Fissione nucleare

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Fissione nucleare

Lezione 5

Fissione nucleare

•  Nella fissione nucleare ci troviamo nell’altro lato della curva dell’energia media di legame.

•  Nuclei pesanti possono scin- dersi in nuclei più leggeri

e più legati liberando energia:

–  Processo possibile per A≳120 –  Non avviene spontaneamente

a causa della solita barriera di potenziale:

•  stabilità dei nuclei rispetto alla repulsione elettrostatica

–  Può venire indotto da un’eccitazione:

•  interazioni con neutroni

•  materiali fissili ed energia nucleare

Fissione nucleare

•  La fissione è il processo in cui un nucleo si spezza in frammenti più piccoli

–  il caso più semplice è la fissione in due frammenti

•  L’energia rilasciata nel processo di fissione si trova attraverso la differenza di massa

•  Perchè la fissione sia permessa deve essere Q_fiss > 0

•  Utilizzando l’energia di legame

•  Dove l’energia di legame è data dalla formula di Bethe-Weizsäcker

ZAX → _Z

1

A₁X + _Z

2

A₂X + Q_fiss

Q_fiss = M A, Z( )^{− M A}( 1, Z₁)^{− M A}( 2, Z₂)

A = A₁ + A₂ Z = Z₁ + Z₂

B A, Z( ) ^{= −a}1A + a₂A²³ + a₃ Z²

A¹³ + a₄(A − 2Z )²

A ± a₅A⁻³⁴ Q_fiss = B A, Z( )^{− B A}( 1, Z₁)^{− B A}( 2, Z₂)

Fissione nucleare

•  L’energia disponibile è approssimati- vamente 0.9 MeV per nucleone.

•  Densità di energia immagazzinata molto maggiore di quella in

combustibili chimici 20—50 MJ/kg

•  1 g ~ NA nucleoni

–  1 kg ~ 6×10²⁶ nucleoni

•  Densità di energia: 5.4 ×10²⁶ MeV/kg –  1 MeV = (10⁶ e) J= 1.6×10^-13 J

–  8.6 ×10¹³ J/kg –  8.6 ×10⁷ MJ/kg

Energy density

http://xkcd.com/

Processo di fissione

•  Possiamo visualizzare il processo di fissione come la separazione di una goccia di liquido nucleare:

•  L’energia del sistema evolve:

–  da quella dovuta all’energia di legame del nucleo originale

–  a quella dei due nuclei separati.

–  il nucleo può esistere solo se lo stato iniziale è metastabile

–  In tal caso la fissione necessita di superare una barriera di potenziale E = B A, Z( )

E = B A( ₁, Z₁)^{+ B A}( 2, Z₂ )^{+ Z1Z2e}

2

4πε₀r r

Fissione nucleare: termine di superficie

•  Dalla formula dell’energia di legame

–  i termini influenzati da una deformazione del nucleo sono:

•  l’energia superficiale

•  l’energia di Coulomb

•  Assumiamo che il nucleo assuma una forma di ellissoide prolato ( semiasse x = semiasse y < semiasse z )

–  Introduciamo il parametro ε che definisce una deformazione che mantiene costante il volume

–  il termine nella formula di Bethe-Weizsäcker diventa

•  Concludiamo che l’energia superficiale aumenta

B A, Z( ) ^{= −a}1A + a₂A²³ + a₃ Z²

A¹³ + a₄(A − 2Z )²

A ± a₅A⁻³⁴

2a 2b

V = 4

3π^ab2 = 4 3π^R3 a = R 1 +( ε) b = R / 1 +ε ^{S = 4}πR² 1 + 2

5ε²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

a₂A²³ → a₂A²³ 1 + 2 5ε²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Fissione nucleare: termine Coulombiano

•  Discutiamo adesso il termine dell’energia di legame dovuto alla repulsione elettrostatica

–  Due elementi di carica ρdV₁ e ρdV₂ –  hanno un’energia elettrostatica

–  Per una distribuzione sferica l’energia si calcola facilmente

–  Il caso dell’ellisoide prolato è più complesso

•  Pertanto, per tenere conto dell’effetto della deformazione, nella formula di Bethe-Weizsäcker si opera la sostituzione

•  L’energia elettrostatica diminuisce

U = 1 2

1

4πε_o ρ( )^r₁ ^dV1ρ( )^r₂ ^dV2

1 r₁₂

∫∫

U = 3 5

1 4πε_o

Q² R

U = 3 5

1 4πε_o

Q²

R 1 −ε² 5

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

a₃ Z²

A¹³ → a3 Z²

A¹³ 1 −ε² 5

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Fissione nucleare: stabilità

•  In definitiva l’effetto della deformazione è

•  La differenza rispetto al nucleo sferico è

–  Introducendo i valori delle costanti

•  Il nucleo sferico stabile se ΔE > 0

–  La condizione di stabilità è pertanto

•  Questa condizione è verificata anche per nuclei molto pesanti

–  Il nucleo sferico è pertanto molto stabile

–  La positività dell’energia ΔE per quasi tutti i nuclei spiega perchè la fissione spontanea è un fenomeno raro

a₂A²³ 1 + 2 5ε²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + a₃ Z²

A¹³ 1 −ε² 5

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = a₂A²³ + a₃ Z²

A¹³ + 2

5a₂A²³ − 1

5a₃ Z² A¹³

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ε²

ΔE = 2

5a₂A²³ 1 − a₃ 2a₂

Z² A

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ε² a₂ = 17.804

a₃ = 0.7103 ΔE ≈ 2

5a₂A²³ 1 − 1 50

Z² A

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ε²

Z²

A < 50

Vite medie parziali per fissione

λ_fiss = BR ×λ_totale

•

◦

Branching Ratio BR

frazione dei decadimenti in un certo canale.

λ_fiss⁻¹ = τ

BR = τ_1/2 0.69 BR

235U ²³⁸U

τ_1/2 7×10⁸ yr 4.5×10⁹ yr BR 7×10^-11 5.5×10^-7 λ_fiss^-1 1.4×10¹⁸ yr

4×10²⁵ s 1.2×10¹⁶ yr 3.6×10²³ s

Energia nucleare

•  Il processo di fissione è alla base della produzione di energia nucleare.

•  La fissione spontanea non è in grado di produrre una potenza apprezzabile: necessario ricorrere a fissione indotta da neutroni:

–  Proprietà della fissione

–  Diverso comportamento dei materiali

•  Reazione a catena

–  Possibilità di automantenimento della produzione di energia –  Controllo della reazione:

•  moderatore → distribuzione in energia nelle interazioni

•  neutroni ritardati → trasformata di Laplace (argomento opzionale)

Fissione indotta

•  Un evento di fissione rilascia una notevole quantità di energia:

–  Ad esempio per ²³⁸U ci aspettiamo:

•  0.9 MeV/nucleone × 238 nucleoni = 214 MeV

–  La potenza però è limitata:

•  1 g di ²³⁸U emette per fissione:

•  e per radioattività α:

•  La fissione può essere indotta da collisioni con neutroni che pongono il nucleo in uno stato eccitato:

–  riduce l’altezza della barriera di potenziale da superare

P = Q_fiss N_A

A λ_fiss ≈ 200 MeV6 ×10²³ 238

1

1.6 ×10²³s ≈ 4 MeV/s

≈ 6 ×10⁻¹³ W

P = Q_α N_A A

0.69

τ_1/2 ^{≈ 4 MeV}

6 ×10²³ 238

0.69

4.5 ×10⁹yr × 3 ×10⁷s/yr

≈ 50000 MeV/s ≈ 8 ×10⁻⁹ W

Fissione indotta

•  Un esempio di reazione:

•  Ce ne sono molte possibili con le stesse caratteristiche:

–  nuclei figli ricchi di neutroni: decadimenti β –  neutroni in eccesso emessi nella reazione

n + ²³⁵₉₂U → ²³⁶₉₂U^* → ¹³⁷₅₃I + ⁹⁶₃₉Y + 3n

13753I⎯⎯⎯⎯⎯^{Q=6.0 MeV} →¹³⁷₅₄Xe⎯⎯⎯⎯⎯^{Q=4.1 MeV} →¹³⁷₅₅Cs⎯⎯⎯⎯⎯^{Q=1.1 MeV} →¹³⁷₅₆Ba

9639Y⎯⎯⎯⎯⎯^{Q=7.1 MeV} →₄₀⁹⁶Zr

Q_fiss = 183 MeV

Fissione Indotta

•  La fissione indotta dell’Uranio 235 è molto più probabile della fissione spontanea

–  succede che il nucleo ²³⁵U assorbe un neutrone molto lento (al limite fermo) e produce un nucleo di ²³⁶U

–  Nel processo vengono rilasciati 6.3 MeV

•  significa che per estarre un

neutrone dal nucleo ²³⁶U occorre fornire 6.3 MeV

–  L’energia disponibile è sufficiente a pro- durre lo stato eccitato ²³⁶U* ( 5.7 MeV ) –  Poichè il nucleo è in uno stato eccitato la

barriera è più bassa.

–  La fissione è molto più probabile

•  ricordiamo che la probabilità di effetto tunnel è una funzione esponenziale dell’altezza e della lunghezza della barriera

236U

236U*

235U+n

6.3 MeV 5.7 MeV

5.7 MeV

Fissione indotta

•  Abbiamo utilizzato l’isotopo ²³⁵U, molto meno abbon- dante dell’isotopo ²³⁸U

–  I minerali naturali di Uranio (es. Pechblenda o Uranite) contengono solo una piccola percentuale

di ²³⁵U : circa lo 0.7%

•  Per l’isotopo ²³⁸U l’equivalente processo di fissione indotta sarebbe quello rappresentato in figura:

–  l’energia liberata nella cattura non è sufficiente a produrre il primo stato eccitato ²³⁹U*

•  Il motivo di questa differenza si può comprendere ricordando l’ultimo termine dell’energia di legame della formula di Bethe-Weizsäcker

–  è nullo per A dispari ( ²³⁹U )

–  è negativo per nuclei pari-pari ( ²³⁶U )

•  Pertanto l’ultimo neutrone dell’isotopo ²³⁹U è “meno legato” e l’energia rilasciata nella cattura non è

sufficiente per raggiungere il primo stato eccitato

–  la barriera rimane alta e il processo è più raro

239U

239U*

238U+n

6.0 MeV

4.8 MeV

B A, Z( )^{= ... ± a}5A⁻³⁴ a₅ = 33.6 MeV

•  Sezioni d’urto per fissione e cattura neutronica:

•  Per l’isotopo ²³⁸U la soglia della fissione è molto elevata ( > 2 MeV )

•  Per neutroni lenti ( < 1 eV ) la fissione è molto più frequente in ²³⁵U –  ad esempio per E ~ 0.1 eV σ₂₃₅ ~ 1000 σ₂₃₈

•  Ė anche riportata la sezione d’urto di cattura radiativa di neutrone

–  l’energia in eccesso viene liberata come fotone e non avviene la fissione –  è importante per il funzionamento del reattore nucleare

•  riduce il numero di neutroni che possono generare altre fissioni

Fissione indotta

σ [b] σ [b] ^∼103

Materiali fissili e materiali fertili

•  ²³⁵U è l’unico materiale fissile che

–  è soggetto a fissione indotta con neutroni termici

–  è presente in natura in quantità significative: 0.7% dell’uranio naturale

•  È possibile produrre altri materiali fissili dai “materiali fertili”

–  Ad esempio ²³⁹Pu e ²³³U da ²³⁸U e ²³²Th, rispettivamente

–  Ad esempio, un reattore che brucia ²³⁹Pu e che insieme al combustibile contiene ²³⁸U produce altro combustibile ²³⁹Pu

–  reattori autofertilizzanti n + ²³⁸₉₂U → ²³⁹₉₂U +γ

23992U → ²³⁹₉₃Np + e⁻ τ_1/2 = 23.4 minuti τ_1/2 = 2.36 giorni

23993Np → ²³⁹₉₄Pu + e⁻ n + ²³²₉₀Th → ²³³₉₀Th +γ

23390Th → ²³³₉₁Pa + e⁻ τ_1/2 = 23.3 minuti τ_1/2 = 26.97 giorni

23391Pa → ²³³₉₂U + e⁻

kT=25 meV a 300 K

Reazione a catena

•  Il principio alla base dei reattori nucleare è la reazione a catena:

–  Un nucleo di ²³⁵U cattura un neutrone

–  Si scinde in due nuclei più leggeri ed un certo numero di neutroni

•  L’energia cinetica dei nuclei, come pure quella degli e^- e fotoni nei decadimenti β e γ successivi, si trasforma in calore del materiale:

–  usato per la produzione di energia

•  alcuni nuclei possono a loro volta emettere neutroni (neutroni ritardati) –  Questi neutroni possono:

•  uscire dalla zona di reazione

•  venire catturati da nuclei che si diseccitano emettendo γ

•  colpire un altro nucleo di ²³⁵U e produrre una nuova fissione

•  L’aspetto critico è il controllo della catena:

–  Se non ci sono abbastanza neutroni per nuove fissioni la catena rallenta e si ferma.

–  Se ce ne sono troppi, il numero di reazioni aumenta esponenzialmente:

esplosione.

Il controllo della catena

•  Possiamo descrivere l’evoluzione del numero di neutroni:

–  N(t): numero di neutroni

–  τ: tempo medio necessario ad un neutrone per produrre una fissione –  ν: numero medio di neutroni prodotti da una fissione

–  q: probabilità che un neutrone possa produrre una fissione

•  La soluzione è:

–  νq<1: sottocritico –  νq=1: critico

–  νq>1: supercritico

N t

( )

( )

( )

τ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

dN

dt = N t

( )

τ

(

)

Struttura del reattore

•  Analizziamo ora alcuni degli elementi che influenzano q

assorbimento di neutroni

rapporto ²³⁵U/²³⁸U contenimento e termalizzazone dei neutroni

H₂0 usata anche per il raffreddamento

Sezioni d’urto

•  Consideriamo adesso una massa di uranio naturale: le frazioni dei due isotopi sono

–  ²³⁸U f = 99.3% ²³⁵U f = 0.7%

•  Consideriamo un neutrone di energia cinetica T = 2 MeV

–  A questa energia le sezioni d’urto totali di neutrone su

235U o ²³⁸U sono circa uguali: σ_tot 7 barn

–  In generale, se si ha una miscela di sostanze, ciascuna con frazione f_i, si definisce una sezione d’urto media

•  Per l'uranio naturale (ρ=19.05 g/cm³, A=238) il numero di atomi per unita di volume è n_T = 4.8×10²⁸ atomi/m³

•  Otteniamo un libero cammino medio (distranza tra due collisioni)

•  Il tempo medio fra due collisioni è

β = 2T

m_n = 0.065

σ =

∑

λ = 1

7 ×10⁻²⁸ × 4.8 ×10²⁸ = 0.03 m t_c = λ

v = λ

βc = 1.5 ×10⁻⁹ s

Sezioni d’urto

•  Ad ogni collisione il neutrone può:

–  indurre una fissione, con probabilità

–  venire catturato con emissione di γ

(non più disponibile per produrre una fissione) –  subire una collisione elastica o anelastica

con perdita di energia

•  È questo il processo con probabilità maggiore!

•  In U naturale la sezione d’urto media è circa quella di ²³⁸U.

•  Per un neutrone di 2 MeV:

–  il numero di diffusioni prima di un’intera- zione distruttiva

–  probabilità di indurre una fissione:

ENDF Request 23292, 2015-Nov-22,11:56:59

Incident Energy (MeV)

Cross Section (barns)

10^-10 10^-5 1

10^-10 10^-5 1 10⁵

σ [b] ²³⁵U ²³⁸U σ_tot 7.15 7.3

σ_fiss 1.89 0.53

σ(n,γ) 0.059 0.048 p_fiss =σ_fiss /σ_tot

p_n,γ =σ_n,γ ^/σ_tot

n = 1 / ( p_fiss + p_n,γ)

q = p_fiss / ( p_fiss + p_n,γ)

238U

σ_tot

σ_fiss σ_n,γ

Ad ogni urto l’energia del n diminuisce.

Quando si scende sotto la soglia di fissione di ²³⁸U, q≪1

Numero di collisioni

•  La successione di eventi casuali che porta alla fissione o cattura è schematizzabile come segue

–  La probabilità che l'interazione avvenga alla prima collisione è –  La probabilità che l'interazione

avvenga alla seconda collisione è –  La probabilità che l'interazione

avvenga alla terza collisione è

–  E così via

•  La somma delle probabilità è correttamente normalizzata

•  Il numero medio di collisioni è

?

?

? p

p 1-p

1-p

P₁ = p

P₂ = p 1 − p( )

P₃ = p 1 − p( )²

P_k = p 1 − p( )^k−1

P_k

k=1

∞

∑

k=1

∞

∑

k=0

∞

∑

k = kP_k

k=1

∞

∑

k=1

∞

∑

k=1

∞

∑

= − p ∂

∂p (1 − p)^k

k=0

∞

∑

k 1

= p

p 1-p

p = p_fiss + p_n,γ

ENDF Request 23291, 2015-Nov-22,11:51:20

Incident Energy (MeV)

Cross Section (barns)

10^-10 10^-5 1

10^-2 1 10² 10⁴

Sezioni d’urto

•  La situazione cambia qualitativamente per neutroni termici:

–  T=25 meV, β=7×10^-6

•  In U naturale

–  f di ²³⁵U=0.7%

–  – 

– 

–  Poiché ν≈2.4, νq>1

si può avere una reazione a catena!

–  Primo reattore di Fermi a Chicago, 1938

σ [b] ²³⁵U ²³⁸U

σ_tot 703 12

σ_fiss 589 1.7×10^-5

σ(n,γ) 99 2.7

σ_n,γ = 0.007 × 99 b + 0.993 × 2.7 b q = σ_fiss

σ_fiss +σ_n,γ ^{= 0.55}

235U

σ_tot

σ_fiss σ_n,γ

•  Moderatore per termalizzare i neutroni

•  Arricchimento in ²³⁵U per aumentare q σ_fiss = 0.007 × 589 b = 4.1 b

= 3.4 b

Nobel 1938

studio delle trasmu- tazioni indotte da n.

Interludio: massa critica

•  Abbiamo visto che un n effettua molte collisioni prima di essere catturato o indurre fissione.

•  La distanza media tra queste collisioni è il libero cammino medio:

•  Essendo questo un processo casuale, random walk, la distanza media percorsa dal n rispetto al punto di produzione è:

–  Se il blocco di combustibile ha una dimensione minore di tale distanza, i n usciranno senza aver fatto in tempo ad interagire.

–  Esiste quindi una dimensione minima L_min che il reattore deve avere perché la reazione possa autostostenersi.

–  di conseguenza un valore minimo di volume V_min~L_min³, e di massa ρV_min:

massa critica

–  Il valore esatto dipende da geometria, combustibile, ...

n = 1 / ( p_fiss + p_n,γ)

λ = 1 /σ_totⁿ_T

l = λ n

Rallentamento dei neutroni

•  I neutroni rallentano (perdono energia) in seguito alle collisioni con i nuclei del materiale in cui si muovono

–  Quando il neutrone è veloce una causa di rallentamento è una interazione inelastica

–  Nel bilancio energetico della reazione entra anche l’energia del livello eccitato che pertanto non è più disponibile come energia cinetica del neutrone finale

–  Questo meccanismo diventa rapidamente inefficace quando l’energia dei neutroni

diventa insufficiente per eccitare il bersaglio

•  Da questo momento in poi il meccanismo più efficace è lo scattering elastico

n + A → A^* + n

T_n = T_A + E_A^* + ʹT_n ʹ

T_n ≈ T_n − E_A^*

ENDF Request 23292, 2015-Nov-22,11:56:59

Incident Energy (MeV)

Cross Section (barns)

10^-10 10^-5 1

10^-10 10^-5 1 10⁵

238U

σ_tot

σ_fiss σ_n,γ

Scattering elastico

•  Studiamo l’urto elastico di un neutrone su un nucleo di massa A

•  Siamo interessati a

–  la distribuzione dell’energia del neutrone dopo l’urto –  l’energia media dopo l’urto

–  la distribuzione dell’angolo dopo l’urto

•  Il processo è non relativistico

•  Il processo è molto semplice nel sistema di riferimento del centro di massa

–  Il modulo della velocità del neutrone è lo stesso prima e dopo l’urto

–  Lo stesso vale per il nucleo

n + A → n + A

v₁ v₂ v₃ v₄ m_A

m_n ≈ A

v_cm = m_nv₁ + m_Av₂

m_n + m_A = v₁ A + 1

'1 nv m

'2 Av m

'3 nv m

'4 Av m

v₃^' = v₁^' v^'₄ = v₂^' v_i^' = v_i − v_cm

v_cm θ∗

θ∗_L

m_nv₁ m_nv₃ m_Av₄ m_Av₂ = 0

Rallentamento dei neutroni

•  I dati del problema sono la velocità del neutrone prima dell’urto e le masse

•  Calcoliamo esplicitamente la velocità del neutrone

–  la velocità nel c.m. prima dell’urto è –  Sappiamo che

–  Dopo l’urto, nel sistema di laboratorio, la velocità del neutrone è

•  Siamo interessati alle energie e quindi calcoliamo il quadrato della velocità dopo l’urto nel sistema di laboratorio

v_cm = m_nv₁+ m_Av₂

m_n + m_A = v₁ A + 1

v_i^' = v_i − v_cm v₁^' = v1 − v₁

A + 1

v₃^' = v₁^'

v₃ = v3'

+ vcm

v₃

( )^{2 = v}

(

)

( )

1 1

A

= A

+ v

v₃

( )^{2 = A}

2

A + 1

( )^{2 v1}

2 + 1

A + 1

( )^{2 v1}

2 + 2 A

A + 1

( )^{2 v1}

2cosθ^∗

E₃ E₁ =

1

2m_n(v₃)²

1

2m_n(v₁)²

= (v₃)²

v₁

( )^{2 =}

A² A + 1

( )^{2 +}

1 A + 1

( )^{2 + 2}

A A + 1

( )^{2 cosθ}

∗

Rallentamento dei neutroni

•  L’energia massima e l’energia minima corrispondono a cosθ^* = ±1

•  In caso di scattering isotropo, in genere vero per energie inferiori al MeV nel c.m.

•  Il calcolo della distribuzione dell’energia nel laboratorio è:

( ) ( ) ( )

3 2

2 2 2

1

1 2 cos

1 1 1

E A A

E = A + A + A

+ + +

θ∗

cost = 1

cos 2

dN

d _∗ = θ

dN

dE₃ = dN d cosθ^∗

d cosθ^∗ dE₃ cosθ^∗ = (A + 1)²

2A

E₃

E₁ − A² A + 1

( )^{2 −}

1 A + 1

( )²

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ d cosθ^∗

dE₃ = (A + 1)²

2A

1 E₁ x_max = E_3max

E₁ = 1 x_min = E_3min

E₁ = (A − 1)²

A + 1

( )²

E₃/E₁ nel laboratorio

cosθ* nel centro di massa

Rallentamento dei neutroni

•  Riepiloghiamo i risultati trovati

•  introducendo

•  si ottiene:

•  Vediamo che dopo l’urto la distribuzione dell’energia del neutrone è uniforme

•  Ė immediato calcolare il valor medio

dN

d cosθ^∗ = cost = 1 2 dN

dE₃ = dN d cosθ^∗

d cosθ^∗ dE₃

d cosθ^∗

dE₃ = (A + 1)²

2A

1 E₁

dN

dx = (A + 1)²

4A x = E₃

E₁

xmin=(A− 1)² A^{+ 1}

( )² x^max = 1

x = E₃ E₁

A + 1

( )²

4A

dN dx

x

x = 1

2(x_min + xmax) ^{= 1}₂ (^{A − 1})²

A + 1

( )^{2 + 1}

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

( )

2

2

1 1 A

A

= +

+

E₃

E₁ = A² + 1 A + 1

( )²

Rallentamento dei neutroni

•  La formula trovata ci permette di capire quali materiali funzionano meglio per rallentare i neutroni

–  dopo l’urto l’energia del neutrone è uniformemente distribuita fra

–  Se il nucleo è leggero l’intervallo è largo

•  Ad esempio idrogeno A = 1, si ha 0≤x≤1

•  In un urto il neutrone può perdere molta energia

–  Se il nucleo è pesante l’intervallo è stretto

•  Ad esempio uranio A = 238, si ha 0.98≤x≤1

•  In un urto il neutrone praticamente non perde energia

•  Per rallentare i neutroni occorre utilizzare nuclei leggeri

x = E₃ E₁ E_3min

E₁ = (A − 1)²

A + 1

( )²

E_3max E₁ = 1

dN dx

1 x 0

dN dx

1 x 0

x_min = 237²

239² = 0.98

Rallentamento dei neutroni

•  Ci poniamo adesso la domanda: quante collisioni sono necessarie per raggiungere una energia termica ?

–  supponiamo che il neutrone faccia una successione di urti

–  nel passo k - 1 → k lenergia varia da E_k-1 a E_k

–  Il rapporto x = E_k-1/E_k è distribuito uniformemente –  I limiti della distribuzione dipendono dal nucleo (A)

•  Possiamo scrivere

•  Conviene considerare il logaritmo di questa espressione

•  Ancora una volta notiamo che x = E_k-1/E_k ha sempre la stessa distribuzione

E_n

E₀ = E_n E_n−1

E_n−1

E_n−2……E₂ E₁

E₁

E₀ = E_i E_i−1

i=1 n

∏

ln E_n E₀

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = ln E_k E_k−1

k=1 n

⎛

∏

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ = ln E_k E_k−1

i=1 n

∑

0 k

1

2 k-1

k+1 n

A− 1

( )²

A^{+ 1}

( )²

1 x

Rallentamento dei neutroni

•  Dal momento che abbiamo molti urti e che la distribuzione di x = E_k-1/E_k è sempre la stessa possiamo scrivere

•  Utilizzando questo risultato

•  Per finire calcoliamo il valor medio del logaritmo

ln E_k E_k−1

k=1 n

∑

i

lnE_f E_i

Ÿ E_i: energia prima dell’urto

Ÿ E_f: energia dopo l’urto

= 1

x_max − x_min ln x dx

x_min x_max

∫

max − x_min^⎡x ln x^⎛_⎝^⎜

( )

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

x_min x_max

lnE_f

E_i = (A − 1)²

2A ln A + 1 A − 1

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − 1

x_max = 1

x_min = (A − 1)²

A + 1

( )²

ln E_n E₀

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = n ln E_f E_i

n =

ln E_n E₀

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ lnE_f

E_i

Moderatori

•  Le formule appena trovate permettono di confrontare i vari materiali per il loro uso come moderatori.

•  Ad esempio per “raffreddare” da 2 MeV a 0.02 eV un neutrone

–  idrogeno H: A = 1

–  deuterio ²H: A = 2

–  grafite: ¹²C: A = 12 n =

ln E_n E₀

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ lnE_f

E_i

lnE_f

E_i = (A − 1)²

2A ln A + 1 A − 1− 1

lnE_f

E_i = −1 n = −ln 0.02

2 ×10⁶

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 18

lnE_f

E_i = −0.72 n = − 1

0.72ln 0.02 2 ×10⁶

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 25

lnE_f

E_i = −0.16 n = − 1

0.16ln 0.02 2 ×10⁶

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 115