Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Fissione nucleare
Lezione 5
Fissione nucleare
• Nella fissione nucleare ci troviamo nell’altro lato della curva dell’energia media di legame.
• Nuclei pesanti possono scin- dersi in nuclei più leggeri
e più legati liberando energia:
– Processo possibile per A≳120 – Non avviene spontaneamente
a causa della solita barriera di potenziale:
• stabilità dei nuclei rispetto alla repulsione elettrostatica
– Può venire indotto da un’eccitazione:
• interazioni con neutroni
• materiali fissili ed energia nucleare
Fissione nucleare
• La fissione è il processo in cui un nucleo si spezza in frammenti più piccoli
– il caso più semplice è la fissione in due frammenti
• L’energia rilasciata nel processo di fissione si trova attraverso la differenza di massa
• Perchè la fissione sia permessa deve essere Qfiss > 0
• Utilizzando l’energia di legame
• Dove l’energia di legame è data dalla formula di Bethe-Weizsäcker
ZAX → Z
1
A1X + Z
2
A2X + Qfiss
Qfiss = M A, Z( )− M A( 1, Z1)− M A( 2, Z2)
A = A1 + A2 Z = Z1 + Z2
B A, Z( ) = −a1A + a2A23 + a3 Z2
A13 + a4(A − 2Z )2
A ± a5A−34 Qfiss = B A, Z( )− B A( 1, Z1)− B A( 2, Z2)
Fissione nucleare
• L’energia disponibile è approssimati- vamente 0.9 MeV per nucleone.
• Densità di energia immagazzinata molto maggiore di quella in
combustibili chimici 20—50 MJ/kg
• 1 g ~ NA nucleoni
– 1 kg ~ 6×1026 nucleoni
• Densità di energia: 5.4 ×1026 MeV/kg – 1 MeV = (106 e) J= 1.6×10-13 J
– 8.6 ×1013 J/kg – 8.6 ×107 MJ/kg
Energy density
http://xkcd.com/
Processo di fissione
• Possiamo visualizzare il processo di fissione come la separazione di una goccia di liquido nucleare:
• L’energia del sistema evolve:
– da quella dovuta all’energia di legame del nucleo originale
– a quella dei due nuclei separati.
– il nucleo può esistere solo se lo stato iniziale è metastabile
– In tal caso la fissione necessita di superare una barriera di potenziale E = B A, Z( )
E = B A( 1, Z1)+ B A( 2, Z2 )+ Z1Z2e
2
4πε0r r
Fissione nucleare: termine di superficie
• Dalla formula dell’energia di legame
– i termini influenzati da una deformazione del nucleo sono:
• l’energia superficiale
• l’energia di Coulomb
• Assumiamo che il nucleo assuma una forma di ellissoide prolato ( semiasse x = semiasse y < semiasse z )
– Introduciamo il parametro ε che definisce una deformazione che mantiene costante il volume
– il termine nella formula di Bethe-Weizsäcker diventa
• Concludiamo che l’energia superficiale aumenta
B A, Z( ) = −a1A + a2A23 + a3 Z2
A13 + a4(A − 2Z )2
A ± a5A−34
2a 2b
V = 4
3πab2 = 4 3πR3 a = R 1 +( ε) b = R / 1 +ε S = 4πR2 1 + 2
5ε2
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
a2A23 → a2A23 1 + 2 5ε2
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
Fissione nucleare: termine Coulombiano
• Discutiamo adesso il termine dell’energia di legame dovuto alla repulsione elettrostatica
– Due elementi di carica ρdV1 e ρdV2 – hanno un’energia elettrostatica
– Per una distribuzione sferica l’energia si calcola facilmente
– Il caso dell’ellisoide prolato è più complesso
• Pertanto, per tenere conto dell’effetto della deformazione, nella formula di Bethe-Weizsäcker si opera la sostituzione
• L’energia elettrostatica diminuisce
U = 1 2
1
4πεo ρ( )r1 dV1ρ( )r2 dV2
1 r12
∫∫
U = 3 5
1 4πεo
Q2 R
U = 3 5
1 4πεo
Q2
R 1 −ε2 5
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
a3 Z2
A13 → a3 Z2
A13 1 −ε2 5
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
Fissione nucleare: stabilità
• In definitiva l’effetto della deformazione è
• La differenza rispetto al nucleo sferico è
– Introducendo i valori delle costanti
• Il nucleo sferico stabile se ΔE > 0
– La condizione di stabilità è pertanto
• Questa condizione è verificata anche per nuclei molto pesanti
– Il nucleo sferico è pertanto molto stabile
– La positività dell’energia ΔE per quasi tutti i nuclei spiega perchè la fissione spontanea è un fenomeno raro
a2A23 1 + 2 5ε2
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ + a3 Z2
A13 1 −ε2 5
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = a2A23 + a3 Z2
A13 + 2
5a2A23 − 1
5a3 Z2 A13
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ε2
ΔE = 2
5a2A23 1 − a3 2a2
Z2 A
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ε2 a2 = 17.804
a3 = 0.7103 ΔE ≈ 2
5a2A23 1 − 1 50
Z2 A
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ε2
Z2
A < 50
Vite medie parziali per fissione
λfiss = BR ×λtotale
•
pari-pari◦
pari-dispariBranching Ratio BR
frazione dei decadimenti in un certo canale.
λfiss−1 = τ
BR = τ1/2 0.69 BR
235U 238U
τ1/2 7×108 yr 4.5×109 yr BR 7×10-11 5.5×10-7 λfiss-1 1.4×1018 yr
4×1025 s 1.2×1016 yr 3.6×1023 s
Energia nucleare
• Il processo di fissione è alla base della produzione di energia nucleare.
• La fissione spontanea non è in grado di produrre una potenza apprezzabile: necessario ricorrere a fissione indotta da neutroni:
– Proprietà della fissione
– Diverso comportamento dei materiali
• Reazione a catena
– Possibilità di automantenimento della produzione di energia – Controllo della reazione:
• moderatore → distribuzione in energia nelle interazioni
• neutroni ritardati → trasformata di Laplace (argomento opzionale)
Fissione indotta
• Un evento di fissione rilascia una notevole quantità di energia:
– Ad esempio per 238U ci aspettiamo:
• 0.9 MeV/nucleone × 238 nucleoni = 214 MeV
– La potenza però è limitata:
• 1 g di 238U emette per fissione:
• e per radioattività α:
• La fissione può essere indotta da collisioni con neutroni che pongono il nucleo in uno stato eccitato:
– riduce l’altezza della barriera di potenziale da superare
P = Qfiss NA
A λfiss ≈ 200 MeV6 ×1023 238
1
1.6 ×1023s ≈ 4 MeV/s
≈ 6 ×10−13 W
P = Qα NA A
0.69
τ1/2 ≈ 4 MeV
6 ×1023 238
0.69
4.5 ×109yr × 3 ×107s/yr
≈ 50000 MeV/s ≈ 8 ×10−9 W
Fissione indotta
• Un esempio di reazione:
• Ce ne sono molte possibili con le stesse caratteristiche:
– nuclei figli ricchi di neutroni: decadimenti β – neutroni in eccesso emessi nella reazione
n + 23592U → 23692U* → 13753I + 9639Y + 3n
13753I⎯⎯⎯⎯⎯Q=6.0 MeV →13754Xe⎯⎯⎯⎯⎯Q=4.1 MeV →13755Cs⎯⎯⎯⎯⎯Q=1.1 MeV →13756Ba
9639Y⎯⎯⎯⎯⎯Q=7.1 MeV →4096Zr
Qfiss = 183 MeV
Fissione Indotta
• La fissione indotta dell’Uranio 235 è molto più probabile della fissione spontanea
– succede che il nucleo 235U assorbe un neutrone molto lento (al limite fermo) e produce un nucleo di 236U
– Nel processo vengono rilasciati 6.3 MeV
• significa che per estarre un
neutrone dal nucleo 236U occorre fornire 6.3 MeV
– L’energia disponibile è sufficiente a pro- durre lo stato eccitato 236U* ( 5.7 MeV ) – Poichè il nucleo è in uno stato eccitato la
barriera è più bassa.
– La fissione è molto più probabile
• ricordiamo che la probabilità di effetto tunnel è una funzione esponenziale dell’altezza e della lunghezza della barriera
236U
236U*
235U+n
6.3 MeV 5.7 MeV
5.7 MeV
Fissione indotta
• Abbiamo utilizzato l’isotopo 235U, molto meno abbon- dante dell’isotopo 238U
– I minerali naturali di Uranio (es. Pechblenda o Uranite) contengono solo una piccola percentuale
di 235U : circa lo 0.7%
• Per l’isotopo 238U l’equivalente processo di fissione indotta sarebbe quello rappresentato in figura:
– l’energia liberata nella cattura non è sufficiente a produrre il primo stato eccitato 239U*
• Il motivo di questa differenza si può comprendere ricordando l’ultimo termine dell’energia di legame della formula di Bethe-Weizsäcker
– è nullo per A dispari ( 239U )
– è negativo per nuclei pari-pari ( 236U )
• Pertanto l’ultimo neutrone dell’isotopo 239U è “meno legato” e l’energia rilasciata nella cattura non è
sufficiente per raggiungere il primo stato eccitato
– la barriera rimane alta e il processo è più raro
239U
239U*
238U+n
6.0 MeV
4.8 MeV
B A, Z( )= ... ± a5A−34 a5 = 33.6 MeV
• Sezioni d’urto per fissione e cattura neutronica:
• Per l’isotopo 238U la soglia della fissione è molto elevata ( > 2 MeV )
• Per neutroni lenti ( < 1 eV ) la fissione è molto più frequente in 235U – ad esempio per E ~ 0.1 eV σ235 ~ 1000 σ238
• Ė anche riportata la sezione d’urto di cattura radiativa di neutrone
– l’energia in eccesso viene liberata come fotone e non avviene la fissione – è importante per il funzionamento del reattore nucleare
• riduce il numero di neutroni che possono generare altre fissioni
Fissione indotta
σ [b] σ [b] ∼103
Materiali fissili e materiali fertili
• 235U è l’unico materiale fissile che
– è soggetto a fissione indotta con neutroni termici
– è presente in natura in quantità significative: 0.7% dell’uranio naturale
• È possibile produrre altri materiali fissili dai “materiali fertili”
– Ad esempio 239Pu e 233U da 238U e 232Th, rispettivamente
– Ad esempio, un reattore che brucia 239Pu e che insieme al combustibile contiene 238U produce altro combustibile 239Pu
– reattori autofertilizzanti n + 23892U → 23992U +γ
23992U → 23993Np + e− τ1/2 = 23.4 minuti τ1/2 = 2.36 giorni
23993Np → 23994Pu + e− n + 23290Th → 23390Th +γ
23390Th → 23391Pa + e− τ1/2 = 23.3 minuti τ1/2 = 26.97 giorni
23391Pa → 23392U + e−
kT=25 meV a 300 K
Reazione a catena
• Il principio alla base dei reattori nucleare è la reazione a catena:
– Un nucleo di 235U cattura un neutrone
– Si scinde in due nuclei più leggeri ed un certo numero di neutroni
• L’energia cinetica dei nuclei, come pure quella degli e- e fotoni nei decadimenti β e γ successivi, si trasforma in calore del materiale:
– usato per la produzione di energia
• alcuni nuclei possono a loro volta emettere neutroni (neutroni ritardati) – Questi neutroni possono:
• uscire dalla zona di reazione
• venire catturati da nuclei che si diseccitano emettendo γ
• colpire un altro nucleo di 235U e produrre una nuova fissione
• L’aspetto critico è il controllo della catena:
– Se non ci sono abbastanza neutroni per nuove fissioni la catena rallenta e si ferma.
– Se ce ne sono troppi, il numero di reazioni aumenta esponenzialmente:
esplosione.
Il controllo della catena
• Possiamo descrivere l’evoluzione del numero di neutroni:
– N(t): numero di neutroni
– τ: tempo medio necessario ad un neutrone per produrre una fissione – ν: numero medio di neutroni prodotti da una fissione
– q: probabilità che un neutrone possa produrre una fissione
• La soluzione è:
– νq<1: sottocritico – νq=1: critico
– νq>1: supercritico
N t
( )
= N 0( )
exp νq −1( )
tτ
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
dN
dt = N t
( )
1τ
(
νq − 1)
Struttura del reattore
• Analizziamo ora alcuni degli elementi che influenzano q
assorbimento di neutroni
rapporto 235U/238U contenimento e termalizzazone dei neutroni
H20 usata anche per il raffreddamento
Sezioni d’urto
• Consideriamo adesso una massa di uranio naturale: le frazioni dei due isotopi sono
– 238U f = 99.3% 235U f = 0.7%
• Consideriamo un neutrone di energia cinetica T = 2 MeV
– A questa energia le sezioni d’urto totali di neutrone su
235U o 238U sono circa uguali: σtot 7 barn
– In generale, se si ha una miscela di sostanze, ciascuna con frazione fi, si definisce una sezione d’urto media
• Per l'uranio naturale (ρ=19.05 g/cm3, A=238) il numero di atomi per unita di volume è nT = 4.8×1028 atomi/m3
• Otteniamo un libero cammino medio (distranza tra due collisioni)
• Il tempo medio fra due collisioni è
β = 2T
mn = 0.065
σ =
∑
fiσiλ = 1
7 ×10−28 × 4.8 ×1028 = 0.03 m tc = λ
v = λ
βc = 1.5 ×10−9 s
Sezioni d’urto
• Ad ogni collisione il neutrone può:
– indurre una fissione, con probabilità
– venire catturato con emissione di γ
(non più disponibile per produrre una fissione) – subire una collisione elastica o anelastica
con perdita di energia
• È questo il processo con probabilità maggiore!
• In U naturale la sezione d’urto media è circa quella di 238U.
• Per un neutrone di 2 MeV:
– il numero di diffusioni prima di un’intera- zione distruttiva
– probabilità di indurre una fissione:
ENDF Request 23292, 2015-Nov-22,11:56:59
Incident Energy (MeV)
Cross Section (barns)
10-10 10-5 1
10-10 10-5 1 105
σ [b] 235U 238U σtot 7.15 7.3
σfiss 1.89 0.53
σ(n,γ) 0.059 0.048 pfiss =σfiss /σtot
pn,γ =σn,γ /σtot
n = 1 / ( pfiss + pn,γ)
q = pfiss / ( pfiss + pn,γ)
238U
σtot
σfiss σn,γ
Ad ogni urto l’energia del n diminuisce.
Quando si scende sotto la soglia di fissione di 238U, q≪1
Numero di collisioni
• La successione di eventi casuali che porta alla fissione o cattura è schematizzabile come segue
– La probabilità che l'interazione avvenga alla prima collisione è – La probabilità che l'interazione
avvenga alla seconda collisione è – La probabilità che l'interazione
avvenga alla terza collisione è
– E così via
• La somma delle probabilità è correttamente normalizzata
• Il numero medio di collisioni è
?
?
? p
p 1-p
1-p
P1 = p
P2 = p 1 − p( )
P3 = p 1 − p( )2
Pk = p 1 − p( )k−1
Pk
k=1
∞
∑
= p (1 − p)k−1k=1
∞
∑
= p (1 − p)kk=0
∞
∑
= p1 − 1 − p(1 ) = 1k = kPk
k=1
∞
∑
= p k 1 − p( )k−1k=1
∞
∑
= − p∂p∂ (1 − p)kk=1
∞
∑
= − p ∂
∂p (1 − p)k
k=0
∞
∑
= − p∂p∂ 1pk 1
= p
p 1-p
p = pfiss + pn,γ
ENDF Request 23291, 2015-Nov-22,11:51:20
Incident Energy (MeV)
Cross Section (barns)
10-10 10-5 1
10-2 1 102 104
Sezioni d’urto
• La situazione cambia qualitativamente per neutroni termici:
– T=25 meV, β=7×10-6
• In U naturale
– f di 235U=0.7%
– –
–
– Poiché ν≈2.4, νq>1
si può avere una reazione a catena!
– Primo reattore di Fermi a Chicago, 1938
σ [b] 235U 238U
σtot 703 12
σfiss 589 1.7×10-5
σ(n,γ) 99 2.7
σn,γ = 0.007 × 99 b + 0.993 × 2.7 b q = σfiss
σfiss +σn,γ = 0.55
235U
σtot
σfiss σn,γ
• Moderatore per termalizzare i neutroni
• Arricchimento in 235U per aumentare q σfiss = 0.007 × 589 b = 4.1 b
= 3.4 b
Nobel 1938
studio delle trasmu- tazioni indotte da n.
Interludio: massa critica
• Abbiamo visto che un n effettua molte collisioni prima di essere catturato o indurre fissione.
• La distanza media tra queste collisioni è il libero cammino medio:
• Essendo questo un processo casuale, random walk, la distanza media percorsa dal n rispetto al punto di produzione è:
– Se il blocco di combustibile ha una dimensione minore di tale distanza, i n usciranno senza aver fatto in tempo ad interagire.
– Esiste quindi una dimensione minima Lmin che il reattore deve avere perché la reazione possa autostostenersi.
– di conseguenza un valore minimo di volume Vmin~Lmin3, e di massa ρVmin:
massa critica
– Il valore esatto dipende da geometria, combustibile, ...
n = 1 / ( pfiss + pn,γ)
λ = 1 /σtotnT
l = λ n
Rallentamento dei neutroni
• I neutroni rallentano (perdono energia) in seguito alle collisioni con i nuclei del materiale in cui si muovono
– Quando il neutrone è veloce una causa di rallentamento è una interazione inelastica
– Nel bilancio energetico della reazione entra anche l’energia del livello eccitato che pertanto non è più disponibile come energia cinetica del neutrone finale
– Questo meccanismo diventa rapidamente inefficace quando l’energia dei neutroni
diventa insufficiente per eccitare il bersaglio
• Da questo momento in poi il meccanismo più efficace è lo scattering elastico
n + A → A* + n
Tn = TA + EA* + ʹTn ʹ
Tn ≈ Tn − EA*
ENDF Request 23292, 2015-Nov-22,11:56:59
Incident Energy (MeV)
Cross Section (barns)
10-10 10-5 1
10-10 10-5 1 105
238U
σtot
σfiss σn,γ
Scattering elastico
• Studiamo l’urto elastico di un neutrone su un nucleo di massa A
• Siamo interessati a
– la distribuzione dell’energia del neutrone dopo l’urto – l’energia media dopo l’urto
– la distribuzione dell’angolo dopo l’urto
• Il processo è non relativistico
• Il processo è molto semplice nel sistema di riferimento del centro di massa
– Il modulo della velocità del neutrone è lo stesso prima e dopo l’urto
– Lo stesso vale per il nucleo
n + A → n + A
v1 v2 v3 v4 mA
mn ≈ A
vcm = mnv1 + mAv2
mn + mA = v1 A + 1
'1 nv m
'2 Av m
'3 nv m
'4 Av m
v3' = v1' v'4 = v2' vi' = vi − vcm
vcm θ∗
θ∗L
mnv1 mnv3 mAv4 mAv2 = 0
Rallentamento dei neutroni
• I dati del problema sono la velocità del neutrone prima dell’urto e le masse
• Calcoliamo esplicitamente la velocità del neutrone
– la velocità nel c.m. prima dell’urto è – Sappiamo che
– Dopo l’urto, nel sistema di laboratorio, la velocità del neutrone è
• Siamo interessati alle energie e quindi calcoliamo il quadrato della velocità dopo l’urto nel sistema di laboratorio
vcm = mnv1+ mAv2
mn + mA = v1 A + 1
vi' = vi − vcm v1' = v1 − v1
A + 1
v3' = v1'
v3 = v3'
+ vcm
v3
( )2 = v
(
3' + vcm)
2 = v( )
'3 2 + v( cm)2 + 2v3' ⋅ vcm1 1
A
= A
+ v
v3
( )2 = A
2
A + 1
( )2 v1
2 + 1
A + 1
( )2 v1
2 + 2 A
A + 1
( )2 v1
2cosθ∗
E3 E1 =
1
2mn(v3)2
1
2mn(v1)2
= (v3)2
v1
( )2 =
A2 A + 1
( )2 +
1 A + 1
( )2 + 2
A A + 1
( )2 cosθ
∗
Rallentamento dei neutroni
• L’energia massima e l’energia minima corrispondono a cosθ* = ±1
• In caso di scattering isotropo, in genere vero per energie inferiori al MeV nel c.m.
• Il calcolo della distribuzione dell’energia nel laboratorio è:
( ) ( ) ( )
3 2
2 2 2
1
1 2 cos
1 1 1
E A A
E = A + A + A
+ + +
θ∗
cost = 1
cos 2
dN
d ∗ = θ
dN
dE3 = dN d cosθ∗
d cosθ∗ dE3 cosθ∗ = (A + 1)2
2A
E3
E1 − A2 A + 1
( )2 −
1 A + 1
( )2
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥ d cosθ∗
dE3 = (A + 1)2
2A
1 E1 xmax = E3max
E1 = 1 xmin = E3min
E1 = (A − 1)2
A + 1
( )2
E3/E1 nel laboratorio
cosθ* nel centro di massa
Rallentamento dei neutroni
• Riepiloghiamo i risultati trovati
• introducendo
• si ottiene:
• Vediamo che dopo l’urto la distribuzione dell’energia del neutrone è uniforme
• Ė immediato calcolare il valor medio
dN
d cosθ∗ = cost = 1 2 dN
dE3 = dN d cosθ∗
d cosθ∗ dE3
d cosθ∗
dE3 = (A + 1)2
2A
1 E1
dN
dx = (A + 1)2
4A x = E3
E1
xmin=(A− 1)2 A+ 1
( )2 xmax = 1
x = E3 E1
A + 1
( )2
4A
dN dx
x
x = 1
2(xmin + xmax) = 12 (A − 1)2
A + 1
( )2 + 1
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
( )
2
2
1 1 A
A
= +
+
E3
E1 = A2 + 1 A + 1
( )2
Rallentamento dei neutroni
• La formula trovata ci permette di capire quali materiali funzionano meglio per rallentare i neutroni
– dopo l’urto l’energia del neutrone è uniformemente distribuita fra
– Se il nucleo è leggero l’intervallo è largo
• Ad esempio idrogeno A = 1, si ha 0≤x≤1
• In un urto il neutrone può perdere molta energia
– Se il nucleo è pesante l’intervallo è stretto
• Ad esempio uranio A = 238, si ha 0.98≤x≤1
• In un urto il neutrone praticamente non perde energia
• Per rallentare i neutroni occorre utilizzare nuclei leggeri
x = E3 E1 E3min
E1 = (A − 1)2
A + 1
( )2
E3max E1 = 1
dN dx
1 x 0
dN dx
1 x 0
xmin = 2372
2392 = 0.98
Rallentamento dei neutroni
• Ci poniamo adesso la domanda: quante collisioni sono necessarie per raggiungere una energia termica ?
– supponiamo che il neutrone faccia una successione di urti
– nel passo k - 1 → k lenergia varia da Ek-1 a Ek
– Il rapporto x = Ek-1/Ek è distribuito uniformemente – I limiti della distribuzione dipendono dal nucleo (A)
• Possiamo scrivere
• Conviene considerare il logaritmo di questa espressione
• Ancora una volta notiamo che x = Ek-1/Ek ha sempre la stessa distribuzione
En
E0 = En En−1
En−1
En−2……E2 E1
E1
E0 = Ei Ei−1
i=1 n
∏
ln En E0
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = ln Ek Ek−1
k=1 n
⎛
∏
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = ln Ek Ek−1
i=1 n
∑
0 k
1
2 k-1
k+1 n
A− 1
( )2
A+ 1
( )2
1 x
Rallentamento dei neutroni
• Dal momento che abbiamo molti urti e che la distribuzione di x = Ek-1/Ek è sempre la stessa possiamo scrivere
• Utilizzando questo risultato
• Per finire calcoliamo il valor medio del logaritmo
ln Ek Ek−1
k=1 n
∑
≈ n lnEEfi
lnEf Ei
Ei: energia prima dell’urto
Ef: energia dopo l’urto
= 1
xmax − xmin ln x dx
xmin xmax
∫
= x 1max − xmin⎡x ln x⎛⎝⎜
( )
− 1⎞⎠⎟⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
xmin xmax
lnEf
Ei = (A − 1)2
2A ln A + 1 A − 1
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ − 1
xmax = 1
xmin = (A − 1)2
A + 1
( )2
ln En E0
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = n ln Ef Ei
n =
ln En E0
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ lnEf
Ei
Moderatori
• Le formule appena trovate permettono di confrontare i vari materiali per il loro uso come moderatori.
• Ad esempio per “raffreddare” da 2 MeV a 0.02 eV un neutrone
– idrogeno H: A = 1
– deuterio 2H: A = 2
– grafite: 12C: A = 12 n =
ln En E0
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ lnEf
Ei
lnEf
Ei = (A − 1)2
2A ln A + 1 A − 1− 1
lnEf
Ei = −1 n = −ln 0.02
2 ×106
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = 18
lnEf
Ei = −0.72 n = − 1
0.72ln 0.02 2 ×106
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = 25
lnEf
Ei = −0.16 n = − 1
0.16ln 0.02 2 ×106
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = 115