POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
AO = OB = raggio della circonferenza
HK = corda (segmento che unisce 2 punti della circonferenza) AC = diametro (corda passante per il centro)
T = retta tangente (ha un punto in comune con la circonferenza) S = retta secante (ha 2 punti in comune con la circonferenza) ACB = angolo al centro che insiste sull’arco AB
APB = angolo alla circonferenza che insiste sull’arco AB
TEOREMA DEGLI ANGOLI CORRISPONDENTI
(al centro e alla circonferenza) AOB = 2 AVB oppure AVB = 1
2 AOB
Ogni angolo al centro è sempre il doppio di un qualsiasi angolo alla circonferenza ad esso corrispondente.
La somma degli angoli esterni di un poligono è sempre un angolo giro (360°).
La somma degli angoli interni di un poligono varia secondo il numero dei lati:
α + β + γ ... = (n− 2) ∙ 180°
POLIGONO INSCRITTO
Un poligono si dice inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza.
Un poligono può essere inscritto in una circonferenza se gli assi di tutti i lati s’incontrano in un punto che è il centro della circonferenza detto circocentro.
POLIGONO CIRCOSCRITTO
Un poligono si dice circoscritto a una circonferenza quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.
Un poligono si può inscrivere in una circonferenza se le bisettrici di tutti i suoi angoli s’incontrano in un unico punto che è il centro della circonferenza inscritta detto incentro.
OH = raggio della circonferenza o apotema del poligono
(segmento perpendicolare al lato che parte dal centro)
L’area di un poligono inscritto non sempre può essere definita, mentre l’area di un poligono circoscritto è data dalla seguente formula:
dove:
A (area) P (perimetro)
r (raggio della circonferenza o apotema del poligono
1. TRIANGOLI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
I triangoli sono sempre inscrivibili (circocentro) e circoscrivibili (incentro):
• Inscritto: gli assi dei lati del triangolo individuano il centro della circonferenza
• Circoscritto: le bisettrici degli angoli individuano il centro della circonferenza
TEOREMA DI DANTE: Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è sempre rettangolo.
Il teorema degli angoli al centro e alla circonferenza conferma tale caso particolare essendo AOB un angolo piatto, per cui l’angolo APB deve essere la metà poiché sono corrispondenti, cioè insistono sullo stesso arco.
2. QUADRILATERI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
I quadrilateri NON sono sempre inscrivibili o circoscrivibili a una circonferenza. Ci sono delle condizioni che permettono di stabilire quali lo sono e quali no.
TEOREMA DEGLI ANGOLI
Un quadrilatero può essere inscritto se gli angoli opposti sono supplementari e viceversa.
α + β = 180°
TEOREMA DEI LATI
Un quadrilatero può essere circoscritto se la somma dei lati opposti è uguale e viceversa.
AB + CD = AD + BC
IMP: I rettangoli sono sempre inscrivibili (circocentro) ma non circoscrivibili.
I rombi sono sempre circoscrivibili (incentro) ma non inscrivibili.
