La matrice di un’applicazione lineare 27/11

La matrice di un’applicazione lineare 27/11

Riassunto

Sia f : V → W un’applicazione lineare tra spazi vettoriali con dimV = n e dim W = m. Si scelga

(v₁, . . . , v_n) una base di V , (w₁, . . . , w_m) una base di W .

Si osservi che f è determinato da f (v1), . . . , f (vn). Questo perché ogni elemento di V ha la forma x1v1 + · · · + xⁿv_n e f lo manda in x1f (v1) + · · · + xⁿf (vn). Inoltre (essendo v1, . . . , vn L I), gli elementi f (v1), . . . , f (vn) possono essere scelti in modo libero in W per definire la f .

Data f , l’elemento f (v1) è per forza una CL degli elementi della base di W . Più in generale, per ogni j, possiamo scrivere

f (v_j) = a1jw₁ + · · · + a_mjw_m = Xn i=1

a_ijw_i,

con coefficienti aij ∈ R. La matrice A = (a^ij) così definita si chiama la matrice associata a f rispetto alla scelta di basi. La colonna j di A esprime f (vj) in termini della base di W .

Data un’applicazione lineare f : Rⁿ → R^m, sia A la matrice de- finita sopra rispetto alle basi canonici di Rⁿ e R^m. Lavorando con vettori colonna, f (v) = Av (perché vero per ogni v = e^j) e possiamo pensare a A stessa come l’applicazione lineare.