UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SIENA FACOLTA' DI SCIENZE ECONOMICHE E BANCARIE ISTITUTO DI MATEMATICA

Siena,settembre 1983

ISTITUTO DI MATEMATICA

Marco Lonzi

"Attualizzazione e Capitalizzazione mediante la formula di Stoodley:

•

una classe più generale di modelli"

'~ttualizzazione e Cdpitalizzazione mediante

la

fo~ula di Stoodley:

una classe più generale di modelli"

•

Fascicolo n.31 dell'Istituto di Matematica della Facoltà di Scienze Economiche e Bancarie dell'Università degli Studi di Siena.

Sunto: Viene fornita una classe di modelli descrittivi della forza d'in- teresse,a tre parametri,che estendono le proprietà dei modelli a suo tempo for- niti in [1] e [3] ,consentendo il calcolo di Attualizzazione e Capitalizzazione mediante medie ponderate ad (n+l) pesi.

Di questi,il modello a quattro parametri presentato in [2] viene visto come loro caso generale,e di questo stesso modello si presenta un nuovo modo di utilizzazione.

Si studiano infine le relazioni intercorrenti tra i valori dei parametri dei vari modelli presentati in questa nota,e le relazioni tra questi e quelli del modello presentato in [2] .

•

Il modello che viene proposto in questa nota per la descri- zione di c(t) ,forza d'interesse all'istante t,e quindi per la deter- minazione del tasso annuo d'interesse i (vedere [1] e [2] ),è il se-

t

guente:

(1 ) c(t)

= ^P

+ n---^s 1+k-est

con p,k,s parametri reali da determinare,ed nE~ valore assegnato.

Il modello fornito da Stoodley,descritto in [1] e [2],corri- sponde chiaramente al caso n = 1.

Il modello fornito (1) estende la proprietà di quello di

-2-

Stoodley, [1],e di quello fornito in [3],consistenti nel poter calco- lare Attualizzazione e Capitalizzazione come medie ponderate a due e tre pesi rispettivamente.

Con il modello (1) ,Attualizzazione e Capitalizzazione vengono calcolate invece mediante medie ponderate ad (n+1) pesi.

Osserviamo infatti che:

o

^(t)

=

^{p + n---s}

1+k> est

ks-est

=

^(p + ns) -

=

1+k-est

Usando la stessa simbologia di [1] e [2] ,indicata con u(t)

•

l'Attualizzazione di 1 al tempo t,avremo:

J t Jt

- o(t)dt -

u (t)

=

^{e o}

=

^{e 9}

d st n

[(p+ns)--{log(l+ke ) })dt

dt

=

st n t

=

e- [(p+ns)t-log(l+ke ») o

=

=

e-(p+nS)t_(1+k-e st

)n

=

1+k

(2 )

n u(t)

= L

r=O

da cui:

u (t)

=

^{__ 1__} -e^-(ns+p)t + (1+k)n

nk -[(n-l)s+p)t

-e + 000

(1+k)n

. .. + ^k

____n -pt

• e , (1+k)n

~ ~~-~-?-: :;;~~~.~_^{-e,~- ---}

- -,.~-- -.~

-

e posto:

( 3) e(n-r)s+p

=

1 + i r+l possiamo scrivere la (2) come:

u ^(t)

=

^{--~-.1 (1+i) -t + nk • (1+i )-t}

(1+kt 1 (1+k)n 2

+ ..•

+ ... + kⁿ -t

-~-. (1+i )

(1+k)n n+l

ovvero:

•

(4)

n

~ (n).kr.(1+i )-t

LJ

^r r+l

=

r=Q

u ^(t)

(1+k) n

Indicata poi con A(ti,t2) la Capitalizzazione di 1 da ti a t₂,

essendo:

avremo anche:

(5)

n

L

r=O

--

f (~) .

^{kr •e - [ (n - r) s+p] t2}

r=O da cui:

-4-

(6 )

(1+i ^)-t2 r+l

Avendosi poi:

o '

^{(t) k}

-est

= -

n_s²_---

st 2

(1+k-e )

essendo nE ]N,avremo che o (t) è funzione crescente per k< O e de- crescente per k> O.

Inol tre, se s > O, il grafico di o(t) cambia concavità o. conves-

-

siuà2::::-nel caso in cui sia

I

kl < 1 ,sia per o (t) crescente che decre- scente,altrimenti è sempre convesso.o sempre concavo.

Per quanto riguarda la determinazione dei parametri p,k ed s, osserviamo anzitutto che essendo:

o

^(t)

=

^s

=

(p + ns) + n---~~--^(-s) 1 -st '

1+- e k p + n---

1+k-est

senza perdere in generalità, possiamo limi tarci al caso s > O.

Useremo,per la determinazione dei parametri,tre condizioni:

o(O)

=

0₀,0 (t₁₎

=

ol,con t₁ > O tempo assegnato,e lim o(t)

=

o

t+00 00

valore a cui tende o(t) quando t diventa sempre più grande.

Avremo quindi:

(7) _t-+oolim O(t)

= o

₀₀

=

^{p e}

o

^(O)

= o

^o

⁼

^{p +} _1+k^ns

^,

da cui,posto 0₀ -

o =

a,si ha:

00

(8 ) .k = ns -a a Infine:

8(t1) = 01

=

dalla quale,posto 0₁ -

o =

S e sostituendo mediante la (7) e la (8),

00

otteniamo:

•

(9) H (s) = s·(ns-a).e^st1- ans + aS = O • n

Ora:

(10) H (O)

=

^{-aS-+ aS}

=

O, n

(11 )

= {+oo

^se

_00 se

S > O

S < O

e

dalla quale ricaviamo che:

H' (s)> O per

n

( 1 2) BntIs + S(n - atI)> an •e^-st 1.

Esaminiamo separatamente i due casi di

o

(t) funzione decre- scente o crescente.

-6-

Se

o

(t) è decrescente, allora a > i3> O.

Il termine di sinistra della (12) è una retta,con i3ntl> O, per cui,come illustrato nelle figure:

---~---~---~---

0.11

anoe-stl

-

H (s ) n

i3(n-at_l)

I---''---=======---

o

H (s) = O ha,per le (10), (11) e (12) una sola soluzione positiva s.

n

Inoltre,per la (8),k>0 se ns-a>O,cioè se s>-.a n - a

0= a i3- 0.2

< O e quindi s >- ,per cui k > O.

n

Se invece

o

(t) è crescente ,allora a < i3< O.

Ora,nella (12) ,si ha i3nt_l< O ed cn < O.

Se vale la condizione:

So (n - at_l) >eri ,cioè se:

tI < no--i3-a

ai3 '

avremo,come illustrato nelle figure,sempre per le (10) ,(11) e (12):

o i3(n-at_l) s

o

H(s) n

e quindi H (s) = O ha una sola soluzione positiva s.

n

Dalla (8),k<0 se ns-a>O,cioè se s>-.a n

a a

Ma or a - _< O,e quindi s >- .

n n

Riprendendo la (9),osserviamo come questa,una volta asse- gnati i valori a e S,definisca s come funzione implicita di tI:

Nel campo A : {O < tI' -a < s } sono soddisfatte le ipotesi del n

Teorema del Diniiavendosi:

(1 3)

d H (s) n

ds

è facile vedere come la funzione H (s) e la sua derivata fatta ri-

n

spetto ad s siano continue nel campo A,è presente il punto P: (S,tI) tale che H (P) = O (s non è altro che la soluzione unica di H (s)=O)

n n

ed in questo punto è diversa da zero la derivata (13) ,potendosi S -a questa derivata annullare in P solo nel caso particolare tI = n~,

impossibile se o(t) è decrescente,con la soluzione non accettabile s = O,se o(t) è crescente.

Sempre per il Teorema del Dini,la funzione implicita così definita,s = s(tI),è continua.

Riprendendo in esame la (2):

-8-

n

u(t)

= L

r=O (n

r)

____ r -[(n-r)s+p]t

°k °e ,

(1+k)n

scelto mEJR,con svm c pipe r evitare valori negativi dei tassi d'in- teresse,possiamo anche scrivere:

( 14 )

L

n (~)okT oe-[(n-m-T)s+p]t -mst T=O

=

e ~~--- u (t)

per la quale,posto: e [(n-m-T)s+p]

=

^{1 + i}

'[+1

avremo:

u(t)

(1+k) n

e,in modo analogo per la Capitalizzazione:

In questo modo,rimanendo inalterato il valore di u(t) e di A(t₁,t₂₎ ,possiamo ottenere dei valori per i tassi annui d'inte-

resse i che p.iù si avvicinano a quelli notiiAttualizzazione e Ca-

r

pitalizzazione vengono ora calcolate mediante medie ponderate ad (n+1) pesi,e quindi moltiplicate per i fattori e-mst ed ems(t2-t

l).

Sarà anche:

1 + i

=

^e-mso (1 + i )

T+1 r+l

da cui:

(15 ) i

=

^{e -ms oi} + ^{e -ms -} 1o

T+1 r+1

Il procedimento precedente può essere iterato,questa volta scegliendo un p E JR ,con p < p-ms ,mediante il quale possiamo scri ve-

p re la (14) come:

L

n ^(~)okToe- [(n-m-T)s+(l-p)p]t

-(ms+pp)t ..:.T_=~O~ _

=

e ^o

1.) (t)

•

dalla q~ale,post~ e[(n-m-T)s+(l-p)p]

=

_{1 + i ,avremo:}

w+1

( 16) ^{1.) (t)}

,

(1+k) n e,per la Capitalizzazione:

(17 )

L

n ^{(:)okwo(1 + i}_w⁺₁^)-t1

= e(ms+pp)o(t2-tl).~W_=~O _

n

w=o

L

Avremo anche:

e, per la (15) :

-10-

i w+l

-(ms+pp) .

=

e-l

r+l

-(ms+pp) 1

+ e - _

Una classe di modelli,del tutto equivalenti ai precedenti, la possiamo ottenere dalla (1) mediante la trasformazione:

p

=

(m - n) - s + p,

ottenendo:

(18) 6 (t) = P +

m + ^{(m - n)} k- ^est

s---~--~~----

1+k_e^st per la quale ancora:

•

\.l (t)

=

dove ora:

i r+l

(m-r) s+p

=

e _

Il modello fornito da Stoodley in [1] corrisponde al caso (18) ,con m

=

^{O ed n}

=

^{1,per cui p}

=

^{P + s,e:}

6(t)

=

^P + s +

-k-est

s-

=

p +

1+k.e^st

s

st ' 1+k-e

mentre il modello fornito in [3] corrisponde al caso (18) ,con m

=

¹

ed n

=

^{2,da cui p}

=

^{P + s,e:}

o

^{(t) = p} +

1-k-e st

s- st

1+k-e

=

^p +

s-_~=---

²

1+k-est

Considerando la (9) in due casi distinti,n ed m,rispetti- vamente con i dati a ,(3 e t_l .« ,(3 e t₂

=

^tl + t o ,avremo, nel pri-

n n m m

mo caso:

st_l

H (s)

=

(3 - (ns -a ) -e - a ns + a (3

=

O

n n n n n n

dalla quale ricaviamo:

1

}

a - (ns - (3 )

n n

(3 - (ns -a )

n n

s

e similmente,usando nel secondo caso a al posto di s per distingue- re le soluzioni:

H (a) m

0t2

=

(3 - (ma - a ) - e - a ma + a (3

=

O

m m m m m

da cui:

1

t_l + t_o

=

^log

a - (ma - (3 )

m m o

(3 - (ma - a )

m m

uguagliando le quali otteniamo:

H (s, a)

n,m

a - (ns - (3 )

n n ^s

1

a - (ma - (3 ) 0

m m

1 to

=

e

(3 - (ns - a )

n n ^{(3 -} (ma - a )

m m

= O,

-12-

la quale definisce,una volta assegnati i valori di to ,a

,S

,a e

S ,

n n m m

a come funzione implicita di s a

=

o ts ) ,

Scelto infatti il campo A {-^an < s n

Sm

- < a } ,la funzione m

H (s,a) e la sua derivata fatta rispetto a a:

n,m

1 1;

(

am • (ma - Sm ));-

log -

S • ^{(ma - a )}

m m

m(S^m-a)^m

l

1 a •(ma - S )

m m o

a S • (ma - a )

m m (ma-a )·(ma-S )

m m

-

.

nel campo A,con il punto P=(s,a) ,dove s e a sono le soluzioni,ri-

spettivamente,della H (s) = O e della H (a) = O,soddisfano alle con-

n m

dizioni del Teorema del Dini.

In tal modo,una volta noti i valori dei parametri di un mo-

•

dello della classe (1) ,sotto le condizioni a

,S

,tI ,possiamo da

n n

questi ricavare i valori dei parametri di ogni altro modello della

(1) ,anche sotto dati a,S e tI diversi.

Nel caso particolare a = a

,S

⁼

S

e to = O,avremo la for-

n m n m

ma più semplice:

1 H (s,a) = '"

[a.

^{(ns - S}

^)J

^S

n , m S • (ns - a)_-c

1

[

a. (ma - S) ] CJ

=

O.

S· (ma - a)

I modelli generati,al variare di n,mediante la (1) ,non sono

altro che casi particolari del modello a quattro parametri presen-

tato in [2J

(1 9) o(t)

=

p + ^Q

1+K· e0t

quando si assuma

Q =

n·s.

Questo modello,una volta assegnate le quattro condizioni:

0(0)

potendoci limitare al caso 0 > O,risul ta crescente per Q. K < O e

decrescente per Q. K > O.

Ha una sola soluzione positiva per il parametro 0 ottenibile

dall'equazione:

dove a

=

^00-

° ^{,8. =}

^01-

°

^,y

⁼

^02-

°

^,sotto la condizione,valida

00 00 00

sia nel caso di o(t) crescente che decrescente:

t₂ 8· ^{(a - y)}

(21) - -c

t_l y·(a-8)

Per uno studio completo del modello e della determinazione

dei suoi parametri,si vedano [2] ed anche [3].

Per gli altri parametri,abbiamo anzitutto

( 22) p

= °

⁰⁰

.

Riguardo a K e Q,è facile ottenere:

a -

8

K =

e

-14-

Q

=

dalla seconda delle quali otteniamo:

che non è altro se non la (9).

Quindi, come già visto,Q

=

^{n-O" , con n E JR .}

Se n E ]N ,allora il modello generato dalla (19) coì.no ì.de con uno dei modelli generati dalla (1) ,come meglio vedremo in seguito.

Tornando alla (20) ,nel caso particolare t2

=

^2t1 ,si perviene

•

in modo semplice alle due soluzioni che sono:

La prima di esse non è accettabile,mentre dalla seconda otteniamo:

Q

=

(3 • (a (3 - 2ay+y^{(3 )} (32 - ay

e

K

=

l.. (a - (3)2 a «(32 -ay)

Come si può vedere in [2],utilizzando questo modello si hanno le:

(23) u ^(t)

=

e^{- ( P+Q)t} •

Q

[1+k. e0t ]a 1+k

e

(24)

E' semplice vedere come la (2) e la (5) siano casi partico-

lari delle (23) e (24) ,ottenuti ponendo Q

=

^n·a.

Una volta assegnate le quattro condizioni e determinati i

valori dei parametri della (19) ,ponendo, in (23) e (24):

-

(25)

2:,-- =

ⁿ + h ,con n E]N ed h E R ,

a •

possiamo anche scrivere:

u ^(t)

=

e^{- (Pa-no+o hj t,} [

1+k.e0t ]n+h

1+k

=

- (P+n0)t

=

e [

1+k.e0t]n.e-0ht. [1+k.e0t]h

=

1+k 1+k

[ "I

ⁿ

=

e-at•¹+^k.e .\

1+k

;-;:0 ^{( ~)}

r -[(n-r)0+P]t

•k •e

(1+k) n

e ponendo,al solito:

(26) ^{e [(n-r)0+P]}

=

1 + ir+l

avremo:

(27) u ^(t)

(n r)

= [

1+k.e 0t

]h.

t

e0t

• (1+k) r=O ⁽¹+k) n

-16-

ed analogamente:

n

L (~)

^{r . -t l}

crt h -k -(1 + ~r+l ) cr(t2-t1)

1+k -e l

( 28) A(tl,t2)

=

e - _ot2 r=On

1+k-e

L (~)

^{-kr- (1 + il)r+ -t2}

r=O

Anche qui,come per le (16) e (17) ,possiamo calcolare Attua- lizzazione e Capitalizzazione mediante il prodotto di una funzio- ne di t per fattori ottenuti mediante medie ponderate ad (n+1) pe-

si_

Potremo,ad esempio,come è stato fatto per (16) e (17) ,anche scrivere, scel ti ~ E JR con m-a < P,e pE JR ,tale che p < --P-ma

P

1+keecrt ^h n

- (mcr+pP)t \'

-e ^e

LT=O

(n) T -[(1-p)P+(n-m-T)cr]t -k -e

\) (t)

=

T

ecrt-(1+k)

dalla quale,posto:

1. [(l-p)P+(n-m-T)cr]

+ ~

=

e

T+l '

da cui:

iT+l

-(mcr+pP) . -(mcr+pP)

=

e -~ + e - 1,

r+l avremo:

\) (t)

=

h n

-[cr(m+h)+pP]t "

-e - L

T=O . crt

(~)

1+k-e 1+k e

n

h. \

(n) _

^{kT _ (1+i )-t l}

L T T+1-

[a (m+h)+pP]-(t2-td T=O

-e ---

\

n

(n)

^{-kT_ (1+i )-t2}

L T T+1

T=O

Cerchiamo infine la relazione che esiste tra la soluzione per il parametro s di un modello (1),sotto le condizioni: 0b ,

o

^(to)

= o

^l'

o

^,con

CI. = o

^{o -}

o

^,13

= o

^{l -}

o

,e la soluzione per

00 n ⁰⁰ n ⁰⁰

il parametro a del modello (19):

Q

o'(t) =P.+

1+K-e at

,

sotto le condizioni:

0ò , o'

^(to ^+t1)

= o I o '

00

con

CI. = o ~ - o;' ,

¹³

= o ~ - o;' , y = o ~ - o

^{c:, _}

Dalla (9) avremo:

to

= --

1 -Loq s

CI. -

^{(ns - 13 )}

n n

13 - (ns -

CI. )

n n

e pervenendo alla (20) ,invece:

per la quale otteniamo:

CI.-(y -

¹³⁾

-18-

e quindi l'equazione:

1 1

ao(y-S) (J

Sì(s,a)

=

a o (n s - S ) s

n Ì1

S ^o (ns - a )

n n

che permette di esprimere,in forma implicita,una volta soddisfat-

te le ipotesi del Teorema del Dini,il parametro s di (1) in fun-

zione del parametro a di (19): s

=

^s(o) e viceversa.

Imporre poi l'equazione

Sì(s,s)

=

^O

equivale a vedere sotto quali condizioni,ad esempio per quale va-

lore di t₂,la so~uzione per il parametro s di (1) ha lo stesso

valore della soluzione per il parametro a di (19).

Otterremo allora:

a o (ns - S )

n n ^ao·(y-S)

=

S ^{o (n s - a )}

n n

st₂ st_l

Y o (a - S) oe + ^{B·o(y - a) oe}

la quale,risolta rispetto a t2,conduce alla condizione:

t₂

= -

1 <Loq s

st_l aS o(ns-a )o(y-S) -Sa o(ns-S )o(y-a)oe

n n n n

a yo(ns-B )o(a-S)

n n

Se poi

a

=

^{a ,}

S = S ,

tI

=

^{O e}

o = O'

n n ^{00 00}

l'equazione Sì(s,o) = O assume la forma:

=

^O

S o(ns - a) 1 ao(ns-S) s

&1'(s,O')

=

e se,come prima,imponiamo l'equazione:

&1' (s,s)

=

O otteniamo:

ao(ns-S) ao(y-S)

=

So (ns - a)

che conduce alla:

yo (ns - S) oe^st2 = So (ns - y) e quindi alla co~dizione:

(29) t

2 =_1_ olog)So (ns - y)

I .

s '~

v:

^{(ns - S)}

Se nella (20) sostituiamo a t₂ il valore 1 l

!

^{So (ns - y)}

I

to + ^{-o og}

s y:(ns-S)

e poniamo t_o

=

^{tI , S}

=

^a ,con semplici calcoli otteniamo la

ovvero la (9) ,ma anche la

e dato che:

-20-

K

= ^JL

_a ^{- 1I}

avremo anche:

ns 1 ns - a k

K

=

^{- -}

= =

a a

e quindi,se i valori di s e a,a parità di dati comuni ^Icoincidono ^I sotto la condizione (29) il modello (1) coincide con (19).

-0-

•

[1]

[2]

[ 3]

Bibliografia

Stoodley C.L.

McCutcheon J.J.

• Lon.z^ì, M.

-0-

-"The effects of a falling inte- rest rate on the values of cer- tain actuarial functions"

Transactions of the Faculty of the Actuaries 14 (1934) pp.137- 175.

-"Some remarks relating to Stood- ley's Formula"

Transactions of the Faculty of the Actuaries V.38 P.2 (1982) pp.182-191.

-"Una nota sulla formula di Stood- ley:un modello descrittivo del- la forza d'interesse"

Fascicolo n.28 dell'Istituto di Matematica della Facoltà di Scien-

ze Economiche e Bancarie dell'Uni- versità degli Studi di Siena.

-21-

Nelle Tavole che seguono, (da I a VI l,vengono calcolate u(t) e o(t) ,rispettivamente per 12.t2.20 e 02.t2.100,relativamente ai dati riportati in ogni tavola.

Nella parte A della Tavola viene calcolata u(t) usando il modello (1) nei casi n=1,2, ... ,6,mentre le ultime due colonne si riferiscono al calcolo di u(t) mediante il modello (19) ,~on gli

Analogo procedimento nella parte B,questa volta relativo al calcolo di o(t).

•

I valori al di sopra di ogni colonna sono i valori,nell'or- dine,di s e k per'i modelli (1),di a,K e Q per i modelli (19).

Nella Tavola VII (A e B) viene fatto lo studio della fun- zione s = s(t₁) per i modelli (1),con 1.::.t₁.::.20,peri casi.n = 1, 2, •. ,5,secondo i valori dei o riportati nelle Tavole.

+3-+