ESERCIZI SU VARIABILI CASUALI CONTINUE

(1)

ESERCIZI SU VARIABILI CASUALI CONTINUE

1) Sia una variabile casuale con funzione di densitàX

0 ÐBÑ œ 'BÐ"  BÑ ! Ÿ B  "

! altrove

a) Scrivere la funzione di ripartizione.

b) Calcolare il valore atteso di .X c) Calcolare la varianza di .X Soluzione

a) Osservato che per ! Ÿ B  " J ÐBÑ œ, _!^B0 Ð?Ñ.?, si ha che

J ÐBÑ œ

! B  !

$B  #B ! Ÿ B  "

" B "





# $

b) IÐ\Ñ œ_!^"B0 ÐBÑ.B œ '_!^"ÐB  B Ñ.B œ^# ^$ ^"_#

c) Osservato che IÐ\ Ñ œ^# _!^"B 0 ÐBÑ.B œ '^# _!^"ÐB  B Ñ.B œ^$ ^% _"!^$ ß la varianza risulta Z Ð\Ñ œ IÐ\ Ñ  ÒIÐ\ÑÓ œ " Þ

#!

# #

#) Sia una variabile casuale con funzione di densitàX

0 ÐBÑ œ  " # Ÿ B  5

!^B^# altrove a) Determinare affinché 5 0 ÐBÑ sia una densità.

b) Prendendo il valore di individuato al punto a), calcolare il valore atteso di .5 X c) Prendendo il valore di individuato al punto a), calcolare il valore atteso di5 ] œ $  #\.

Soluzione

a) Bisogna trovare affiché 5 _#^{5 B}Ð  "Ñ.B œ "_# , da cui si ottiene 5 œ %Þ b) IÐ\Ñ œ_#^%B0 ÐBÑ.B œ _#^{% B}Ð _#^#  BÑ.B œ ^"!_$

c)IÐ] Ñ œ $  #IÐ\Ñ œ $  ^#!_$ œ ^#*_$ .

(2)

$) Sia X una variabile casuale con funzione di ripartizione

J ÐBÑ œ

! B  #

 B  " # Ÿ B  %

" B %





B

%

#

a) Determinarela funzione di densità.

b) Calcolare P("  \  $ÑÞ c) Calcolare EÐ\ Ñ^# .

Soluzione

a) 0ÐBÑ œ J ÐBÑ œ  "ß # Ÿ B  %Þ^w ^B_#

b) P("  \  $Ñ œ P(#  \  $Ñ œ J Ð$Ñ  J Ð#Ñ œ ^"_%

c) IÐ\ Ñ œ^# _#^%B 0 ÐBÑ.B œ^# _#^{% B}Ð _#^$  B Ñ.B œ^# ^$%_$ .

%) Sia X una variabile casuale con funzione di ripartizione

J ÐBÑ œ

! B  !

! Ÿ B  $

" B $





B

$

a) Determinare la funzione di densità.

b) Calcolare P(\  #ÑÞ c) Calcolare Z Ð\Ñ. Soluzione

a) 0ÐBÑ œ J ÐBÑ œ ß ! Ÿ B  $Þ^w ^"_$

b) P(\  #Ñ œ " P(\ Ÿ #Ñ œ "  J Ð#Ñ œ ^"_$

c) Osservato che IÐ\Ñ œ ^"_$_!^$B.B œ ^$_# e IÐ\ Ñ œ^# _$^"_!^$B .B œ $^# , si ha che

(3)

Z Ð\Ñ œ IÐ\ Ñ  ÒIÐ\ÑÓ œ $ ^# ^# ^*_% œ ^$_%

&) Sia una variabile casuale con funzione di densitàX

0 ÐBÑ œ 5B  " Ÿ B  "

! ^# altrove a) Determinare affinché 5 0 ÐBÑ sia una densità.

b) Prendendo il valore di individuato al punto a), determinare la funzione di5 ripartizione.

c) Prendendo il valore di individuato al punto a), calcolare il quantile di ordine5

!Þ& . Soluzione

a) Bisogna trovare affiché 5 _"^" 5B .B œ "^# , da cui si ottiene 5 œ Þ^$_# b)J Ð\Ñ œ _"^{B $}_#? .? œ^# ^{B "}^$_# ß per  " Ÿ B  "Þ

c) Si deve determinare il valore B!Þ& tale che J ÐB Ñ œ !Þ&Þ!Þ& Risolvendo l'equazione

B "

#

!Þ&

$ œ !Þ&

che il quantile di ordine !Þ& !Þ è