Analisi Matematica 1 – Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6

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Analisi Matematica 1 – Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6

Argomenti 16 novembre 2017

1. Esercizio. Svolgere gli studi di funzione dai temi d’esame.

2. Esercizio. Un palazzo rinascimentale ha finestre quadrate di lato a. Concentrico con la finestra, c’` e un quadrato di lato x ≤ a e con lati paralleli ai lati della finestra. Ci sono poi quattro circoli passanti per i vertici del quadrato piccolo e tangenti a due lati consecutivi del quadrato grande; due circoli possono essere tangenti tra loro ma non sovrapposti. Il quadrato piccolo e i circoli sono fatti di vetro colorato.

Come si deve scegliere x perch´ e l’area della parte colorata sia minima oppure massima? (x deve soddisfare un’opportuna limitazione inferiore).

3. Esercizio. Una retta passa per il punto (a, b) del primo quadrante e interseca in A e in B gli assi cartesiani. Mostrare che la minima lunghezza di AB ` e (a

²³

+ b

²³

)

³²

e che la minima lunghezza di OA + OB

`

e (a

¹²

+ b

¹²

) ² . Osservare che il segmento di minima lunghezza ` e tangente all’asteroide passante per (a, b).

4. Esercizio. Usando 24 metri di ﬁl di ferro, si vogliono costruire le facce laterali di una gabbia a forma di parallelepipedo con base quadrata come mostrato in ﬁgura. Quali devono essere le dimensioni del parallelepipedo per ottenere il volume massimo?

5. Esercizio. Studiare le isoterme dell’equazione di Van der Waals:

( p + a

v ² )

(v − b) = RT con a, b, R costanti positive ﬁssate.

6. Esercizio. Studiare i graﬁci delle seguenti curve:

y = x ³ − 3x y = e ^−x sin x

y = (x − 1) ² (x − 2) ³ y = x ² e ^x y = sin x + ¹ ₂ sin 2x y ² − x ⁴ + x ⁶ = 0

(y − x ² ) ² − x ⁵ = 0 y = ₁ _{−sin x} ^{cos x}

7. Esercizio. Sia f : [ ¹ ₂ , + ∞[→ [ ^√ ₂ ² , + ∞[ la funzione definita dalla formula f(x) = x ^x . Dimostrare che f ` e un diffeomorfismo (cio` e biiettiva, derivabile con inversa derivabile). Calcolare poi (f ⁻¹ ) ^′ (4).

Proposizione 1 Sia f una funzione derivabile su un intervallo I. Se f ^′ (x) = 0 per ogni x ∈ I, allora f ` e costante.

Dimostrazione. Sia a un punto di I; per ogni x ∈ I \ {a}, per il teorema di Lagrange esiste un punto c che dipende da x tale che:

f (x) − f(a) = (x − a)f ^′ (c) = 0, per cui f (x) = f (a) per ogni x ∈ I.

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Corollario 2 Siano F (x) e G(x) due primitive di una funzione continua g(x) deﬁnita su un intervallo I.

Allora F e G diﬀeriscono per una costante.

Dimostrazione. (F − G) ^′ = F ^′ − G ^′ = 0.

Precisazione. Se s(t) ` e una funzione derivabile, con la frase diﬀerenziale di s si intendono due concetti distinti (analogamente all’espressione derivata):

• ﬁssato t 0 , il (ds)(t 0 ) = s ^′ (t 0 ) dt indica la funzione lineare della variabile dt che ad ogni incremento dt associa l’incremento della variabile dipendente s lungo la retta tangente, che vale s ^′ (t 0 ) dt.

• la funzione della variabile t deﬁnita da

d s(t) = s ^′ (t) dt

`

e la forma diﬀerenziale che ad ogni valore di t associa la funzione “diﬀerenziale di s in t” (abbiamo una funzione che ad ogni t associa una funzione).

In questa seconda accezione useremo nel seguito la parola diﬀerenziale.

Diﬀerenziali e integrazione per sostituzione.

Data una funzione f (x) continua su un intervallo I, prendiamo una sua primitiva F (x). Il diﬀerenziale di F (x) ` e:

d F (x) = F ^′ (x) dx = f (x) dx

Per questo motivo diciamo che F (x) ` e una primitiva del diﬀerenziale f (x) dx. L’insieme delle primitive del diﬀerenziale f (x) dx si indica con il simbolo:

∫

f (x) dx

e sappiamo che tale insieme ` e deﬁnito dalla primitiva F (x) a meno di funzioni costanti su I.

Se nel diﬀerenziale f (x) dx operiamo il cambiamento di variabile x = g(t) otteniamo:

f (g(t)) d g(t) = f (g(t))g ^′ (t) dt (1)

Se invece operiamo il cambiamento di variabile nella primitiva F (x), ottenendo la funzione F (g(t)), e poi determiniamo il diﬀerenziale di questa funzione, otteniamo:

d F (g(t)) = d dt

( F (g(t)) ) dt =

( d dx F (x)

)

x=g(t)

· g ^′ (t) dt = f (g(t)) g ^′ (t) dt

che ` e lo stesso diﬀerenziale ottenuto in (1).

Morale: se nella primitiva F (x) del differenziale f (x) dx facciamo il cambiamento di variabile indipenden- te e poi calcoliamo il differenziale otteniamo lo stesso risultato che operando il cambiamento di variabile indipendente nel differenziale f (x) dx. Quindi:

se F (x) ` e una primitiva di f (x) dx allora F (g(t)) ` e una primitiva di f (g(t)) g ^′ (t) dt, cio` e:

(∫

f (x) dx )

x=g(t)

=

∫

f (g(t)) g ^′ (t) dt

che ` e la formula di integrazione per sostituzione.

Essa pu` o essere utilizzata in entrambi i sensi, e dice che l’integrale di un diﬀerenziale commuta con il cambiamento di variabile indipendente.

8. Esercizio. Dimostrare la formula di integrazione per parti, formula 1 in http://www.math.unipd.it/~umarconi/dei/TavoleIntegrali.pdf 9. Esercizio. Dopo aver meditato sulle tavole degli integrali in http://www.math.unipd.it/~umarconi/dei/TavoleIntegrali.pdf dimostrare quattro formule al giorno usando le regole di integrazione.

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10. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indeﬁniti:

∫ arcsin x dx ∫ ₁

cos x dx

∫ e ^αx cos(βx) dx ∫

e ^αx sin(βx) dx

∫ x ⁵ log x dx ∫ _{log x}

x dx

∫ ₁

x

⁵

e ⁻

¹^x

dx ∫ ₁

1+e

^x

dx

∫ √ a ² − x ² dx ∫ √

a ² + x ² dx

∫ √ x ² − a ² dx ∫

sin log x dx

∫ _dx

e

^x

+e

^−x

∫ _dϑ

1 −cos ϑ

∫ √ _1+x

1 −x dx ∫ _dϑ

a

²

+cos

²

ϑ

11. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/Appunti10.pdf studiare il § 4 del capitolo 9 Integrale di Riemann.

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Argomenti 16 novembre 2017

1. Esercizio. Svolgere gli studi di funzione dai temi d’esame.

Come si deve scegliere x perch´ e l’area della parte colorata sia minima oppure massima? (x deve soddisfare un’opportuna limitazione inferiore).

3. Esercizio. Una retta passa per il punto (a, b) del primo quadrante e interseca in A e in B gli assi cartesiani. Mostrare che la minima lunghezza di AB ` e (a

+ b

)

e che la minima lunghezza di OA + OB

`

e (a

+ b

) 2 . Osservare che il segmento di minima lunghezza ` e tangente all’asteroide passante per (a, b).

4. Esercizio. Usando 24 metri di ﬁl di ferro, si vogliono costruire le facce laterali di una gabbia a forma di parallelepipedo con base quadrata come mostrato in ﬁgura. Quali devono essere le dimensioni del parallelepipedo per ottenere il volume massimo?

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5. Esercizio. Studiare le isoterme dell’equazione di Van der Waals:

( p + a

v 2 )

(v − b) = RT con a, b, R costanti positive ﬁssate.

6. Esercizio. Studiare i graﬁci delle seguenti curve:

y = x 3 − 3x y = e −x sin x

y = (x − 1) 2 (x − 2) 3 y = x 2 e x y = sin x + 1 2 sin 2x y 2 − x 4 + x 6 = 0

(y − x 2 ) 2 − x 5 = 0 y = 1 −sin x cos x

7. Esercizio. Sia f : [ 1 2 , + ∞[→ [ √ 2 2 , + ∞[ la funzione definita dalla formula f(x) = x x . Dimostrare che f ` e un diffeomorfismo (cio` e biiettiva, derivabile con inversa derivabile). Calcolare poi (f −1 ) ′ (4).

Proposizione 1 Sia f una funzione derivabile su un intervallo I. Se f ′ (x) = 0 per ogni x ∈ I, allora f ` e costante.

Dimostrazione. Sia a un punto di I; per ogni x ∈ I \ {a}, per il teorema di Lagrange esiste un punto c che dipende da x tale che:

f (x) − f(a) = (x − a)f ′ (c) = 0, per cui f (x) = f (a) per ogni x ∈ I.

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Corollario 2 Siano F (x) e G(x) due primitive di una funzione continua g(x) deﬁnita su un intervallo I.

Allora F e G diﬀeriscono per una costante.

Dimostrazione. (F − G) ′ = F ′ − G ′ = 0.

Precisazione. Se s(t) ` e una funzione derivabile, con la frase diﬀerenziale di s si intendono due concetti distinti (analogamente all’espressione derivata):

• ﬁssato t 0 , il (ds)(t 0 ) = s ′ (t 0 ) dt indica la funzione lineare della variabile dt che ad ogni incremento dt associa l’incremento della variabile dipendente s lungo la retta tangente, che vale s ′ (t 0 ) dt.

• la funzione della variabile t deﬁnita da

d s(t) = s ′ (t) dt

`

e la forma diﬀerenziale che ad ogni valore di t associa la funzione “diﬀerenziale di s in t” (abbiamo una funzione che ad ogni t associa una funzione).

In questa seconda accezione useremo nel seguito la parola diﬀerenziale.

Diﬀerenziali e integrazione per sostituzione.

Data una funzione f (x) continua su un intervallo I, prendiamo una sua primitiva F (x). Il diﬀerenziale di F (x) ` e:

d F (x) = F ′ (x) dx = f (x) dx

Per questo motivo diciamo che F (x) ` e una primitiva del diﬀerenziale f (x) dx. L’insieme delle primitive del diﬀerenziale f (x) dx si indica con il simbolo:

∫

f (x) dx

e sappiamo che tale insieme ` e deﬁnito dalla primitiva F (x) a meno di funzioni costanti su I.

Se nel diﬀerenziale f (x) dx operiamo il cambiamento di variabile x = g(t) otteniamo:

f (g(t)) d g(t) = f (g(t))g ′ (t) dt (1)

Se invece operiamo il cambiamento di variabile nella primitiva F (x), ottenendo la funzione F (g(t)), e poi determiniamo il diﬀerenziale di questa funzione, otteniamo:

d F (g(t)) = d dt

( F (g(t)) ) dt =

( d dx F (x)

)

x=g(t)

· g ′ (t) dt = f (g(t)) g ′ (t) dt

che ` e lo stesso diﬀerenziale ottenuto in (1).

Morale: se nella primitiva F (x) del differenziale f (x) dx facciamo il cambiamento di variabile indipenden- te e poi calcoliamo il differenziale otteniamo lo stesso risultato che operando il cambiamento di variabile indipendente nel differenziale f (x) dx. Quindi:

se F (x) ` e una primitiva di f (x) dx allora F (g(t)) ` e una primitiva di f (g(t)) g ′ (t) dt, cio` e:

(∫

f (x) dx )

x=g(t)

=

∫

f (g(t)) g ′ (t) dt

che ` e la formula di integrazione per sostituzione.

Essa pu` o essere utilizzata in entrambi i sensi, e dice che l’integrale di un diﬀerenziale commuta con il cambiamento di variabile indipendente.

2

) ² . Osservare che il segmento di minima lunghezza ` e tangente all’asteroide passante per (a, b).

v ² )

y = x ³ − 3x y = e ^−x sin x

y = (x − 1) ² (x − 2) ³ y = x ² e ^x y = sin x + ¹ ₂ sin 2x y ² − x ⁴ + x ⁶ = 0

(y − x ² ) ² − x ⁵ = 0 y = ₁ _{−sin x} ^{cos x}

7. Esercizio. Sia f : [ ¹ ₂ , + ∞[→ [ ^√ ₂ ² , + ∞[ la funzione definita dalla formula f(x) = x ^x . Dimostrare che f ` e un diffeomorfismo (cio` e biiettiva, derivabile con inversa derivabile). Calcolare poi (f ⁻¹ ) ^′ (4).

Proposizione 1 Sia f una funzione derivabile su un intervallo I. Se f ^′ (x) = 0 per ogni x ∈ I, allora f ` e costante.

f (x) − f(a) = (x − a)f ^′ (c) = 0, per cui f (x) = f (a) per ogni x ∈ I.

Dimostrazione. (F − G) ^′ = F ^′ − G ^′ = 0.

• ﬁssato t 0 , il (ds)(t 0 ) = s ^′ (t 0 ) dt indica la funzione lineare della variabile dt che ad ogni incremento dt associa l’incremento della variabile dipendente s lungo la retta tangente, che vale s ^′ (t 0 ) dt.

d s(t) = s ^′ (t) dt

d F (x) = F ^′ (x) dx = f (x) dx

f (g(t)) d g(t) = f (g(t))g ^′ (t) dt (1)

· g ^′ (t) dt = f (g(t)) g ^′ (t) dt

se F (x) ` e una primitiva di f (x) dx allora F (g(t)) ` e una primitiva di f (g(t)) g ^′ (t) dt, cio` e:

f (g(t)) g ^′ (t) dt

∫ arcsin x dx ∫ ₁

∫ e ^αx cos(βx) dx ∫

e ^αx sin(βx) dx

∫ x ⁵ log x dx ∫ _{log x}

∫ ₁

e ⁻

dx ∫ ₁

∫ √ a ² − x ² dx ∫ √

a ² + x ² dx

∫ √ x ² − a ² dx ∫

∫ _dx

∫ _dϑ

∫ √ _1+x

1 −x dx ∫ _dϑ