Variabili casuali

Variabili casuali

• Definizione

Assegnato uno spazio di probabilità (S, A, P[.]) si definisce variabile casuale X una funzione avente come dominio lo spazio dei campioni (S) e come codominio la retta reale.

S

x

Le variabili casuali si indicano con lettere maiuscole X

X

Variabili casuali

• Definiamo una variabile casuale discreta se questa assume valori discreti

• Definiamo una variabile casuale continua se

questa può assumere con continuità tutti i valori

di R (asse reale)

Funzione di distribuzione cumulativa

( ) ^{x P} [ ^{X x} ]

F

= ≤

• Definizione

Data una variabile casuale X, si definisce funzione di distribuzione cumulativa F^X(x) la funzione che ha per dominio l’asse reale e per codominio l’intervallo chiuso [0,1] così definita:

Funzione di densità discreta

( ) [ ]

 



≠

=

= =

j j j

X

x x

x x x

X x P

f 0 se

se

• Definizione

Data una variabile casuale discreta X con codominio=(x1, x2, x3, … xn), si definisce funzione di densità discreta f^X(x) (o funzione di probabilità) la funzione così definita:

Funzione di densità discreta

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

 



≠

=

−

= −

=

=

∀

≥

→ +

∑

∑

i i i

h X i X X

x x

i X i

X

i X i

X

x x

x x h

x F x

x F f

x f x

F

x f

x x

f

i

se 0

se lim

1 0

0 :

La funzione di densità discreta f^X(x) ha le seguenti proprietà:

Funzione di densità di probabilità

( ) ^{x f} ( ) ^{t dt P} [ ^{X x} ]

F

= ∫

⋅ = ≤

• Definizione

Data una variabile casuale continua X, si definisce funzione di densità di probabilità di X f^X(x) la funzione tale per cui:

Funzione di densità di probabilità

( ) ( )

[ a X b ] f ( ) x dx P

dx x f

x x

f

b

a X

X X

1 0

∫

∫

=

≤

≤

=

∀

≥

∞ +

∞

−

Analogamente a quanto appena visto, la funzione di densità di probabilità f^X(x) ha le seguenti proprietà:

Esempio

Consideriamo il lancio di un dado e l’estrazione di una pallina da un’urna contenente 2 palline rosse, 3 blu e 5 verdi.

Attribuiamo all’estrazione della pallina il valore 5 se questa è rossa, 3 se blu e 1 se verde.

Consideriamo la variabile casuale X data dalla somma del risultato del dado con il valore della pallina estratta.

R R B B B V V V V V

1

d 2

a 3

d 4

o 5

pallina

5 3 1

R R B B B V V V V V

1 6 6 4 4 4 2 2 2 2 2

d 2 7 7 5 5 5 3 3 3 3 3

a 3 8 8 6 6 6 4 4 4 4 4

d 4 9 9 7 7 7 5 5 5 5 5

o 5 10 10 8 8 8 6 6 6 6 6

5 3 1

pallina

X 2 3 4 5 6 7

5 5

5 5

5+3 8

5+3 8

5+3+2 10 5+3+2 10

Ni P(X)=f(x) 0.083 0.083 0.133 0.133 0.167 0.167

F(x) 0.083 0.167 0.300 0.433 0.600 0.767

Esempio

X F(x)

2 5 5 0.083

3 5 5 0.167

4 5+3 8 0.300

5 5+3 8 0.433

6 5+3+2 10 0.600

7 5+3+2 10 0.767

8 3+2 5 0.850

9 3+2 5 0.933

10 2 2 0.967

11 2 2 1.000

Ni P(X)=f(x) 0.083 0.083 0.133 0.133 0.167 0.167 0.083 0.083 0.033 0.033

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X

fx(X)

fx(X)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X

Fx(X)

Fx(X)

Media

[ ] = _∑ ⋅ ( )

i

x

f

x

X E

• Definizione

Si definisce media, o valore atteso, della variabile casuale X la funzione:

[ ] X = _∫

x ⋅ f ( ) x ⋅ dx

E

Varianza

( ) ( )

∑ ^{− ⋅}

=

i i X X i

X²

x µ

f x

σ

• Definizione

Si definisce varianza della variabile casuale X con media µxla funzione:

( ) ( )

∫

− ⋅ ⋅

= x

f

x dx

X

2

µ

σ

Esempio

Consideriamo nuovamente il problema legato al lancio di un dado e all’estrazione di una pallina da un’urna contenete 2 palline rosse, 3 blu e 5 verdi.

Considerata la variabile casuale X come prima definita.

Si ha:

pallina

X 2 3

5 5

5 5

Ni P(X)=f(x) 0.083 0.083

F(x) 0.083 0.167

[ ] _∑

=

⋅ =

=

i

x

f

x

X E

1

9 . 5 ) (

[ ]

( )

∑

=

⋅

−

=

i i X i

X

x E X f x

1

2 2

( ) 5 . 357

σ

Deviazione Standard

• Definizione

Si definisce come deviazione standard o scarto quadratico medio o scarto tipo (della della variabile casuale X) la radice quadrata della varianza, cioè:

2 X

X

σ

σ =

Variabile casuale funzione di variabile casuale

In molti casi si fa uso di trasformazione di variabili casuali.

Sia X variabile casuale con funzione di densità di probabilità f

(x) assegnata.

Sia Y una variabile casuale funzione di X con Y=g(X).

Ovviamente è possibile calcolare media e

varianza di Y nota la sua funzione densità di

probabilità f

(y).

Variabile casuale funzione di variabile casuale

• Definizione

Si definisce valore atteso della della variabile casuale Y=g(X) la funzione:

[ ] = _∑ ⋅ ( )

i

g x

f

x

X g

E ( ) ( )

[ g X ] = _∫

g x ⋅ f ( ) x ⋅ dx

E ( ) ( )

Proprietà dell’operatore E[.]

• L’operatore E[.] è un operatore lineare, cioè:

[

]

[

]

[

]

E ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

Disuguaglianza di Tchebycheff

• Corollario della disuguaglianza di Tchebycheff

Sia X variabile casuale a varianza finita.

Allora si ha:

[ ] ^{1 1}

σ λ λ

µ ≤ ⋅ ≥ −

−

X P

[ ] ^{1 1}

σ λ λ µ σ

λ

µ

− ⋅

≤ X ≤

+ ⋅

≥ − P

o equivalentemente: