SUPERFICIE
NELLO SPAZIO, LORO AREA.
FORMULE DELLA DIVERGENZA
E DI STOKES
Argomenti della lezione Argomenti della lezione
Superficie nello Superficie nello spazio. Loro area spazio. Loro area
Formule della Formule della
divergenza e di Stokes divergenza e di Stokes
SUPERFICIE
NELLO SPAZIO.
LORO AREA
Già abbiamo incontrato le superficie Già abbiamo incontrato le superficie in in RR33 come grafico di una funzione. come grafico di una funzione.
Converrà presentare altri modi per Converrà presentare altri modi per
descrivere una superficie;
descrivere una superficie;
precisamente ci occuperemo precisamente ci occuperemo
della loro
della loro rappresentazionerappresentazione implicita
implicita come superficie di livello come superficie di livello di una funzione
di una funzione f(x,y,z) f(x,y,z) e dellae della loro
loro rappresentazione parametricarappresentazione parametrica
x x(u,v) y y(u,v)
z z(u,v)
con con x(u,v), y(u,v), z(u,v)x(u,v), y(u,v), z(u,v) funzioni funzioni
definite sulla chiusura di un aperto definite sulla chiusura di un aperto
connesso
connesso E E R R22, che supporremo , che supporremo sufficientemente regolari:
sufficientemente regolari:
tipicamente di classe
tipicamente di classe C1(E)
Cominciamo ad occuparci delle Cominciamo ad occuparci delle
superficie in forma implicita. Sia superficie in forma implicita. Sia
Dunque data una funzione
Dunque data una funzione f:f: AA R R3 3 RR,, che supporremo sufficientemente
che supporremo sufficientemente regolare: solitamente funzione di regolare: solitamente funzione di
classe
classe C1(A)
Per il teorema di Dini sulle funzioni Per il teorema di Dini sulle funzioni
implicite sappiamo che se
implicite sappiamo che se f(xf(x00,y,y00,z,z00))
= 0= 0 e e ffzz(x(x00,y,y00,z,z00)) ≠ 0≠ 0, allora esistono un , allora esistono un intorno
intorno UU di di (x(x00,y,y00)) e uno e uno V V di di zz00, tali , tali che l’insieme dei punti che soddisfano che l’insieme dei punti che soddisfano
in in U U V V è il grafico di una funzione è il grafico di una funzione z = g(x,y)
z = g(x,y), definita su , definita su UU e a valori e a valori in in VV, di classe C, di classe 1(U)
Dunque, sotto ipotesi di sufficiente Dunque, sotto ipotesi di sufficiente
regolarità, un’equazione
regolarità, un’equazione f(x,y,z) = 0f(x,y,z) = 0 è in grado di descrivere una
è in grado di descrivere una superficie in
superficie in RR33
Determiniamo l’equazione del piano Determiniamo l’equazione del piano
tangente a una superficie tangente a una superficie
implicitamente definita in un suo implicitamente definita in un suo
Consideriamo una curva regolare che Consideriamo una curva regolare che giace sulla superficie e che passa per giace sulla superficie e che passa per
il punto
il punto (x(x00,y,y00,z,z00))TT
Tale curva abbia equazioni Tale curva abbia equazioni
parametriche
parametriche x = x(t)x = x(t), , y = y(t)y = y(t), , z = z(t)
z = z(t). Deve accadere che. Deve accadere che F(t) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0
F(t) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0 per ogni per ogni tt in in [0,1][0,1] e, per esempio, e, per esempio, x(0) =x(0) = xx0 0 , ,
y(0) =
y(0) = yy0 0 e e z(0) =z(0) = zz0 0 . .
Poiché necessariamente
Poiché necessariamente F’(t) = 0F’(t) = 0,, è, in particolare,
è, in particolare, F’(0) = 0F’(0) = 0; ma ; ma F’(0) =
F’(0) = <grad f(x(0),y(0),z(0)), <grad f(x(0),y(0),z(0)), (x’(0),y’(0),z’(0))
(x’(0),y’(0),z’(0))TT > = 0 > = 0
Dunque ogni vettore tangente alla Dunque ogni vettore tangente alla
superficie e passante per
superficie e passante per (x(x00,y,y00,z,z00))TT è ortogonale a
è ortogonale a grad f(xgrad f(x00,y,y00,z,z00)) Ma i vettori ortogonale a un Ma i vettori ortogonale a un
assegnato vettore di
assegnato vettore di RR33 stanno tutti stanno tutti su uno stesso piano.
su uno stesso piano.
Questo piano si dice il
Questo piano si dice il piano tangentepiano tangente alla superficie in
alla superficie in (x(x00,y,y00,z,z00))TT
Dunque l’equazione del piano Dunque l’equazione del piano
tangente alla superficie
tangente alla superficie f(x,y,z) = 0f(x,y,z) = 0 in in (x(x00,y,y00,z,z00))T T è in termini vettorialiè in termini vettoriali
f (x0, y0, z0 ),(x x0, y y0, z z0)T 0
ossia, esplicitamente:
ossia, esplicitamente:
(∂(∂xxf)f)00(x-x(x-x00) + (∂) + (∂yyf)f)00(y-y(y-y00) + ) +
(∂(∂zzf)f)00(z-z(z-z00) = 0) = 0 Dove
Dove (∂(∂xxf)f)0 0 indica la derivata indica la derivata parziale di
parziale di ff rispetto a rispetto a xx calcolata in calcolata in (x(x00,y,y00,z,z00))TT e notazioni analoghe per e notazioni analoghe per
le altre derivate parziali.
le altre derivate parziali.
Il vettore
Il vettore grad f(xgrad f(x00,y,y00,z,z00)) è normale è normale alla superficie
alla superficie f(x,y,z) = 0f(x,y,z) = 0 nel punto nel punto (x(x00,y,y00,z,z00))TT
Supponiamo ora che una superficie Supponiamo ora che una superficie
sia data in forma parametricasia data in forma parametrica
: E : E R R2 2 RR33
con con (u,v) (u,v) E E e e (u,v) = (u,v) = ( x(u,v), y(u,v),
( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )z(u,v) )TT Diremo che la superficie
Diremo che la superficie è è regolareregolare se è di classe
se è di classe C1(E) e inoltre la matrice e inoltre la matrice jacobiana ha caratteristica massima,
jacobiana ha caratteristica massima, cioè
cioè 22, in ogni punto interno di , in ogni punto interno di EE..
x
uy
uz
ux
vy
vz
v
Esempi di questa situazione sono:
Esempi di questa situazione sono:
(u,v) = (R sen u cos v, R sen u sen v,(u,v) = (R sen u cos v, R sen u sen v, R cos u)
R cos u)T T , , E = [0, π]E = [0, π] [0, 2π] [0, 2π] : :
(sfera di centro l’origine e raggio
(sfera di centro l’origine e raggio RR))
Una superficie si dirà semplice se Una superficie si dirà semplice se (u(u11,v,v11))TT ≠≠ (u(u22,v,v22))TT implica implica (u(u11,v,v11) ≠) ≠
(u(u22,v,v22) ) quando almeno uno dei due quando almeno uno dei due punti è interno ad
punti è interno ad EE
Consideriamo una superficie regolare Consideriamo una superficie regolare
semplice e un punto
semplice e un punto (u(u00,v,v00))TT E E. Al . Al variare di
variare di uu in modo che in modo che (u,v(u,v00))TT E E otteniamo una linea d’equazione otteniamo una linea d’equazione
(u, v(u, v00) ) che giace su che giace su e passa pere passa per
(u(u00, v, v00)). Analogamente troveremo. Analogamente troveremo
una linea d’equazione
una linea d’equazione (u(u00, v) , v) che che giace su
giace su e passa per e passa per (u(u00, v, v00)). Tali . Tali linee si diranno
linee si diranno linee coordinatelinee coordinate della della superficie passanti per
superficie passanti per xx0 0 = = (u(u00, v, v00)). . Per le ipotesi fatte sul rango della
Per le ipotesi fatte sul rango della matrice jacobiana, sappiamo che i matrice jacobiana, sappiamo che i
due vettori
due vettori uu(u(u00, v, v00) ) ee vv(u(u00, v, v00)) sono sono linearmente indipendenti e sono
linearmente indipendenti e sono tangenti alla superficie. Il vettore tangenti alla superficie. Il vettore
uu(u(u00, v, v00) ) V vv(u(u00, v, v00) ) è ortogonale a è ortogonale a
L’equazione del piano tangente si L’equazione del piano tangente si
ottiene sviluppando il determinante ottiene sviluppando il determinante
x x0 y y0 z z0 xu(u0,v0) yu(u0,v0) zu(u0,v0) xv(u0,v0) yv(u0,v0) zv(u0,v0)
0
N = - f
N = - fuu e e11 - f - fvv e e22 + e + e33 Il vettore ha norma
Il vettore ha norma
|N| = √[1+|grad f||N| = √[1+|grad f|22]] Il versore normale è
Il versore normale è n = N/|N|n = N/|N|
Se, in particolare, la superficie è Se, in particolare, la superficie è
data in forma cartesiana,
data in forma cartesiana, x = ux = u, , y = v
y = v, , z = f(u,v)z = f(u,v), il vettore normale, il vettore normale è è (1,0,f(1,0,fuu))T T V (0,1,f(0,1,fvv))T T ==
Vogliamo ora occuparci del problema Vogliamo ora occuparci del problema
della definizione dell’area di una della definizione dell’area di una
superficie regolare. Il problema non è superficie regolare. Il problema non è
banale, poiché l’idea intuitiva di banale, poiché l’idea intuitiva di
approssimare una superficie con tratti approssimare una superficie con tratti
di superficie triangolare, prendendo di superficie triangolare, prendendo
il sup di queste aree, non è praticabile.
il sup di queste aree, non è praticabile.
Infatti semplici esempi mostrano Infatti semplici esempi mostrano
come anche un cilindro possa essere come anche un cilindro possa essere
avvolto con carta sufficientemente avvolto con carta sufficientemente
““increspata” in modo che il sup sia +∞increspata” in modo che il sup sia +∞
Partendo dall’osservazione che l’area Partendo dall’osservazione che l’area
di un parallelogramma delimitato da di un parallelogramma delimitato da
due vettori
due vettori aa e e bb è data dal modulo è data dal modulo del prodotto vettoriale di
del prodotto vettoriale di aa e e bb, , definiremo
definiremo elemento d’areaelemento d’area sulla sulla superficie
superficie come seguecome segue
d |
u V
v|dudv
Cioè
Cioè d d = |N| dudv = |N| dudv
Data una superficie regolare semplice Data una superficie regolare semplice
d’equazione d’equazione : E : E R R2 2 RR3 3 definiremo
definiremo area della superficiearea della superficie il il valore del seguente integrale
valore del seguente integrale
A ()
E|
u V
v| dudv |N | dudv
ESe Se è data in forma cartesiana è data in forma cartesiana esplicita
esplicita
A () 1 | f |
2dxdy
Se Se è la sfera di centro l’origine e è la sfera di centro l’origine e raggio R, avente l’equazione
raggio R, avente l’equazione
parametrica già ricordata, si trova parametrica già ricordata, si trova d d = R = R22 sen u dudv sen u dudv , con , con 0 ≤ u ≤ π0 ≤ u ≤ π e e 0 ≤ v ≤ 2 π0 ≤ v ≤ 2 π. L’area è. L’area è
A () R
2senudu dv 4 R
20 2
0
Supponiamo che sia data una linea Supponiamo che sia data una linea
nel piano
nel piano x zx z, , x ≥ 0x ≥ 0, d’equazione , d’equazione
(u) = (x(u),z(u))(u) = (x(u),z(u))TT , , u u [a,b] [a,b] . Se . Se
facciamo rotare questa linea intorno facciamo rotare questa linea intorno
all’asse
all’asse zz di un angolo di un angolo ]0,2 π] ]0,2 π] , , otteniamo una
otteniamo una figura di rotazionefigura di rotazione.. Ricordiamo che
Ricordiamo che
x xds
l( )
dà l’ascissa del baricentro della curva dà l’ascissa del baricentro della curva
. L’equazione della superficie di . L’equazione della superficie di rotazione è
rotazione è
(u,v) = (x(u) cos v,x(u) sen v,z(u))(u,v) = (x(u) cos v,x(u) sen v,z(u))TT con
con E = [a,b] E = [a,b] [0, [0,] ]
uu(u(u00, v, v00) ) vv(u(u00, v, v00) =) =
(- x(u)z’(u) cos v, -x(u)z’(u) sen v, (- x(u)z’(u) cos v, -x(u)z’(u) sen v,
x(u) x’(u) ) x(u) x’(u) )TT
V V
e il modulo è e il modulo è
| u v | x 2(u) z 2(u)x(u) | (u) | x(u) Ma Ma
CioèCioè
A () x l( )
A () | (u)| dudv x(u)ds
E x(u)Quanto abbiamo appena enunciato Quanto abbiamo appena enunciato
è il
è il Primo teorema di Pappo-GuldinoPrimo teorema di Pappo-Guldino L’area di una superficie di rotazione L’area di una superficie di rotazione
ottenuta rotando di un angolo
ottenuta rotando di un angolo ]0,2 π]
]0,2 π] attorno all’asse attorno all’asse zz una curva una curva regolare semplice
regolare semplice è data da è data da
A () x l( )
dove
dove xx è l’ascissa del baricentro di è l’ascissa del baricentro di
L’area del toro ottenuto rotando L’area del toro ottenuto rotando
intorno all’asse
intorno all’asse zz un cerchio di raggio un cerchio di raggio rr nel piano nel piano x zx z , cerchio a distanza , cerchio a distanza
R > r
R > r con centro sull’asse con centro sull’asse xx è è A(T) = 2π R (2π r) = 4 π
A(T) = 2π R (2π r) = 4 π22 R r R r
0 1 0.5
0 -0.5
-1
0
2 3 0 1
-2 -1 -3
0
3 2
1 0
-1 -2
-3
RR
++ rr
xx zz
EE
xx zz
Sia Sia EE un dominio del piano un dominio del piano x, zx, z , con , con x ≥ 0
x ≥ 0, e lo si faccia rotare di un , e lo si faccia rotare di un angolo
angolo ]0,2 π] ]0,2 π] , intorno all’asse , intorno all’asse zz.. Vogliamo determinare il volume del Vogliamo determinare il volume del
solido di rotazione
solido di rotazione SS generato da generato da EE..
Sia Sia D = ED = E [0, [0,] ] e sia e sia F: DF: D S S data data da da F(u,v,w) = (u cos w, u sen w, v)F(u,v,w) = (u cos w, u sen w, v)TT
che ha determinante jacobiano che ha determinante jacobiano
= u > 0
= u > 0
Allora Allora
V (S) 1dxdydz u dudvdw
D
S dw ududv xdm
E
E 0
x m(E)
dove
dove xx è l’ascissa del baricentro è l’ascissa del baricentro
Secondo teorema di Pappo - Guldino Secondo teorema di Pappo - Guldino
Il volume di un solido di rotazione Il volume di un solido di rotazione SS
ottenuto rotando di un angolo ottenuto rotando di un angolo
]0,2 π]]0,2 π] , intorno all’asse , intorno all’asse zz un un dominio
dominio EE, contenuto nel piano , contenuto nel piano x, zx, z, , con con x ≥ 0x ≥ 0 è dato da è dato da
V(S) =
V(S) = x m(E) x m(E) dove
dove xx è l’ascissa del baricentro è l’ascissa del baricentro geometrico di
geometrico di EE..
Applicato al toro, questo teorema Applicato al toro, questo teorema
ci dà il volume ci dà il volume
V(T) = 2πR π r
V(T) = 2πR π r2 2 = 2π= 2π22 R r R r22
FORMULE DELLA DIVERGENZA
E DI STOKES
Una superficie regolare
Una superficie regolare si può si può orientare localmente scegliendo orientare localmente scegliendo
come positivo uno dei due come positivo uno dei due
orientamenti possibili del orientamenti possibili del
vettore normale
vettore normale N N o o -N-N. In . In
generale si potrà dire che è data, generale si potrà dire che è data,
almeno localmente, un’orientazione almeno localmente, un’orientazione
positiva se in un intorno di uno positiva se in un intorno di uno
stesso punto è assegnata stesso punto è assegnata
un’orientazione dell vettore un’orientazione dell vettore
normale.
normale.
Il vettore normale, se la superficie Il vettore normale, se la superficie è regolare, varia in modo continuo è regolare, varia in modo continuo
con il punto nel quale è calcolato.
con il punto nel quale è calcolato.
Se, al variare del punto sulla Se, al variare del punto sulla
superficie
superficie nn è una funzione continua è una funzione continua su tutta la superficie, allora la
su tutta la superficie, allora la superficie
superficie si dice si dice orientabileorientabile..
Sfortunatamente esistono superficie Sfortunatamente esistono superficie
non orientabili
non orientabili qualiquali ilil nastro di Möbius
nastro di Möbius
0 1
0.5
0
-0.5
-1 0
2 1 0 -1 -2 0
1 0
-1 -2
Il nastro di Möbius ha equazioni Il nastro di Möbius ha equazioni
con con 0 ≤ v ≤ 2π0 ≤ v ≤ 2π e e -1 ≤ u ≤ 1-1 ≤ u ≤ 1, , r > hr > h
2 ) ( 1 )
, (
) ( 2 ))
cos( 1 (
) , (
) cos(
2 )) cos( 1 (
) , (
v sen
hu v
u z
v sen v
hu r
v u y
v v
hu r
v u x
Ma molte superficie sono orientabili Ma molte superficie sono orientabili
come la sfera o come le superficie come la sfera o come le superficie
che delimitano un dominio normale che delimitano un dominio normale
rispetto al piano
rispetto al piano x yx y.. Data una funzione
Data una funzione f : Af : A R R3 3 R R , , ff continua, e data una superficie continua, e data una superficie
regolare con sostegno
regolare con sostegno == (E) (E) A A , , definiremo l’integrale superficiale di definiremo l’integrale superficiale di ff esteso a esteso a , come segue, come segue
fd f (
E
(u,v)) |
u V
v| dudv
Se indichiamo con
Se indichiamo con E = |E = | uu||2 , con, con
GG = |= | vv||2, e con , e con F = < F = < uu, , vv> > si trova si trova che che
|
u V
v| E G F
2Sia dato un dominio regolare Sia dato un dominio regolare DD
normale rispetto al piano
normale rispetto al piano x yx y, ,
delimitato da due superficie di classe delimitato da due superficie di classe C1(A), ,, : A: A R R2 2 RR e sia e sia Z(x,y,z)Z(x,y,z)
una funzione continua con la sua una funzione continua con la sua
derivata rispetto a
derivata rispetto a zz su un aperto su un aperto contente
contente DD. .
Allora vale il seguente Allora vale il seguente
Teorema
(Formula di Gauss)
Nelle ipotesi dette in precedenza, si ha Nelle ipotesi dette in precedenza, si ha
Z
z
D(x, y, z)dxdydz Zn
e,e
3d
Qui si è scelta come positiva la Qui si è scelta come positiva la
normale esterna. Dalla formula di normale esterna. Dalla formula di
riduzione per corde si ha riduzione per corde si ha
Z
zD
dxdydz dxdy( Z
zdz
(x,y)
(x,y)
A)
Z(x, y,
(x, y)) dxdy Z(x,y,
)dxdy
A A
Zn
e, e
3d
Più in generale, con procedimenti Più in generale, con procedimenti
analoghi, si può dimostrare che analoghi, si può dimostrare che
(Xx
D Yy Zz )dxdydz (X,Y, Z)T , ned
Lo scalare
Lo scalare XXxx + Y + Yyy + Z + Zzz si dice la si dice la divergenza
divergenza del campo del campo F =F = (X,Y,Z)(X,Y,Z)T T ::
Dunque la divergenza di un campo Dunque la divergenza di un campo
su un dominio
su un dominio DD uguaglia il flusso uguaglia il flusso uscente dalla superficie laterale
uscente dalla superficie laterale
Infine abbiamo il teorema di Stokes Infine abbiamo il teorema di Stokes
Teorema
(Teorema di Stokes)
Sia Sia AA un dominio nel piano un dominio nel piano x yx y avente avente frontiera
frontiera AA gen. reg. e orientata gen. reg. e orientata positivamente. Sia
positivamente. Sia f(x,y)f(x,y) di classe C di classe 1(A)
Sia Sia X(x,y,z) X(x,y,z) continua con le derivatecontinua con le derivate XXyy e e XXzz su un aperto contenente su un aperto contenente f(A)f(A)..
Allora vale Allora vale
d e
n X
e n X
Xdx (
y ,
3
z ,
2 )
dove
dove = f( = f(A)A)
Infatti, posto
Infatti, posto g(x,y) = X(x,y f(x,y))g(x,y) = X(x,y f(x,y)), , risulta
risulta ggyy = X = Xyy + X + Xzz f fyy Per Green
Per Green
d e
n X
e n
X
y,
z, )
(
3
2
dxdy f
X X
A
y z
y
)
(
A
g dxdy gdx
Xdx
y
Se Se Y(x,y,z)Y(x,y,z) e e Z(x,y,z)Z(x,y,z) soddisfano soddisfano
ipotesi analoghe con le loro derivate ipotesi analoghe con le loro derivate
opportune, e la superficie è opportune, e la superficie è
rappresentabile esplicitamente anche rappresentabile esplicitamente anche
nelle variabili
nelle variabili x, zx, z e e y, zy, z, allora, allora
rotF n d Zdz
Ydy
Xdx ) ,
(
con con F = (X,Y,Z)F = (X,Y,Z)TT
AA
AA nn