equilibrio sui condensatori e q0 quella inizialmente presente sul condensatore ca, vale il sistema delle due seguenti equazioni algebriche:

equation@1D = qa

ca

+q_b

c_b a H∗ il generatore fissa la tensione ∗L equation@2D = H−qa+ qb −q0L H∗ conservazione locale della carica ∗L

solution = Solve@8equation@1D, equation@2D<, 8qa, q_b<D @@1DD :qaØ --& c^acb- q0ca

ca+ c_b , qbØcbH& c^a- q0L ca+ c_b >

U_i= 1 2

q₀² ca

H∗ energia iniziale di configurazione ∗L

U_f= 1 2

q_a² ca

+1 2

q_b²

c_b H∗ energia finale di configurazione ∗L

H∗il comando "ê." significa "calcolato con la sostituzione seguente", in questo caso la soluzione del sistema precedente∗L

hg = q_ba ê. solution H∗ lavoro fatto dal generatore ∗L hg = a cbHa ca− q0L

ca+ c_b

8)

hJ = U_i+hg− U_f ê. solution H∗ energia dissipata per effetto Joule ∗L

-J=cbHq0-& c^aL² 2 caHca+ c_bL

9)

R_bc= R_bR_c R_b+ Rc

H∗ parallello di R_b e Rc ∗L

∆Vc = R_bc

Ra+ R_bc a H∗ partitore di tensione ∗L

DVc= RbRc&

RbRc+ RaHRb+ RcL

10)

H∗ per definizione di densità di corrente: ∗L j_s= dq

dl dt ; H∗ dq è la carica che attraversa perpendicolarmente il segmento dl nel tempo dt ∗L

dl = r dθ ; H∗ dl ha la direzione delle linee coordinate θ, ortogonali al moto delle cariche ∗L

H∗

la superficie della frazione di sfera dS che

attraversa il tratto dl nel tempo dt ha lati r⋅dθ e ρ⋅dφ, dove ρ è il raggio del parallelo Hsulla sferaL

passante per il punto in cui si determina la densità.

dq = σ dS = σ r⋅dθ ρ⋅dφ; inoltre ρ = r Sin@θD e dφ = ω dt

∗L

dq = σ₀Cos@θD r dθ ω dt r Sin@θD j_s= dq

dl dt

js= r s₀w sinHqL cosHqL