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SUPERFICIE NELLO SPAZIO, LORO AREA. FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES

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(1)

SUPERFICIE

NELLO SPAZIO, LORO AREA.

FORMULE DELLA DIVERGENZA

E DI STOKES

(2)

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

Superficie nello Superficie nello spazio. Loro area spazio. Loro area

Formule della Formule della

divergenza e di Stokes divergenza e di Stokes

(3)

SUPERFICIE

NELLO SPAZIO.

LORO AREA

(4)

Già abbiamo incontrato le superficie Già abbiamo incontrato le superficie in in RR33 come grafico di una funzione. come grafico di una funzione.

Converrà presentare altri modi per Converrà presentare altri modi per

descrivere una superficie;

descrivere una superficie;

precisamente ci occuperemo precisamente ci occuperemo

della loro

della loro rappresentazionerappresentazione implicita

implicita come superficie di livello come superficie di livello di una funzione

di una funzione f(x,y,z) f(x,y,z) e dellae della loro

loro rappresentazione parametricarappresentazione parametrica

(5)

x  x(u,v) y  y(u,v)

z  z(u,v)



 

 

con con x(u,v), y(u,v), z(u,v)x(u,v), y(u,v), z(u,v) funzioni funzioni

definite sulla chiusura di un aperto definite sulla chiusura di un aperto

connesso

connesso E E  R R22, che supporremo , che supporremo sufficientemente regolari:

sufficientemente regolari:

tipicamente di classe

tipicamente di classe C1(E)

(6)

Cominciamo ad occuparci delle Cominciamo ad occuparci delle

superficie in forma implicita. Sia superficie in forma implicita. Sia

Dunque data una funzione

Dunque data una funzione f:f: AA  R R3 3  RR,, che supporremo sufficientemente

che supporremo sufficientemente regolare: solitamente funzione di regolare: solitamente funzione di

classe

classe C1(A)

Per il teorema di Dini sulle funzioni Per il teorema di Dini sulle funzioni

implicite sappiamo che se

implicite sappiamo che se f(xf(x00,y,y00,z,z00))

= 0= 0 e e ffzz(x(x00,y,y00,z,z00)) ≠ 0≠ 0, allora esistono un , allora esistono un intorno

intorno UU di di (x(x00,y,y00)) e uno e uno V V di di zz00, tali , tali che l’insieme dei punti che soddisfano che l’insieme dei punti che soddisfano

(7)

in in U U  V V è il grafico di una funzione è il grafico di una funzione z = g(x,y)

z = g(x,y), definita su , definita su UU e a valori e a valori in in VV, di classe C, di classe 1(U)

Dunque, sotto ipotesi di sufficiente Dunque, sotto ipotesi di sufficiente

regolarità, un’equazione

regolarità, un’equazione f(x,y,z) = 0f(x,y,z) = 0 è in grado di descrivere una

è in grado di descrivere una superficie in

superficie in RR33

Determiniamo l’equazione del piano Determiniamo l’equazione del piano

tangente a una superficie tangente a una superficie

implicitamente definita in un suo implicitamente definita in un suo

(8)

Consideriamo una curva regolare che Consideriamo una curva regolare che giace sulla superficie e che passa per giace sulla superficie e che passa per

il punto

il punto (x(x00,y,y00,z,z00))TT

Tale curva abbia equazioni Tale curva abbia equazioni

parametriche

parametriche x = x(t)x = x(t), , y = y(t)y = y(t), , z = z(t)

z = z(t). Deve accadere che. Deve accadere che F(t) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0

F(t) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0 per ogni per ogni tt in in [0,1][0,1] e, per esempio, e, per esempio, x(0) =x(0) = xx0 0 , ,

y(0) =

y(0) = yy0 0 e e z(0) =z(0) = zz0 0 . .

(9)

Poiché necessariamente

Poiché necessariamente F’(t) = 0F’(t) = 0,, è, in particolare,

è, in particolare, F’(0) = 0F’(0) = 0; ma ; ma F’(0) =

F’(0) = <grad f(x(0),y(0),z(0)), <grad f(x(0),y(0),z(0)), (x’(0),y’(0),z’(0))

(x’(0),y’(0),z’(0))TT > = 0 > = 0

Dunque ogni vettore tangente alla Dunque ogni vettore tangente alla

superficie e passante per

superficie e passante per (x(x00,y,y00,z,z00))TT è ortogonale a

è ortogonale a grad f(xgrad f(x00,y,y00,z,z00)) Ma i vettori ortogonale a un Ma i vettori ortogonale a un

assegnato vettore di

assegnato vettore di RR33 stanno tutti stanno tutti su uno stesso piano.

su uno stesso piano.

(10)

Questo piano si dice il

Questo piano si dice il piano tangentepiano tangente alla superficie in

alla superficie in (x(x00,y,y00,z,z00))TT

Dunque l’equazione del piano Dunque l’equazione del piano

tangente alla superficie

tangente alla superficie f(x,y,z) = 0f(x,y,z) = 0 in in (x(x00,y,y00,z,z00))T T è in termini vettorialiè in termini vettoriali

f (x0, y0, z0 ),(x  x0, y  y0, z  z0)T  0

(11)

ossia, esplicitamente:

ossia, esplicitamente:

(∂(∂xxf)f)00(x-x(x-x00) + (∂) + (∂yyf)f)00(y-y(y-y00) + ) +

(∂(∂zzf)f)00(z-z(z-z00) = 0) = 0 Dove

Dove (∂(∂xxf)f)0 0 indica la derivata indica la derivata parziale di

parziale di ff rispetto a rispetto a xx calcolata in calcolata in (x(x00,y,y00,z,z00))TT e notazioni analoghe per e notazioni analoghe per

le altre derivate parziali.

le altre derivate parziali.

Il vettore

Il vettore grad f(xgrad f(x00,y,y00,z,z00)) è normale è normale alla superficie

alla superficie f(x,y,z) = 0f(x,y,z) = 0 nel punto nel punto (x(x00,y,y00,z,z00))TT

(12)

Supponiamo ora che una superficie Supponiamo ora che una superficie

 sia data in forma parametricasia data in forma parametrica

: E : E  R R2 2  RR33

con con (u,v) (u,v)  E E e e (u,v) = (u,v) = ( x(u,v), y(u,v),

( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )z(u,v) )TT Diremo che la superficie

Diremo che la superficie  è è regolareregolare se è di classe

se è di classe C1(E) e inoltre la matrice e inoltre la matrice jacobiana ha caratteristica massima,

jacobiana ha caratteristica massima, cioè

cioè 22, in ogni punto interno di , in ogni punto interno di EE..

(13)

x

u

y

u

z

u

x

v

y

v

z

v

 





 



Esempi di questa situazione sono:

Esempi di questa situazione sono:

(u,v) = (R sen u cos v, R sen u sen v,(u,v) = (R sen u cos v, R sen u sen v, R cos u)

R cos u)T T , , E = [0, π]E = [0, π]  [0, 2π] [0, 2π] : :

(sfera di centro l’origine e raggio

(sfera di centro l’origine e raggio RR))

(14)

Una superficie si dirà semplice se Una superficie si dirà semplice se (u(u11,v,v11))TT ≠≠ (u(u22,v,v22))TT implica implica (u(u11,v,v11) ≠) ≠

(u(u22,v,v22) ) quando almeno uno dei due quando almeno uno dei due punti è interno ad

punti è interno ad EE

Consideriamo una superficie regolare Consideriamo una superficie regolare

semplice e un punto

semplice e un punto (u(u00,v,v00))TT  E E. Al . Al variare di

variare di uu in modo che in modo che (u,v(u,v00))TT  E E otteniamo una linea d’equazione otteniamo una linea d’equazione

(u, v(u, v00) ) che giace su che giace su  e passa pere passa per

(u(u00, v, v00)). Analogamente troveremo. Analogamente troveremo

(15)

una linea d’equazione

una linea d’equazione (u(u00, v) , v) che che giace su

giace su  e passa per e passa per (u(u00, v, v00)). Tali . Tali linee si diranno

linee si diranno linee coordinatelinee coordinate della della superficie passanti per

superficie passanti per xx0 0 = = (u(u00, v, v00)). . Per le ipotesi fatte sul rango della

Per le ipotesi fatte sul rango della matrice jacobiana, sappiamo che i matrice jacobiana, sappiamo che i

due vettori

due vettori uu(u(u00, v, v00) ) ee vv(u(u00, v, v00)) sono sono linearmente indipendenti e sono

linearmente indipendenti e sono tangenti alla superficie. Il vettore tangenti alla superficie. Il vettore

uu(u(u00, v, v00) ) V vv(u(u00, v, v00) ) è ortogonale a è ortogonale a 

(16)

L’equazione del piano tangente si L’equazione del piano tangente si

ottiene sviluppando il determinante ottiene sviluppando il determinante

x  x0 y  y0 z  z0 xu(u0,v0) yu(u0,v0) zu(u0,v0) xv(u0,v0) yv(u0,v0) zv(u0,v0)

 0

(17)

N = - f

N = - fuu e e11 - f - fvv e e22 + e + e33 Il vettore ha norma

Il vettore ha norma

|N| = √[1+|grad f||N| = √[1+|grad f|22]] Il versore normale è

Il versore normale è n = N/|N|n = N/|N|

Se, in particolare, la superficie è Se, in particolare, la superficie è

data in forma cartesiana,

data in forma cartesiana, x = ux = u, , y = v

y = v, , z = f(u,v)z = f(u,v), il vettore normale, il vettore normale è è (1,0,f(1,0,fuu))T T V (0,1,f(0,1,fvv))T T ==

(18)

Vogliamo ora occuparci del problema Vogliamo ora occuparci del problema

della definizione dell’area di una della definizione dell’area di una

superficie regolare. Il problema non è superficie regolare. Il problema non è

banale, poiché l’idea intuitiva di banale, poiché l’idea intuitiva di

approssimare una superficie con tratti approssimare una superficie con tratti

di superficie triangolare, prendendo di superficie triangolare, prendendo

il sup di queste aree, non è praticabile.

il sup di queste aree, non è praticabile.

Infatti semplici esempi mostrano Infatti semplici esempi mostrano

come anche un cilindro possa essere come anche un cilindro possa essere

avvolto con carta sufficientemente avvolto con carta sufficientemente

““increspata” in modo che il sup sia +∞increspata” in modo che il sup sia +∞

(19)

Partendo dall’osservazione che l’area Partendo dall’osservazione che l’area

di un parallelogramma delimitato da di un parallelogramma delimitato da

due vettori

due vettori aa e e bb è data dal modulo è data dal modulo del prodotto vettoriale di

del prodotto vettoriale di aa e e bb, , definiremo

definiremo elemento d’areaelemento d’area sulla sulla superficie

superficie  come seguecome segue

d |

u V

v

|dudv

Cioè

Cioè d d  = |N| dudv = |N| dudv

(20)

Data una superficie regolare semplice Data una superficie regolare semplice

 d’equazione d’equazione  : E : E  R R2 2  RR3 3 definiremo

definiremo area della superficiearea della superficie il il valore del seguente integrale

valore del seguente integrale

A ()  

E

|

u V

v

| dudv  |N | dudv 

E

Se Se  è data in forma cartesiana è data in forma cartesiana esplicita

esplicita

A ()   1  | f |

2

dxdy

(21)

Se Se  è la sfera di centro l’origine e è la sfera di centro l’origine e raggio R, avente l’equazione

raggio R, avente l’equazione

parametrica già ricordata, si trova parametrica già ricordata, si trova d d  = R = R22 sen u dudv sen u dudv , con , con 0 ≤ u ≤ π0 ≤ u ≤ π e e 0 ≤ v ≤ 2 π0 ≤ v ≤ 2 π. L’area è. L’area è

A ()  R

2

senudu dv  4R

2

0 2

0

(22)

Supponiamo che sia data una linea Supponiamo che sia data una linea

nel piano

nel piano x zx z, , x ≥ 0x ≥ 0, d’equazione , d’equazione

(u) = (x(u),z(u))(u) = (x(u),z(u))TT , , u u  [a,b] [a,b] . Se . Se

facciamo rotare questa linea intorno facciamo rotare questa linea intorno

all’asse

all’asse zz di un angolo di un angolo   ]0,2 π] ]0,2 π] , , otteniamo una

otteniamo una figura di rotazionefigura di rotazione.. Ricordiamo che

Ricordiamo che

x  xds

l(  )

(23)

dà l’ascissa del baricentro della curva dà l’ascissa del baricentro della curva

 . L’equazione della superficie di . L’equazione della superficie di rotazione è

rotazione è

(u,v) = (x(u) cos v,x(u) sen v,z(u))(u,v) = (x(u) cos v,x(u) sen v,z(u))TT con

con E = [a,b] E = [a,b]  [0, [0,] ]

uu(u(u00, v, v00) ) vv(u(u00, v, v00) =) =

(- x(u)z’(u) cos v, -x(u)z’(u) sen v, (- x(u)z’(u) cos v, -x(u)z’(u) sen v,

x(u) x’(u) ) x(u) x’(u) )TT

V V

e il modulo è e il modulo è

(24)

| u  v |  x 2(u)  z 2(u)x(u) |  (u) | x(u) Ma Ma

CioèCioè

A ()  x  l()

A ()  |   (u)| dudv x(u)ds



E x(u)

(25)

Quanto abbiamo appena enunciato Quanto abbiamo appena enunciato

è il

è il Primo teorema di Pappo-GuldinoPrimo teorema di Pappo-Guldino L’area di una superficie di rotazione L’area di una superficie di rotazione

ottenuta rotando di un angolo

ottenuta rotando di un angolo   ]0,2 π]

]0,2 π] attorno all’asse attorno all’asse zz una curva una curva regolare semplice

regolare semplice  è data da è data da

A ()  x  l()

dove

dove xx è l’ascissa del baricentro di è l’ascissa del baricentro di

(26)

L’area del toro ottenuto rotando L’area del toro ottenuto rotando

intorno all’asse

intorno all’asse zz un cerchio di raggio un cerchio di raggio rr nel piano nel piano x zx z , cerchio a distanza , cerchio a distanza

R > r

R > r con centro sull’asse con centro sull’asse xx è è A(T) = 2π R (2π r) = 4 π

A(T) = 2π R (2π r) = 4 π22 R r R r

(27)

0 1 0.5

0 -0.5

-1

0

2 3 0 1

-2 -1 -3

0

3 2

1 0

-1 -2

-3

(28)

RR

++ rr

xx zz

(29)

EE

xx zz

(30)

Sia Sia EE un dominio del piano un dominio del piano x, zx, z , con , con x ≥ 0

x ≥ 0, e lo si faccia rotare di un , e lo si faccia rotare di un angolo

angolo   ]0,2 π] ]0,2 π] , intorno all’asse , intorno all’asse zz.. Vogliamo determinare il volume del Vogliamo determinare il volume del

solido di rotazione

solido di rotazione SS generato da generato da EE..

Sia Sia D = ED = E  [0, [0,] ] e sia e sia F: DF: D  S S data data da da F(u,v,w) = (u cos w, u sen w, v)F(u,v,w) = (u cos w, u sen w, v)TT

che ha determinante jacobiano che ha determinante jacobiano

= u > 0

= u > 0

(31)

Allora Allora

V (S)  1dxdydz  u dudvdw



D



S

 dw ududv  xdm

E



E 0

 x  m(E)

dove

dove xx è l’ascissa del baricentro è l’ascissa del baricentro

(32)

Secondo teorema di Pappo - Guldino Secondo teorema di Pappo - Guldino

Il volume di un solido di rotazione Il volume di un solido di rotazione SS

ottenuto rotando di un angolo ottenuto rotando di un angolo

  ]0,2 π]]0,2 π] , intorno all’asse , intorno all’asse zz un un dominio

dominio EE, contenuto nel piano , contenuto nel piano x, zx, z, , con con x ≥ 0x ≥ 0 è dato da è dato da

V(S) =

V(S) =  x m(E) x m(E) dove

dove xx è l’ascissa del baricentro è l’ascissa del baricentro geometrico di

geometrico di EE..

(33)

Applicato al toro, questo teorema Applicato al toro, questo teorema

ci dà il volume ci dà il volume

V(T) = 2πR π r

V(T) = 2πR π r2 2 = 2π= 2π22 R r R r22

(34)

FORMULE DELLA DIVERGENZA

E DI STOKES

(35)

Una superficie regolare

Una superficie regolare  si può si può orientare localmente scegliendo orientare localmente scegliendo

come positivo uno dei due come positivo uno dei due

orientamenti possibili del orientamenti possibili del

vettore normale

vettore normale N N o o -N-N. In . In

generale si potrà dire che è data, generale si potrà dire che è data,

almeno localmente, un’orientazione almeno localmente, un’orientazione

positiva se in un intorno di uno positiva se in un intorno di uno

stesso punto è assegnata stesso punto è assegnata

un’orientazione dell vettore un’orientazione dell vettore

normale.

normale.

(36)

Il vettore normale, se la superficie Il vettore normale, se la superficie è regolare, varia in modo continuo è regolare, varia in modo continuo

con il punto nel quale è calcolato.

con il punto nel quale è calcolato.

Se, al variare del punto sulla Se, al variare del punto sulla

superficie

superficie nn è una funzione continua è una funzione continua su tutta la superficie, allora la

su tutta la superficie, allora la superficie

superficie  si dice si dice orientabileorientabile..

(37)

Sfortunatamente esistono superficie Sfortunatamente esistono superficie

non orientabili

non orientabili qualiquali ilil nastro di Möbius

nastro di Möbius

0 1

0.5

0

-0.5

-1 0

2 1 0 -1 -2 0

1 0

-1 -2

(38)

Il nastro di Möbius ha equazioni Il nastro di Möbius ha equazioni

con con 0 ≤ v ≤ 2π0 ≤ v ≤ 2π e e -1 ≤ u ≤ 1-1 ≤ u ≤ 1, , r > hr > h

2 ) ( 1 )

, (

) ( 2 ))

cos( 1 (

) , (

) cos(

2 )) cos( 1 (

) , (

v sen

hu v

u z

v sen v

hu r

v u y

v v

hu r

v u x

(39)

Ma molte superficie sono orientabili Ma molte superficie sono orientabili

come la sfera o come le superficie come la sfera o come le superficie

che delimitano un dominio normale che delimitano un dominio normale

rispetto al piano

rispetto al piano x yx y.. Data una funzione

Data una funzione f : Af : A  R R3 3  R R , , ff continua, e data una superficie continua, e data una superficie

regolare con sostegno

regolare con sostegno  == (E) (E)  A A , , definiremo l’integrale superficiale di definiremo l’integrale superficiale di ff esteso a esteso a , come segue, come segue

(40)

fd f ( 

E



(u,v)) |

u V

v

| dudv

Se indichiamo con

Se indichiamo con E = |E = | uu||2 , con, con

GG = |= | vv||2, e con , e con F = < F = < uu, , vv> > si trova si trova che che

|

u V

v

| E  G  F

2

(41)

Sia dato un dominio regolare Sia dato un dominio regolare DD

normale rispetto al piano

normale rispetto al piano x yx y, ,

delimitato da due superficie di classe delimitato da due superficie di classe C1(A), ,,  : A: A  R R2 2  RR e sia e sia Z(x,y,z)Z(x,y,z)

una funzione continua con la sua una funzione continua con la sua

derivata rispetto a

derivata rispetto a zz su un aperto su un aperto  contente

contente DD. .

Allora vale il seguente Allora vale il seguente

(42)

Teorema

(Formula di Gauss)

Nelle ipotesi dette in precedenza, si ha Nelle ipotesi dette in precedenza, si ha

Z

z



D

(x, y, z)dxdydz  Zn 

e

,e

3

d

(43)

Qui si è scelta come positiva la Qui si è scelta come positiva la

normale esterna. Dalla formula di normale esterna. Dalla formula di

riduzione per corde si ha riduzione per corde si ha

Z

z

D

 dxdydz  dxdy( Z

z

dz

(x,y)

(x,y)



A

)

Z(x, y,

(x, y)) dxdy  Z(x,y,

)dxdy



A A



(44)

Zn

e

, e

3

d



Più in generale, con procedimenti Più in generale, con procedimenti

analoghi, si può dimostrare che analoghi, si può dimostrare che

(Xx

D  Yy  Zz )dxdydz  (X,Y, Z)T , ned



Lo scalare

Lo scalare XXxx + Y + Yyy + Z + Zzz si dice la si dice la divergenza

divergenza del campo del campo F =F = (X,Y,Z)(X,Y,Z)T T ::

(45)

Dunque la divergenza di un campo Dunque la divergenza di un campo

su un dominio

su un dominio DD uguaglia il flusso uguaglia il flusso uscente dalla superficie laterale

uscente dalla superficie laterale

Infine abbiamo il teorema di Stokes Infine abbiamo il teorema di Stokes

(46)

Teorema

(Teorema di Stokes)

Sia Sia AA un dominio nel piano un dominio nel piano x yx y avente avente frontiera

frontiera AA gen. reg. e orientata gen. reg. e orientata positivamente. Sia

positivamente. Sia f(x,y)f(x,y) di classe C di classe 1(A)

(47)

Sia Sia X(x,y,z) X(x,y,z) continua con le derivatecontinua con le derivate XXyy e e XXzz su un aperto contenente su un aperto contenente f(A)f(A)..

Allora vale Allora vale

d e

n X

e n X

Xdx   ( 

y

 ,

3

 

z

 ,

2

 )

dove

dove  = f( = f(A)A)

(48)

Infatti, posto

Infatti, posto g(x,y) = X(x,y f(x,y))g(x,y) = X(x,y f(x,y)), , risulta

risulta ggyy = X = Xyy + X + Xzz f fyy Per Green

Per Green

d e

n X

e n

X

y

,

z

, )

(  

3

  

2

 

dxdy f

X X

A

y z

y

)

(  

 

 A

g dxdy gdx

Xdx   

y

  

(49)

Se Se Y(x,y,z)Y(x,y,z) e e Z(x,y,z)Z(x,y,z) soddisfano soddisfano

ipotesi analoghe con le loro derivate ipotesi analoghe con le loro derivate

opportune, e la superficie è opportune, e la superficie è

rappresentabile esplicitamente anche rappresentabile esplicitamente anche

nelle variabili

nelle variabili x, zx, z e e y, zy, z, allora, allora

 

 

rotF n dZdz

Ydy

Xdx ) ,

(

con con F = (X,Y,Z)F = (X,Y,Z)TT

(50)

AA

AA nn



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