Sintesi sul piano di Nyquist

Sintesi sul piano di Nyquist

a) Sintesi di una rete anticipatrice. Specifica: margine di fase M_ϕ = 60^o.

A

ω

G(jω) ω₁

ω₂

M_ϕ = 60^o α = |GO|

B

G

G_c(jω)

−1 O

• Sistema G(s) e rete correttrice C(s):

G(s) = 25

s(s + 1)(s + 10), → C(s) = (1 + 0.806s) (1 + 0.117s)

• Per portare il punto A

A = G(jω_A) = M_Ae^jϕA, → M_A = 0.538 ϕ_A = 194.9^o nel punto B

B = e^j(π+Mϕ) → MB = 1, ϕB = π + Mϕ = 240^o la rete anticipatrice deve amplificare e anticipare di

M = MB

M_A = 1

M_A = 1.8587, ϕ = ϕ_B − ϕ^A = 45.1^o

• Risposte temporali dei sistemi G(s) e C(s)G(s) retroazionati:

0 5 10 15

0 0.5 1 1.5

risposta nel tempo

secondi

L’utilizzo di una rete anticipatrice ha migliorato sia il transitorio (diminu- endo la sovraelongazione) che la prontezza del sistema (il tempo di salita

`e pi`u basso).

• Il luogo delle radici dei due sistemi retroazionati:

−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4

−10

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8 10

luogo delle radici

La presenza della rete anticipatrice ha sensibilmente spostato verso il semipiano negativo i poli dominanti del sistema retroazionato.

b) Sintesi di una rete ritardatrice. Specifica: margine di fase: M_ϕ = 60^o.

A B

G(jω) G

ω2

ω₁ M_ϕ = 60^o

ω Gc(jω)

−1 O

• Sistema G(s) e rete correttrice C(s):

G(s) = 5000

(s + 1)(s + 2)(s + 10)(s + 30), → C(s) = (1 + 1.04s) (1 + 6.25s)

• Per portare il punto A

A = G(jω_A) = M_Ae^jϕA, → M^A = 4.672, ϕ_A = 271.82^o nel punto B

B = e^j(π+Mϕ) → M_B = 1, ϕ_B = π + Mϕ = 240^o la rete correttrice deve attenuare e ritardare di

M = M_B MA

= 1 MA

= 0.214, ϕ = ϕ_B − ϕ^A = −31.82^o

• Sostituendo i parametri M, ϕ e ω^A = 1.16 nelle formule di inversione si ottengono i seguenti valori dei parametri cercati: τ₁ = 1.04 e τ₂ = 6.25.

• Risposte temporali dei sistemi G(s) e C(s)G(s) retroazionati:

0 2 4 6 8 10 12 14

0 0.5 1 1.5

risposta nel tempo

secondi

L’utilizzo di una rete ritardatrice ha migliorato il transitorio diminuendo la sovraelongazione, per`o ha reso il sistema meno pronto (tempo di salita pi`u elevato).

• Il luogo delle radici dei due sistemi retroazionati:

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

luogo delle radici

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

luogo delle radici

La presenza della rete correttrice ha spostato verso il semipiano negativo i poli dominanti del sistema retroazionato aumentando contemporanea- mente il coefficiente di smorzamento δ.

c) Sintesi di una rete ritardatrice. Specifica: margine di ampiezza M_α = 5.

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

−6

−5

−4

−3

−2

−1 0 1

−1

G(jω)

G_c(jω)

O

A

B

|B|

α x

y

• Sistema G(s) e rete correttrice C(s):

G(s) = 10000

(s + 1)(s + 2)(s + 10)(s + 30), → C(s) = (1 + 0.396s) (1 + 11.42s)

• Per portare il punto A

A = G(jω_A) = M_Ae^jϕA → M_A = 3.978, ϕ_A = 224.4^o nel punto B

B = − 1

M_α → M_B = 1

M_α = 1

5, ϕ_B = −π la rete correttrice deve attenuare e ritardare di

M = M_B

M_A = 1

M_AM_α = 0.0503, ϕ = ϕB − ϕ^A = −44.4^o

• Sostituendo i parametri M, ϕ e ω^A = 2.4 nelle formule di inversione si ottengono i seguenti valori dei parametri cercati: τ₁ = 0.396 e τ₂ = 11.42.

• La sintesi della stessa rete correttrice poteva essere fatto anche sul piano di Nichols:

−300 −250 −200 −150 −100

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30 40

G(jω)

G_c(jω)

A

B

ϕA

M_A

• Le risposte al gradino unitario del sistema retroazionato senza e con rete correttrice sono le seguenti:

0 5 10 15

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Tempo (s)

Uscita

Risposta al gradino unitario

• Il sistema retroazionato, inizialmente instabile, viene stabilizzato utilizzan- do la rete correttrice.

• Esempio. Si consideri il seguente diagramma di Nyquist.

−1.2 −1.1 −1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1 0

nyquist diagram

6.8

8.2

10

12 15 18

B A

Calcolare i parametri τ₁ e τ₂ di una rete anticipatrice (τ₁ > τ₂) T (s) = 1 + τ₁s

1 + τ₂s

in modo da portare il punto A in B, cio`e in modo da imporre al sis- tema retroazionato il margine di fase M_ϕ = 45^o in corrispondenza della pulsazione ω = 8.2.

• L’ampiezza M^A e la fase ϕ_A del punto A si ottengono dal diagramma polare della funzione di risposta armonica G(jω) = MAe^jϕA in corrispon- denza della pulsazione ω = 8.2:

M_A ≃ √

0.71² + 0.176² = 0.73 ϕ_A ≃ arctan0.176

0.71 − 180 = 14 − 180 = −166^o = 194^o

• Il guadagno M e l’anticipo ϕ che la rete anticipatrice deve introdurre alla pulsazione ω = 8.2 per portare il punto A in B sono:

M = M_B

M_A = 1

0.73 = 1.37 ϕ = ϕ_B − ϕ^A = 225^o − 194^o = 31^o

• Sostituendo questi valori nelle formule di inversione si ricava τ₁ = 1.37− cos 31^o

8.2 sin 31^o = 0.1214, τ₂ = cos 31^o − _1.37¹

8.2 sin 31^o = 0.0301 per cui la rete anticipatrice cercata `e

T (s) = 1 + τ s

1 + ατ s = 1 + 0.1214s 1 + 0.0301s

• L’andamento del diagramma di Nyquist del sistema originario G(s) e del sistema compensato T (s)G(s).

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

diagramma di Nyquist

3.9

4.7

5.6

6.8

8.2 10 12

4.7 5.6

6.8 8.2

10 12

15

Progetto di reti ritardatrici: esempi.

• Consideriamo la funzione di trasferimento:

G₁(s) = 10(5 − s) s(s + 10)

• Diagramma di Nyquist:

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

diagramma di Nyquist

3.3 3.9

4.7 5.6

6.8 8.2

10 12 15

• Diagramma di Nichols:

−20 0 20 40 60 80

diagramma di Nichols

0.0022 0.0033 0.0047 0.0068 0.01 0.015 0.022 0.033 0.047 0.068 0.1 0.15 0.22 0.33 0.47 0.68 1 2.2 1.5 4.7 3.3

6.8 5.6 10 8.2 15 12 22 18 39 27 56 82 120

• Progetto con specifica sul margine di ampiezza (piano di Nyquist):

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

diagramma di Nyquist

3.3 3.9

4.7 5.6

6.8 8.2

10

12 15 18 22 33

47 82

180

1.5 1.8

2.2

2.7 3.3 4.7 8.2 18

• Determinazione del punto B:

Ma = 2 → B : MB = 1

M_a = 0.5 ϕB = −180^o

• Rete ritardatrice: scelta del punto A:

ω = 3.3 x_A = Re(A) = −1.353 y_A = Im(A) = −1.069 M_A =

q

x²_A + y_A² = 1.724 = 4.731db ϕ_A = atan2 y_A

x_A



= −141.7^o

• La rete ritardatrice che “porta” il punto A nel punto B richiesto `e carat- terizzata quindi da:

M = M_B

M_A = 0.29

ϕ = ϕ_B − ϕ^A = −38.3^o τ₁ = M − cos(ϕ)

ω sin(ϕ) = 0.2418 τ₂ = cos(ϕ) − 1/M

ω sin(ϕ) = 1.3022

• Progetto con specifica sul margine di fase (piano di Nichols):

−260 −240 −220 −200 −180 −160 −140 −120 −100

−10

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8 10

diagramma di Nichols

1.8 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12 15 18 22 27

1.2

1.5 1.8

2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12 15

• Determinazione del punto B:

M_f = 30^o → B : M_B = 1 ϕ_B = −150^o

• Rete ritardatrice: scelta del punto A:

ω = 3.3 x_A = Re(A) = −1.353 y_A = Im(A) = −1.069 M_A = 4.731db = 1.724

ϕ_A = −141.7^o

• La rete ritardatrice che “porta” il punto A nel punto B richiesto `e carat- terizzata quindi da:

M = M_B

M_A = 0.58

ϕ = ϕ_B − ϕ^A = −8.31^o τ₁ = M − cos(ϕ)

ω sin(ϕ) = 0.8585

• Progetto con specifica “mista” (piano di Nyquist):

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

diagramma di Nyquist

3.3 3.9

4.7 5.6

6.8 8.2

10 12 15

1

1.2 1.5

1.8 2.2

2.7 3.3 4.7 6.8

• Determinazione del punto B:

B : M_B = 0.5 ϕ_B = −160^o

• Rete ritardatrice: scelta del punto A:

ω = 3.3 x_A = Re(A) = −1.353 y_A = Im(A) = −1.069 MA =

q

x²_A + y_A² = 1.724 = 4.731db ϕ_A = atan2 y_A

x_A



= −141.7^o

• La rete ritardatrice che “porta” il punto A nel punto B richiesto `e carat- terizzata quindi da:

M = MB

M_A = 0.29

ϕ = ϕB − ϕ^A = −18.3^o τ₁ = M − cos(ϕ)

ω sin(ϕ) = 0.636 τ₂ = cos(ϕ) − 1/M

ω sin(ϕ) = 2.41

Progetto di reti anticipatrici: esempi.

• Consideriamo la funzione di trasferimento:

G₂(s) = 15(s + 20) s(s + 5)²

• Diagramma di Nyquist:

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

diagramma di Nyquist

3.9 4.7

5.6

6.8 8.2

• Diagramma di Nichols:

−60

−40

−20 0 20 40 60 80

diagramma di Nichols

0.0027 0.0047 0.0082 0.015 0.027 0.047 0.082 0.15 0.27 0.47 0.82 1.5 1

2.2 1.8 3.3 2.7

4.7 3.9 6.8 5.6

10 8.2 12 18 15 22 27

33 47

68 100

150 220

• Progetto con specifica sul margine di ampiezza (piano di Nyquist):

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

diagramma di Nyquist

4.7 5.6

6.8 8.2

10 12

• Determinazione del punto B:

Ma = 2 → B : MB = 1

M_a = 0.5 ϕB = −180^o

• Rete anticipatrice: scelta del punto A:

ω = 10 x_A = Re(A) = −0.264 y_A = Im(A) = 0.048 M_A =

q

x²_A + y_A² = 0.2683 = −11.43db ϕ_A = atan2 y_A

x_A



= 169.7^o

• La rete anticipatrice che “porta” il punto A nel punto B richiesto `e caratterizzata quindi da:

M = M_B

M_A = 1.8634 ϕ = ϕ_B − ϕ^A = 10.3^o τ₁ = M − cos(ϕ)

ω sin(ϕ) = 0.4917 τ₂ = cos(ϕ) − 1/M

ω sin(ϕ) = 0.25

• Progetto con specifica sul margine di fase (piano di Nyquist):

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

diagramma di Nyquist

5.6 6.8

8.2 10

12 15

3.9

4.7 5.6

6.8 8.2

• Determinazione del punto B:

Mf = 30^o → B : MB = 1 ϕB = 210^o

• Rete anticipatrice: scelta del punto A:

ω = 8.2 x_A = Re(A) = −0.4271 y_A = Im(A) = 0.037 M_A =

q

x²_A + y_A² = 0.4287 = −7.357db ϕ_A = atan2 y_A

xA



= 175^o

• La rete anticipatrice che “porta” il punto A nel punto B richiesto `e caratterizzata quindi da:

M = M_B

M_A = 2.332 ϕ = ϕ_B − ϕ^A = 35^o τ1 = M − cos(ϕ)

ω sin(ϕ) = 0.3217