23/10/2015
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Polinomio di Taylor
Data una funzione f derivabile n volte in x0, esiste uno e un solo polinomio Tn (x) di grado ≤ n con la proprietà che
Tale polinomio si chiama polinomio di Taylor ed è
Polinomio di centro x0 e grado n
Approssimazione di funzioni con polinomi
).
( )
( , ), ( ) ( ), ( )
(x0 f x0 T x0 f x0 T( ) x0 f( ) x0
Tn n n n
n n
n x x
n x x f
x x x f
x x f x f x
T ( )
! ) ) (
2 ( ) ) (
)(
( ) ( )
( 0 0
) ( 2
0 0
0 0
0
Approssimazione di funzioni con polinomi
Se x0=0 Tn(x) è detto polinomio di Mac Laurin di grado n.
Rn(x) = errore che si commette quando si approssima f(x) con Tn(x):
Si ha:
a) per x→x0, Formula di Peano
cioè
n
k
k k
n x x
k x x f
T
0
0 0
) (
)
! ( ) ) (
(
) ( ) ( )
(x f x T x
Rn n
) ) ((
)
( 0 n
n x o x x
R
) 0 (
) lim (
0
0
n
n x
x x x
x R
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Approssimazione di funzioni con polinomi
b) Se f è derivabile n+1 volte in (a,b) escluso al più x0,
:
), ,
(
a b c compreso tra x e x
0x
1 0 )
1 (
) )! (
1 (
) ) (
(
n n
n x x
n c x f
R Formula di Lagrange
Esempio.
y=sinx in x=0, solo potenze dispari
n
k
k k
n k
x x T
0
1 2 1
2 ( ) ( 1) (2 1)!
x x T
1( )T1(x)
! ) 3
(
3 3
x x x
T
! 5
! ) 3
(
5 3 5
x x x
x
T
T3(x) T5(x)
Approssimazione di funzioni con polinomi
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Esempio
y=cosx in x=0 solo potenze pari
n
k
k k
n k
x x T
0
2
2 ( ) ( 1) (2 )!
1 )
0(x T
! 1 2 ) (
2 2
x x
T
T0(x)
T2(x) T4(x)
! 4
! 1 2 ) (
4 2 4
x x x
T
Approssimazione di funzioni con polinomi
Analogamente in x0=0, si ottiene
) ( )
1 3 (
) 2 1
ln( 1
3 2
x n R
x x
x x
x n
n
n
)
! (
! 3 1 2
3 2
x n R
x x
x x
e n
n
x
) 1 (
) 2 1 5 (
3 2 1
1 2 5
3
x n R
x x
x x
arctgx n
n n
Approssimazione di funzioni con polinomi
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Approssimazione di funzioni con polinomi Esercizio
Scrivere il polinomio di Mac Laurin di grado 2 che approssima f(x)=ln(1-3x)
Uso della formula di Taylor e Mac Lauri nel calcolo dei limiti
Esercizio
Utilizzando la formula di Mac Laurin calcolare
x x x
x sin
1 lim 12
0
