INTEGRALI IMPROPRI

INTEGRALI IMPROPRI

Abbiamo visto chel’integrale di Riemann `e definito per funzioni limitate e su intervalli limitati.

Sia ora I ⊆ R un intervallo non necessariamente limitato e f non necessariamente limitata.

Def. Un integrale Z

I

f (x )dx si dice improprio se I `e illimitato, oppure se I `e limitato e f non `e limitata su I .

I = [1, +∞) `e illimitato ,

1 f(x)

x y

I = (0, 1] `e limitato, f `e illimitata su I .

f(x)

1 x

y

Integrale su intervalli illimitati

Def. Sia I = [a, +∞) ⊂ R, sia f localmente integrabile su I secondo Riemann e sia Fa(x ) la funzione integrale di f (t) (ricordo che Fa(a) = 0).

L’integrale improprio di f su [a, +∞) `e Z +∞

a

f (t)dt = lim

x →+∞

Z x a

f (t)dt

| {z }

F_a(x )

= lim

x →+∞F_a(x )

1 Se il limite esiste finito, diciamo che f `e integrabile in senso improprio su I o che il suo integrale improprio converge

2 se il limite esisteinfinito, diciamo chel’integrale improprio di f `e divergente

Esempi

Z ∞ 1

e^−xdx `e convergente Z ∞

1

1

xdx `e divergente Z ∞

0

cos(x )dx `e oscillante

TeoremaSe f `e una funzione positiva e localmente integrabile su [a, +∞), allora il suo integrale improprio o converge o diverge (non pu`o oscillare).

Dim. Ricordiamo che se f : [a, +∞) → R `e localmente integrabile e positiva, allora la sua funzione integrale F_a(x ) =

Z x a

f (t)dt `e monotona crescente. Per il teorema del limite di funzioni

monotone (si veda cap4a.pdf), se una funzione F_a(x ) definita in un intorno di +∞ `e monotona crescente, allora il lim

x →+∞F_a(x ) esiste e pu`o essere finito o infinito.

Oss. Se f `e positiva e lim

x →+∞f (x ) = ` > 0 o lim

x →+∞f (x ) = +∞, allora

Z +∞

f (x )dx `e divergente.

Teorema

Z +∞

1

1 t^αdt

 converge se α > 1 diverge se α ≤ 1 Dimostrazione

Z +∞

1

1 t^αdt =

= lim

x →+∞

Z x 1

1

t^αdt = lim

x →+∞







[log(t)]^x₁ se α = 1 1

1 − αt^1−αx

1 se α 6= 1

= lim

x →+∞







log(x ) se α = 1

1

1 − α(x^1−α− 1) se α 6= 1

=







+∞ se α ≤ 1

1

α − 1 se α > 1

La funzione f (t) = 1/t

per t > 1

0 2 4 6 8 10

t 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Osservazione

Il comportamento dell’integrale improprio Z +∞

1

1

t^αdt `e analogo a quello della serie armonica generalizzata

∞

X

n=1

1 n^α.

Teorema di McLaurin

Sia f : [1, +∞) → R monotona. Allora

+∞

X

n=1

f (n) e

Z +∞

1

f (x )dx

sono entrambi convergenti o divergenti.

Corollario

+∞

X

n=1

1

n^α converge ⇐⇒

Z +∞

1

1

x^αdx converge ⇐⇒ α > 1

Criteri del confronto e del confronto asintotico

A volte non `e possibile calcolare esplicitamente la funzione integrale di una funzione f data (ad es. f (x ) = e<sup>−x2</sup> non `e

integrabile elementarmente), per`o si riesce comunque a stabilire se l’integrale improprio

Z +∞

a

f (x )dx converge o diverge.

Si utilizzano criteri di confronto.

Criterio del confronto

Teorema. Siano f e g due funzioni localmente integrabili su I = [a, +∞), t.c. 0 ≤ f (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ I . Allora

0 ≤ Z +∞

a

f (x )dx ≤ Z +∞

a

g (x )dx Inoltre:

se Z +∞

a

f (x )dx diverge, allora Z +∞

a

g (x )dx diverge, se

Z +∞

a

g (x )dx converge, allora Z +∞

a

f (x )dx converge.

Es. Esaminare il comportamento dell’integrale improprio Z +∞

1

e^−x2dx .

Per x > 1 si ha x²> x , quindi −x²< −x e e^−x2 < e^−x

(ricordiamo che l’esponenziale `e una funzione crescente e che la composizione tra una funzione crescente ed una funzione decrescente `e una funzione decrescente).

Per il criterio del confronto si ha allora Z +∞

1

e^−x2dx <

Z +∞

1

e^−xdx .

Studiamo

Z +∞

1

e^−xdx = lim

x →+∞

Z x 1

e^−tdt

= lim

x →+∞[−e^−t]^x₁ = lim

x →+∞(e⁻¹− e^−x) = e⁻¹ QuindiR+∞

1 e^−xdx `e convergente e, per il criterio del confronto lo

`e ancheR+∞

1 e^−x2dx .

Criterio del confronto asintotico

Sia f localmente integrabile su I = [a, +∞) ed ∃` ∈ R \ {0} t.c.

f (x ) ∼ `

x^α per x → +∞.

Allora Z +∞

a

f (x )dx ∼ Z +∞

a

` x<sup>α</sup>dx cio`e:

Z +∞

a

f (x )dx converge ⇔ Z +∞

a

1

x^αdx converge ⇔ α > 1 Z +∞

a

f (x )dx diverge ⇔ Z +∞

a

1

x^αdx diverge ⇔ α ≤ 1 Oss. Dire f (x ) ∼ `

x^α per x → +∞ vuol dire che f si comporta

α

Es. Esaminare il comportamento dell’integrale improprio Z +∞

1

x + cos x x³+ sin xdx .

x + cos x x³+ sin x ∼ 1

x² per x → +∞.

α = 2 > 1, quindi per il criterio del confronto asintotico, l’integrale dato converge.

Es. Esaminare il comportamento degli integrali impropri Z +∞

1

arctan x x² dx ,

Z +∞

1

arctan x x dx . Es. Esaminare il comportamento dell’integrale

Z +∞

1

sin^{5 1}_x

log(x²+ 1) − 2 log(x )dx

Criterio di convergenza assoluta

Teorema. Sia f una funzione localmente integrabile su I = [a, +∞) a segno variabile e tale che

Z +∞

a

|f (x)|dx converga.

Allora anche Z +∞

a

f (x )dx converge e si ha:

Z +∞

a

f (x )dx    

≤ Z +∞

a

|f (x)|dx.

Es. Esaminare il comportamento dell’integrale Z +∞

1

cos x x² dx .

La funzione integranda f (x ) =cos x

x² `e a segno variabile, ne considero il valore assoluto.

|f (x)| =  

cos x x²

  ≤ 1

x², ∀x ∈ I = [1, +∞). Poich´e l’integrale improprio di _x¹2 su [1, +∞) `e convergente, per il criterio del confronto, anche

Z +∞

cos x dx

Integrali su (−∞, b] e sy R = (−∞, ∞)

Se f `e limitata e localmente integrabile su I = (−∞, b], l’integrale improprio di f su I `e definito come

Z _b

−∞

f (t)dt = lim

x →−∞

Z _b

x

f (t)dt.

Se f `e limitata e localmente integrabile su R, e c ∈ R, allora l’integrale improprio di f su R `e:

Z +∞

−∞

f (x )dx = lim

a→−∞

Z c a

f (x )dx + lim

b→+∞

Z b c

f (x )dx SE esistono finiti i due integrali impropri che compaiono a destra ALLORA l’integrale improprioR+∞

−∞ f (x )dx `e convergente

Integrali di funzioni non limitate su intervalli limitati

Sia I = [a, b), sia f una funzione localmente integrabile su I , non definita in x = b (ad es. con lim

x →b⁻f (x ) = ∞) Def. Definiamo integrale improprio di f su [a, b)

Z b a

f (t)dt = lim

x →b⁻

Z x a

f (t)dt

1 Se il limite esiste finito, diciamo che f `e integrabile in senso improprio su I o che il suo integrale improprio converge

2 se il limite esisteinfinito, diciamo chel’integrale improprio di f `e divergente

3 se il limite NON esiste, diciamo chel’integrale improprio di f

f(t)

a b t

y

OsservazioneSe I = (a, b] e f `e una funzione localmente

integrabile su (a, b], ma non necessariamente definita in x = a (ad es. con lim

x →a+f (x ) = ∞).

Def. Definiamo integrale improprio di f su (a, b]

Z b a

f (t)dt = lim

x →a⁺

Z b x

f (t)dt

1 Se il limite esiste finito, diciamo che f `e integrabile in senso improprio su I o che il suo integrale improprio converge

2 se il limite esisteinfinito, diciamo chel’integrale improprio di f `e divergente

3 se il limite NON esiste, diciamo chel’integrale improprio di f

`

e oscillante

f(t)

b t

a y

Teorema

Z 1 0

1 t^αdt

 converge se α < 1 diverge se α ≥ 1 Dimostrazione

Z 1 0

1 t^αdt =

= lim

x →0⁺

Z ₁

x

1

t^αdt = lim

x →0⁺







[log(t)]¹_x se α = 1 1

1 − αt^1−α1

x se α 6= 1

= lim

x →0⁺







− log(x) se α = 1

1

1 − α(1 − x^1−α) se α 6= 1

=





+∞ se α = 1

1 se α < 1

La funzione f (t) = 1/t

per x > 0

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

t

0 2 4 6 8 10

Confrontiamo

1

(1 − t)^α (a sinistra) e 1

t^α (a destra)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t 0

2 4 6 8 10

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

t

0 2 4 6 8 10

Fissato il valore di α, le due funzioni vanno ad infinito con la stessa velocit`a, cio`e

Z 1 1

dt conv ⇔

Z 1 1

dt conv ⇔ α < 1

Z

0

1

(1 − x )

dx = Z

0

1 x

dx

Per dimostrarlo basta applicare la sostituzione:

s = 1 − x , ds = −dx

se x = 0 ⇒ s = 1, se x = 1 ⇒ s = 0

Esercizio

Studiare Z 1

0

√ 1

1 − xdx .

L’integrale dato converge perch´e:

Z 1 0

√ 1

1 − xdx = Z 1

0

√1 xdx =

Z 1 0

1 x^1/2 Quindi α = 1/2 < 1 e si ha convergenza

R

1

(b−x )^α

dx e R

1 (x −a)^α

dx

Z b a

1

(b− x)^αdx ∼ Z 1

0

1

(1− x)^αdx = Z 1

0

1 x^αdx Z b

a

1

(x −a)^αdx ∼ Z 1

0

1

(x −0)^αdx = Z 1

0

1 x^αdx

Questi integrali convergono se α < 1 e divergono se α ≥ 1.

Criterio del confronto (su intervalli limitati)

Teorema.

Siano f e g due funzioni localmente integrabili su I = [a, b), t.c.

0 ≤ f (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ I = [a, b). Allora 0 ≤

Z b a

f (t)dt ≤ Z b

a

g (t)dt

e: se Z b

a

f (t)dt diverge, allora Z b

a

g (t)dt diverge se

Z b a

g (t)dt converge, allora Z b

a

f (t)dt converge.

Criterio del confronto asintotico (prima parte)

f(t)

a b t

y

Sia f localmente integrabile su I = [a, b) ed ∃` ∈ R \ {0} t.c.

f (x ) ∼ `

(b − x )^α per x → b⁻. Allora

Z b a

f (x )dx converge ⇔ Z b

a

1

(b − x )^αdx converge ⇔ α < 1 Z b

a

f (x )dx diverge ⇔ Z b

a

1

(b − x )^αdx diverge ⇔ α ≥ 1

(seconda parte)

f(t)

b t

a y

Sia f localmente integrabile su I = (a, b] ed ∃` ∈ R \ {0} t.c.

f (x ) ∼ `

(x − a)^α per x → a⁺. Allora

Z b a

f (x )dx converge ⇔ Z b

a

1

(x − a)^αdx converge ⇔ α < 1 Z b

a

f (x )dx diverge ⇔ Z b

a

1

(x − a)^αdx diverge ⇔ α ≥ 1

Esercizio

Es. Esaminare il comportamento dell’integrale Z 4

2

1

x³− 4x²+ 4xdx .

Riferimenti bibliografici sull’argomento: Canuto Tabacco, cap.10.1