CAPITOLO 7 Analisi statica non lineare

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Analisi della vulnerabilità sismica della scuola elementare di Filetto nel Comune di Villafranca in Lunigiana Capitolo 7: Analisi statica non lineare

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CAPITOLO 7

Analisi statica non lineare

Dopo aver effettuato un analisi di tipo lineare, e visti i risultati delle verifiche, si è deciso di realizzare un ulteriore approfondimento, andando a studiare il comportamento della struttura oggetto di studio anche in campo non lineare.

L’analisi non lineare in generale non fa parte della prassi metodologica per la valutazione della vulnerabilità sismica di edifici esistenti, tuttavia può fornire utili indicazioni in merito ad eventuali interventi futuri in quanto mette in luce i meccanismi di attivazione che si verificano prima.

Quindi è possibile valutare le plasticizzazioni che la struttura subisce prima di pervenire al collasso e capire quali sono gli elementi che “soffrono” di più.

7.1. Generalità sull’analisi statica non lineare

L’analisi statica non lineare consiste nell’applicare all’edificio i carichi gravitazionali ed un sistema di forze orizzontali distribuite, ad ogni livello della costruzione, proporzionalmente alle forze d’inerzia ed aventi risultante (taglio alla base) Fb. Tali forze sono scalate in modo da far crescere monotonamente, sia in direzione positiva che negativa e fino al raggiungimento delle condizioni di collasso locale o globale, lo spostamento orizzontale dc di un punto di controllo coincidente con il centro di massa dell’ultimo livello della costruzione (sono esclusi eventuali torrini). Il risultato dell’analisi consisterà in un diagramma riportante in ascissa lo spostamento orizzontale del punto di controllo, in ordinata la forza orizzontale totale applicata (taglio alla base) Fb.

Il diagramma Fb - dc rappresenta la curva di capacità della struttura.

Questo tipo di analisi può essere utilizzato soltanto se ricorrono determinate condizioni di applicabilità nel seguito precisate per le distribuzioni principali (Gruppo 1); in tal caso esso si utilizza per gli scopi e nei casi seguenti:

• valutare i rapporti di sovraresistenza74 αu/α1;

74_{§§ 7.4.3.2, 7.4.5.1, 7.5.2.2, 7.6.2.2, 7.7.3, 7.8.1.3 e 7.9.2.1 del D.M. 14 Gennaio 2008: “Norme}

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193 • verificare l’effettiva distribuzione della domanda inelastica negli edifici

progettati con il fattore di struttura q;

• come metodo di progetto per gli edifici di nuova costruzione sostitutivo dei metodi di analisi lineari;

• come metodo per la valutazione della capacità di edifici esistenti.

Si devono considerare almeno due distribuzioni di forze d’inerzia, ricadenti l’una nelle distribuzioni principali (Gruppo 1) e l’altra nelle distribuzioni secondarie (Gruppo 2) di seguito illustrate.

Gruppo 1 - Distribuzioni principali:

• distribuzione proporzionale alle forze statiche75, applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75% ed a condizione di utilizzare come seconda distribuzione la 2 a);

• distribuzione corrispondente ad una distribuzione di accelerazioni proporzionale alla forma del modo di vibrare, applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75%;

• distribuzione corrispondente alla distribuzione dei tagli di piano calcolati in un’analisi dinamica lineare, applicabile solo se il periodo fondamentale della struttura è superiore a TC.

Gruppo 2 - Distribuzioni secondarie:

a) distribuzione uniforme di forze, da intendersi come derivata da una distribuzione uniforme di accelerazioni lungo l’altezza della costruzione; b) distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamento del punto di

controllo in funzione della plasticizzazione della struttura.

Si riporta di seguito il metodo dell’analisi statica non lineare così come illustrato dalla Circolare applicativa 2 Febbraio 2009, n. 617 nel § C7.3.4.

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Analisi della vulnerabilità sismica

Questo metodo d’analisi è utilizzabile solo per costruzioni il cui comportamento sotto la componente del terremoto

naturale principale, caratterizzato da una significativa partecipazione di massa.

L’analisi richiede che al sistema strutturale reale venga associato un sistema strutturale equivalente ad un grado di libertà

Figura 7.1: La forza F* e lo spostamento corrispondenti grandezze

F* = Fb / Γ d* = dc / Γ

dove Γ è il “fattore di partecipazione modale” definito dalla relazione:

Γ =

ϕ

τ

ϕ

M M T T

Il vettore τ è il vettore di trascinamento corrispondente alla direzione del sisma considerata; il vettore

normalizzato ponendo d

Questo metodo d’analisi è utilizzabile solo per costruzioni il cui comportamento sotto la componente del terremoto considerata è governato da un modo di vibrare naturale principale, caratterizzato da una significativa partecipazione di massa.

L’analisi richiede che al sistema strutturale reale venga associato un sistema ad un grado di libertà (oscillatore semplice).

Figura 7.1: sistema e diagramma bilineare equivalente.

e lo spostamento d* del sistema equivalente sono legati alle corrispondenti grandezze Fb e dc del sistema reale dalle relazioni:

è il “fattore di partecipazione modale” definito dalla relazione:

è il vettore di trascinamento corrispondente alla direzione del sisma considerata; il vettore φ è il modo di vibrare fondamentale del sistema reale

dc = 1; la matrice M è la matrice di massa del sistema reale. el Comune di Villafranca in Lunigiana

Analisi statica non lineare

194 Questo metodo d’analisi è utilizzabile solo per costruzioni il cui comportamento considerata è governato da un modo di vibrare naturale principale, caratterizzato da una significativa partecipazione di massa. L’analisi richiede che al sistema strutturale reale venga associato un sistema

del sistema equivalente sono legati alle

(7.1) (7.2)

è il “fattore di partecipazione modale” definito dalla relazione:

(7.3)

è il vettore di trascinamento corrispondente alla direzione del sisma rare fondamentale del sistema reale = 1; la matrice M è la matrice di massa del sistema reale.

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195 Alla curva di capacità del sistema equivalente occorre ora sostituire una curva bilineare avente un primo tratto elastico ed un secondo tratto perfettamente plastico (vedi Fig. 7.1).

Detta Fbu la resistenza massima del sistema strutturale reale ed Fbu* = Fbu/Γ la resistenza massima del sistema equivalente, il tratto elastico si individua imponendone il passaggio per il punto 0,6·Fbu* della curva di capacità del sistema equivalente, la forza di plasticizzazione Fy* si individua imponendo l’uguaglianza delle aree sottese dalla curva bilineare e dalla curva di capacità per lo spostamento massimo du* corrispondente ad una riduzione di resistenza ≤ 0,15·Fbu* .

Il periodo elastico del sistema bilineare è dato dall’espressione:

T* = _* * 2 k m

π

(7.4) dove: m* = ΦTMτ

k*: è la rigidezza del tratto elastico della bilineare.

Nel caso in cui il periodo elastico della costruzione T* risulti T* ≥ TC la domanda in spostamento per il sistema anelastico è assunta uguale a quella di un sistema elastico di pari periodo (v. Fig. 7.2):

d*max = de*,max = SDe (T*) (7.5)

Nel caso in cui T* < TC la domanda in spostamento per il sistema anelastico è maggiore di quella di un sistema elastico di pari periodo (v. Fig. 7.2) e si ottiene da quest’ultima mediante l’espressione:

d*max = ,max * * * * max , * ) 1 ( 1 e C e d T T q q d ≥       ⋅ − + (7.6) dove: q* = Se(T*)·m*/Fy*

rappresenta il rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del sistema equivalente.

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Se risulta q*≤1 allora si ha

Figura 7.2: spostamento di riferimento per

Gli effetti torsionali accidentali sono considerati nel modo previsto al § 7.2.6 delle NTC.

Una volta trovata la domanda in spostamento verifica che sia d*max ≤

spostamenti per gli elementi/meccanismi duttili e delle resistenze per gli elementi/meccanismi fragili.

L’azione sismica deve essere applicata, per ciascuna direzione, in entrambi i possibili versi e si devono considerare gli effetti più sfavorevoli derivanti dalle due analisi.

1 allora si ha d*max = d*e,max .

postamento di riferimento per T ≥ TC e spostamento di riferimento per

Gli effetti torsionali accidentali sono considerati nel modo previsto al § 7.2.6 delle

Una volta trovata la domanda in spostamento d*max per lo stato limite in esame si ≤ d*u e si procede alla verifica della compatibilità degli spostamenti per gli elementi/meccanismi duttili e delle resistenze per gli elementi/meccanismi fragili.

L’azione sismica deve essere applicata, per ciascuna direzione, in entrambi i possibili devono considerare gli effetti più sfavorevoli derivanti dalle due analisi.

el Comune di Villafranca in Lunigiana Analisi statica non lineare

196 spostamento di riferimento per T < TC .

Gli effetti torsionali accidentali sono considerati nel modo previsto al § 7.2.6 delle

per lo stato limite in esame si e si procede alla verifica della compatibilità degli spostamenti per gli elementi/meccanismi duttili e delle resistenze per gli

L’azione sismica deve essere applicata, per ciascuna direzione, in entrambi i possibili devono considerare gli effetti più sfavorevoli derivanti dalle due analisi.

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197 7.2. Analisi statica non lineare per edifici esistenti in muratura

L’analisi statica non lineare (o pushover) viene utilizzata per sistemi dissipativi, come le strutture in muratura, in quanto è il metodo di calcolo più rappresentativo del loro comportamento ultimo e, quindi, della risposta sismica globale dell’edificio. Le strutture in muratura, caratterizzate da un comportamento non lineare, risultano significativamente rappresentate attraverso un’analisi statica non lineare. Pertanto, tale metodo è applicabile anche per gli edifici in muratura anche se al modo di vibrare fondamentale si associa una massa partecipante inferiore al 75% della massa totale ma comunque superiore al 60%.

I pannelli murari possono essere caratterizzati da un comportamento bilineare elastico perfettamente plastico, con resistenza equivalente al limite elastico e spostamenti al limite elastico e ultimo definiti per mezzo della risposta flessionale o a taglio76.

Gli elementi lineari in c.a. (cordoli, travi di accoppiamento) possono essere caratterizzati da un comportamento bilineare elastico perfettamente plastico, con resistenza equivalente al limite elastico e spostamenti al limite elastico e ultimo definiti per mezzo della risposta flessionale o a taglio.

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198 7.2.1. Criteri di verifica77

Le sollecitazioni indotte dall’azione sismica sugli elementi/meccanismi sia duttili che fragili, da utilizzare ai fini delle verifiche, sono quelle derivanti dall’analisi strutturale in cui si sono usati i valori medi delle proprietà dei materiali.

La verifica degli elementi “duttili” viene eseguita confrontando gli effetti indotti dalle azioni sismiche in termini di deformazioni con i rispettivi limiti di deformazione.

La verifica degli elementi “fragili” viene eseguita confrontando gli effetti indotti dalle azioni sismiche in termini di forze con le rispettive resistenze.

Per il calcolo della capacità di elementi/meccanismi duttili o fragili si impiegano le proprietà dei materiali esistenti direttamente ottenute da prove in sito e da eventuali informazioni aggiuntive, divise per i fattori di confidenza. Per i materiali nuovi o aggiunti si impiegano le proprietà nominali.

Per il calcolo della capacità di resistenza degli elementi fragili primari, le resistenze dei materiali si dividono per i corrispondenti coefficienti parziali e per i fattori di confidenza.

Nel caso di analisi pushover con ramo degradante e stati limite che si verificano su questo, si considera inoltre:

• nel caso di elementi duttili la domanda in termini di deformazione si calcola in corrispondenza di dmax per ciascuno stato limite;

• nel caso di elementi fragili la domanda in termini di taglio si può calcolare in questo modo:

a) dall’analisi pushover del sistema a più gradi di libertà si ricava il taglio massimo alla base Vbu ;

b) si individua lo spostamento dcu corrispondente a tale taglio;

c) se lo spostamento dmax relativo ad un dato Stato limite è minore di dcu, il taglio negli elementi verrà calcolato in corrispondenza di dmax ;

d) se dmax > dcu, il taglio negli elementi verrà calcolato in corrispondenza di dcu.

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Stati limite

La capacità di spostamento relativa agli stati limite di danno e ultimo verrà valutata sulla curva forza-spostamento così definita, in corrispondenza dei punti:

• stato limite di danno dello spostamento minore tra quello corrispondente al

raggiungimento della massima forza e quello per il quale lo spostamento relativo fra due piani consecutivi eccede i valori riportati al § 7.3.7.278;

• stato limite ultimo dello spostamento corrispondente ad una riduzione della

forza non superiore al 20% del massimo.

Tale metodo prevede, in ogni caso, solo una verifica globale in spostamento e non le verifiche nei singoli elementi. Le verifiche fuori piano potranno, invece, essere effettuate separatamente secondo le procedure indicate per l’analisi statica lineare. Le verifiche da effettuare nel caso di analisi push-over riguardano la capacità di spostamento del singolo pannello murario che viene confrontata con la domanda calcolata secondo le modalità riportate in normativa.

Come per le resistenze, anche la capacità di spostamento viene calcolata in maniera differente a seconda di murature nuove o esistenti.

Nella verifica allo Stato limite ultimo di salvaguardia della vita, qualora si esegua l’analisi non lineare, lo spostamento ultimo per azioni nel piano di ciascun pannello sarà assunto pari a:

• 0,4% dell'altezza del pannello, nel caso di rottura per taglio;

• 0,6% dell’altezza del pannello nel caso di rottura per pressoflessione.

I predetti limiti sono definiti al netto degli spostamenti dovuti ad un eventuale moto rigido del pannello (ad esempio conseguente alla rotazione della base), e si incrementano di un’aliquota fino al 100% nel caso di rottura per pressoflessione di pannelli che esibiscono un comportamento a mensola.

78

per costruzioni con struttura portante in muratura ordinaria dr < 0,003 h; dove dr è lo spostamento interpiano, ovvero la differenza tra gli spostamenti al solaio superiore ed inferiore, ed h è l’altezza del piano.

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200 7.3. Analisi statica non lineare della struttura

7.3.1. Modellazione e criteri di verifica

Il modello della struttura oggetto d’analisi è stato realizzato attraverso il software SismiCad versione 11.6, in grado di effettuare il calcolo agli elementi finiti della struttura anche in caso di analisi non lineare.

Figura 7.3: vista del modello tridimensionale della struttura realizzato con il software di calcolo

SismiCad versione 11.6.

I criteri di modellazione utilizzati sono analoghi a quanto illustrato per l’analisi dinamica modale nel Cap. 5 del presente lavoro di tesi, pertanto si rimanda ad una sua lettura per la definizione del modello.

Tale scelta implica la possibilità di confronto in termini di risultati tra i due modelli sviluppati con due software differenti (SAP 2000 e SismiCad).

Da un confronto dei risultati dell’analisi modale si nota come il modello realizzato con il software SismiCad presenti periodi e masse modali partecipanti leggermente inferiori rispetto al modello realizzato con SAP 2000.

Tale discordanza è probabilmente imputabile alle diverse procedure di calcolo impiegate dai solutori dei due software circa l’assemblamento della matrice delle rigidezze della struttura.

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I modi di vibrare di tipo globale della struttura sono per i due modelli, mentre ci sono alcune differenze

comunque eccitano una ridotta percentuale di massa modale partecipante non incidere significativamente sul risultato finale.

Tabella 7.1: masse modali partecipanti per ciascun modo di vibrare e relativi periodi per

modelli numerici realizzati con i software SAP 2000 e SismiCad.

Software Modo Sap 2000 SismiCad Sap 2000 SismiCad Sap 2000 SismiCad

Si è potuto quindi procedere all’analisi statica non lineare della struttura in quanto il confronto dei risultati ottenuti dai due software ha confermato l’analogia e quindi la validità del modello realizzato esclusivamente per

SismiCad.

Figura 7.4: vista dei modelli tridimensionali della struttura realizzati rispettivamente con il

software di calcolo SAP 2000 v.14 e con SismiCad versione 11.6. Viene di seguito illustrat

calcolo SismiCad per effettuare l’analisi statica non lineare dell’

I modi di vibrare di tipo globale della struttura sono comunque praticamente analoghi per i due modelli, mentre ci sono alcune differenze in merito a modi locali, ma che comunque eccitano una ridotta percentuale di massa modale partecipante

non incidere significativamente sul risultato finale.

masse modali partecipanti per ciascun modo di vibrare e relativi periodi per modelli numerici realizzati con i software SAP 2000 e SismiCad.

Modo T [s] Mx 1 0,367 3,36% 2 0,245 0,01% 2 0,345 87,76% 2 0,230 72,71% 3 0,327 1,00% 3 0,206 0,01%

Si è potuto quindi procedere all’analisi statica non lineare della struttura in quanto il confronto dei risultati ottenuti dai due software ha confermato l’analogia e quindi la validità del modello realizzato esclusivamente per effettuare la pushover con

vista dei modelli tridimensionali della struttura realizzati rispettivamente con il software di calcolo SAP 2000 v.14 e con SismiCad versione 11.6.

illustrata schematicamente la procedura effettuata dal programma di per effettuare l’analisi statica non lineare dell’edificio in esame.

201 praticamente analoghi in merito a modi locali, ma che comunque eccitano una ridotta percentuale di massa modale partecipante tanto da

masse modali partecipanti per ciascun modo di vibrare e relativi periodi per i due

My 84,77% 72,82% 3,28% 0,01% 1,48% 0,03%

Si è potuto quindi procedere all’analisi statica non lineare della struttura in quanto il confronto dei risultati ottenuti dai due software ha confermato l’analogia e quindi la effettuare la pushover con

vista dei modelli tridimensionali della struttura realizzati rispettivamente con il

dal programma di edificio in esame.

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202 L’analisi pushover viene svolta applicando i sistemi di forze ad un modello capace di gestire autonomamente le leggi costitutive non lineari dei materiali. A questo scopo viene utilizzato un solutore ad inelasticità diffusa in grado cioè di accompagnare correttamente al collasso la struttura modificando le caratteristiche meccaniche degli elementi strutturali col progredire della penetrazione nel campo inelastico.

La procedura utilizzata può essere così sintetizzata:

• l’edificio viene rappresentato con una modellazione tridimensionale ad inelasticità diffusa;

• vengono valutate le distribuzioni delle forze orizzontali da applicare con valori monotonamente crescenti;

• viene fissato il punto di cui monitorare gli spostamenti (punto di controllo) coincidente in generale con il baricentro dell’ultimo piano rigido. Se non esistono piani rigidi si assume il nodo a quota più elevata;

• per ciascuna combinazione di carico sismica e per ciascuna distribuzione di forze (proporzionali alle masse ed al primo modo) l’edificio viene portato al collasso per labilità. Si può operare in controllo di forze o in controllo di spostamenti. In controllo di forze il collasso si ottiene incrementando progressivamente le forze orizzontali in conseguenza delle quali il programma determina gli spostamenti del punto di controllo. In controllo di spostamenti si assegnano spostamenti crescenti al punto di controllo in corrispondenza dei quali il programma valuta il taglio necessario a produrli sulla base della forma di applicazione delle forze. La curva di capacità è rappresentata da un diagramma che riporta in ordinata il taglio alla base ed in ascissa lo spostamento del punto di controllo. Le curve di capacità sono quindi due per ciascuna combinazione di carico: una ottenuta con una delle due prime distribuzioni principali ed una con forze proporzionali alle masse (prima distribuzione secondaria).

Per il caso in esame sono state considerate 8 combinazioni di carico di seguito riportate.

Tali combinazioni coinvolgono l’azione sismica nelle direzioni X ed Y sia positive che negative, combinate reciprocamente con i momenti torcenti prodotti dalle eccentricità accidentali in X ed in Y.

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Tabella 7.2: combinazioni di carico per l’analisi statica non lineare della struttura.

Per ciascuna di queste combinazioni sono state calcolate due curve di capacità: una con forze proporzionali alle masse, ed una con le

vibrare della struttura (autovettori). Per gli edifici in muratura la

una verifica in spostamento e non le verifiche nei singoli elementi. La capacità per stato limite

corrispondente ad una riduzione della forza non superiore al 20%

E’ evidente che la riduzione della forza si può ottenere spostamenti. Per la verifica dello stato

spostamento di risposta sia minore dello spostamento che determina il primo superamento dello spostamento di interpiano limite.

In merito agli edifici in muratura

ipotizzano un comportamento elastico dei maschi murari, caratterizzato da valori di resistenza ultima a taglio e pressoflessione. In una analisi elastica il primo raggiungimento della resistenza ultima a taglio o pressoflessione in un maschio individua di fatto il livello di azione sismica assorbita dall’edificio.

In analisi statica non lineare il raggiungimento della resistenza ultima a taglio o pressoflessione in un maschio determina semplicemente l’ingresso del maschio in campo plastico. Il valore della

normale e momento flettente) e a deformazione sino a valori limite dello spostamento relativo tra le basi della parte deformabile del pannello il cui raggiungimento determina la perdita dello sforzo di t

sforzo normale.

Per la valutazione della resistenza a taglio della muratura calcolata attraverso il programma di calcolo si è scelto di utilizzare il criterio

combinazioni di carico per l’analisi statica non lineare della struttura.

Per ciascuna di queste combinazioni sono state calcolate due curve di capacità: una con forze proporzionali alle masse, ed una con le forze proporzionali ai modi di vibrare della struttura (autovettori).

Per gli edifici in muratura la Norma prevede in caso di analisi statica non lineare solo una verifica in spostamento e non le verifiche nei singoli elementi.

La capacità per stato limite ultimo viene valutata in funzione dello

corrispondente ad una riduzione della forza non superiore al 20% del massimo”

E’ evidente che la riduzione della forza si può ottenere solamente in controllo di spostamenti. Per la verifica dello stato limite di danno è sufficiente che lo spostamento di risposta sia minore dello spostamento che determina il primo

spostamento di interpiano limite.

In merito agli edifici in muratura i metodi di analisi elastica previsti nella

ipotizzano un comportamento elastico dei maschi murari, caratterizzato da valori di resistenza ultima a taglio e pressoflessione. In una analisi elastica il primo raggiungimento della resistenza ultima a taglio o pressoflessione in un maschio

fatto il livello di azione sismica assorbita dall’edificio.

In analisi statica non lineare il raggiungimento della resistenza ultima a taglio o pressoflessione in un maschio determina semplicemente l’ingresso del maschio in campo plastico. Il valore della sollecitazione ultima a taglio (dipendente da sforzo normale e momento flettente) e a deformazione sino a valori limite dello spostamento relativo tra le basi della parte deformabile del pannello il cui raggiungimento determina la perdita dello sforzo di taglio e/o flessione ma non dello

Per la valutazione della resistenza a taglio della muratura calcolata attraverso il programma di calcolo si è scelto di utilizzare il criterio dello scorrimento

203 combinazioni di carico per l’analisi statica non lineare della struttura.

Per ciascuna di queste combinazioni sono state calcolate due curve di capacità: una forze proporzionali ai modi di

orma prevede in caso di analisi statica non lineare solo

in funzione dello “spostamento

del massimo”.

solamente in controllo di limite di danno è sufficiente che lo spostamento di risposta sia minore dello spostamento che determina il primo

metodi di analisi elastica previsti nella Norma ipotizzano un comportamento elastico dei maschi murari, caratterizzato da valori di resistenza ultima a taglio e pressoflessione. In una analisi elastica il primo raggiungimento della resistenza ultima a taglio o pressoflessione in un maschio

In analisi statica non lineare il raggiungimento della resistenza ultima a taglio o pressoflessione in un maschio determina semplicemente l’ingresso del maschio in sollecitazione ultima a taglio (dipendente da sforzo normale e momento flettente) e a deformazione sino a valori limite dello spostamento relativo tra le basi della parte deformabile del pannello il cui aglio e/o flessione ma non dello

Per la valutazione della resistenza a taglio della muratura calcolata attraverso il dello scorrimento.

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Inoltre si è deciso di considerare in sede di inelastici solo per le murature.

Come si può osservare dalla un telaio equivalente in cui

• elementi fascia; • elementi maschi; • elementi rigidi.

Gli elementi maschio (ad asse verticale) e gli elementi fascia (ad asse orizzontale) vengono modellati come

elastico perfettamente plastico deformabili assialmente e a taglio mentre le rigide vengono modellate come aste infinitamente rigide.

Figura 7.

Inoltre si è deciso di considerare in sede di analisi la formazione di elementi inelastici solo per le murature.

Come si può osservare dalla Figura 7.5 l’edificio in muratura viene modellato come un telaio equivalente in cui si possono individuare tre tipi di elementi:

i;

Gli elementi maschio (ad asse verticale) e gli elementi fascia (ad asse orizzontale) me elementi monodimensionali a comportamento bilineare elastico perfettamente plastico deformabili assialmente e a taglio mentre le rigide vengono modellate come aste infinitamente rigide.

Figura 7.5: modello a telaio equivalente della muratura.

204 analisi la formazione di elementi

viene modellato come si possono individuare tre tipi di elementi:

Gli elementi maschio (ad asse verticale) e gli elementi fascia (ad asse orizzontale) elementi monodimensionali a comportamento bilineare elastico perfettamente plastico deformabili assialmente e a taglio mentre le zone

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Figura 7.6: modello a telaio equivalente della scuola elementare di Filetto, realizzato con il

software SismiCad 11.6 (in arancione sono indicate le aste ed in

è indicato il punto di controllo coincidente con il baricentro del piano rigido

modello a telaio equivalente della scuola elementare di Filetto, realizzato con il (in arancione sono indicate le aste ed in grigio i nodi del telaio

è indicato il punto di controllo coincidente con il baricentro del piano rigido).

205 modello a telaio equivalente della scuola elementare di Filetto, realizzato con il i nodi del telaio; in rosso

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206 7.3.2. Resistenze di progetto

Come previsto dalla Norma79 le resistenze di progetto da impiegare nel caso di analisi statica non lineare si ottengono dividendo per il solo fattore di confidenza i valori delle proprietà meccaniche dei materiali.

Pertanto le resistenze di progetto da impiegare, rispettivamente, per le verifiche a pressoflessione nel piano e fuori piano (fd), e a taglio (fvd) valgono:

FC f f_d = k (7.7) FC f f vk d v = (7.8)

Si riporta di seguito una tabella riassuntiva con i valori delle resistenze per le varie tipologie di muratura presenti per l’edificio in esame.

Tabella 7.3: resistenze di progetto per le varie tipologie di muratura presenti nell’edificio per le

verifiche in caso di analisi statica non lineare.

Muratura fk = fm [kN/m2] fd [kN/m2] fvk = fvk0 [kN/m2] fvd [kN/m2] Muratura in pietrame senza ricorsi 2500,0 2083,3 43,0 35,8 Muratura in pietrame con ricorsi 3000,0 2500,0 51,6 43,0 Muratura di mattoni pieni in laterizio 3100,0 2583,3 76,0 63,3 Muratura in blocchi di pietra squadrati 7000,0 5833,3 105,0 87,5 79_{Cap. C8.Circolare 2 febbraio 2009 n. 617.}

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7.3.3. Legami costitutivi dei

Uno degli aspetti fondamentali per condurre un’analisi statica non lineare consiste nel definire il comportamento

Per ogni materiale in gioco

costitutivo che permette di cogliere il comportamento non lineare dei vari elementi. In base a quanto stabilito dalla Norma, i legami costitutivi delle murature devono essere assunti, ai fini dell’analisi statica non lineare, del tipo

perfettamente plastico.

L’Eurocodice 680 stabilisce i seguenti limiti deformativi che definiscono il legame costitutivo bilineare elastico perfettamente plastico della muratura (diagramma progetto):

y

ε = 0,0020 u

ε

= 0,0035

Si riportano di seguito i diagrammi presenti nel nostro caso di studio.

Figura 7.7:

80_{BS EN 1996/01/01: Regole per la muratura armata e non armata.}

Legami costitutivi dei materiali

Uno degli aspetti fondamentali per condurre un’analisi statica non lineare consiste definire il comportamento non lineare dei materiali che compongono la struttura. er ogni materiale in gioco quindi deve essere definito il corrispondente

che permette di cogliere il comportamento non lineare dei vari elementi. In base a quanto stabilito dalla Norma, i legami costitutivi delle murature devono essere assunti, ai fini dell’analisi statica non lineare, del tipo bilineare elas

stabilisce i seguenti limiti deformativi che definiscono il legame costitutivo bilineare elastico perfettamente plastico della muratura (diagramma

di seguito i diagrammi σ-ε di progetto per le varie tipologie di muratura presenti nel nostro caso di studio.

legame costitutivo muratura in pietra a conci sbozzati.

BS EN 1996/01/01: Regole per la muratura armata e non armata.

207 Uno degli aspetti fondamentali per condurre un’analisi statica non lineare consiste non lineare dei materiali che compongono la struttura. corrispondente legame che permette di cogliere il comportamento non lineare dei vari elementi. In base a quanto stabilito dalla Norma, i legami costitutivi delle murature devono

bilineare elastico

stabilisce i seguenti limiti deformativi che definiscono il legame costitutivo bilineare elastico perfettamente plastico della muratura (diagramma σ-ε di

di progetto per le varie tipologie di muratura

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Figura 7.8: legame costitutivo muratura in

laterizio.

Figura 7.9: legame costitutivo muratura in

legame costitutivo muratura in pietra a conci sbozzati con ricorsi di mattoni pieni in

legame costitutivo muratura in blocchi di pietra squadrati.

208 a conci sbozzati con ricorsi di mattoni pieni in

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Figura 7.10: legame costitutivo muratura in Nella schematizzazione a telaio

utilizzato per l’analisi, la plasticizzazione riguarda diffusa) e non una singola porzione d

È stato previsto un comportamento fragile pe

legame costitutivo muratura in mattoni pieni in laterizio.

ella schematizzazione a telaio equivalente effettuata dal programma di calcolo utilizzato per l’analisi, la plasticizzazione riguarda un intero elemento (

diffusa) e non una singola porzione di un elemento (plasticità concentrata stato previsto un comportamento fragile per le varie murature.

209 mattoni pieni in laterizio.

effettuata dal programma di calcolo un intero elemento (plasticità i un elemento (plasticità concentrata).

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210 7.3.4. Risultati dell’analisi e curve di capacità della struttura

Le verifiche sono state effettuate prendendo in considerazione la combinazione più svantaggiosa per le due direzioni X e Y.

Nel caso in esame le combinazioni più svantaggiose sono risultate la numero 1 e la numero 3 (definite in Tabella 7.1) rispettivamente per la direzione X ed Y.

Le curve di capacità per le due combinazioni sono state calcolate sia nel caso di forze proporzionali al primo modo di vibrare della struttura (autovettori) che nel caso di forze proporzionali alle masse.

Le curve sono state definite attraverso 100 step di carico in “controllo di spostamento”, ovvero si è imposto come spostamento limite del punto di controllo il valore di 1,2 cm (valore vicino allo spostamento ultimo del punto di controllo situato alla quota di 175 cm in corrispondenza dell’unico piano rigido della struttura).

Così facendo sono state ottenute quattro curve di capacità che riportiamo di seguito con le rispettive verifiche.

Analisi statica non lineare

Coordinate del punto di controllo:

x = 4545,2 cm y = -35793,4 cm z = 175,0 cm Tagliante elastico in direzione X = 658152,3 daN Tagliante elastico in direzione Y = 658152,3 daN Massa totale = 1220,3 daN·cm2/s

(20)

Direzione X

Combinazione 1 (I modo

Figura 7.11: curva di capacità

stati limite (caso di: combinazione 1, direzione X, I modo).

Dalla curva di capacità ottenuta si ricavano tutte le

normativa per effettuare le verifiche di sicurezza, relative al modello strutturale ed al sistema equivalente ad un grado di libertà:

∑mi·Φi = 2569,9 (daN

Γ (coefficiente di partecipazione

T* (periodo di vibrazione dell'oscillatore bilineare equivalente K* (rigidezza dell'oscillatore bilineare)

Fy* = 1628789,629 daN

q* (SLV) = 1,001

dmax (spostamento di risposta SLV

du (capacità di spostamento SLV

Moltiplicatore delle forze

du > dmax verifica soddisfatta

Verifica in termini di capacità di spostamento maschio (SLV)

SLO 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 0,00 0,20 Vb [k N ] I modo)

curva di capacità taglio alla base-spostamento della struttura con indicazione de (caso di: combinazione 1, direzione X, I modo).

Dalla curva di capacità ottenuta si ricavano tutte le grandezze richieste dalla per effettuare le verifiche di sicurezza, relative al modello strutturale ed al

valente ad un grado di libertà:

2569,9 (daN·s2/cm)

oefficiente di partecipazione) = 0,347

vibrazione dell'oscillatore bilineare equivalente (rigidezza dell'oscillatore bilineare) = 1025644,125 daN/cm

1628789,629 daN 1,001

postamento di risposta SLV) = 0,552 cm apacità di spostamento SLV) = 1,164 cm tiplicatore delle forze (SLV) = 0,847

verifica soddisfatta

Verifica in termini di capacità di spostamento maschio (SLV)

SLV SLO SLD 0,40 0,60 0,80 1,00 dc[cm] Curva di capacità 211 della struttura con indicazione degli

grandezze richieste dalla per effettuare le verifiche di sicurezza, relative al modello strutturale ed al

vibrazione dell'oscillatore bilineare equivalente) = 0,315 s 1025644,125 daN/cm

SLC

(21)

212 H = 175 cm altezza maschio

Taglio: 0,700 cm > dmax verifica soddisfatta

(22)

Direzione X

Combinazione 1 (Masse)

Figura 7.12: curva di capacità taglio alla base

stati limite (caso di: combinazione 1, direzione X, masse).

Valori ottenuti dal programma di calcolo:

∑mi·Φi = 2569,9 (daN Γ = 0,347 T* = 0,313 s K* = 1034009,688 daN/cm Fy* = 1630413,458 daN q* (SLV) = 1,000

dmax (spostamento di risposta SLV) =

du (capacità di spostamento SLV) =

Verifica in termini di capacità di spostamento maschio (SLV) H = 175 cm altezza maschio Taglio: 0,700 cm Pressoflessione: 1,050 cm SLO 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 0,00 0,20 Vb [k N ] Combinazione 1 (Masse)

curva di capacità taglio alla base-spostamento della struttura con indicazione degli stati limite (caso di: combinazione 1, direzione X, masse).

Valori ottenuti dal programma di calcolo: 2569,9 (daN·s2/cm) 1034009,688 daN/cm 1630413,458 daN 1,000 (spostamento di risposta SLV) = 0,547 cm (capacità di spostamento SLV) = 1,176 cm oltiplicatore delle forze (SLV) = 0,850

Verifica in termini di capacità di spostamento maschio (SLV) altezza maschio

Pressoflessione: 1,050 cm > dmax verifica soddisfatta SLV SLO SLD 0,40 0,60 0,80 1,00 d_c[cm] Curva di capacità 213 spostamento della struttura con indicazione degli

verifica soddisfatta verifica soddisfatta

SLC

(23)

Direzione Y

Combinazione 3 (I modo

stati limite (caso di: combinazione 3, direzione Y, I modo).

∑mi·Φi = 2569,9 daN·s Γ = 0,347 T* = 0,322 s K* = 976263,625 daN/cm Fy* = 1211659,488 daN q* (SLV) = 1,346

Verifica in termini di capacità di H = 175 cm altezza maschio Taglio: 0,700 cm Pressoflessione: 1,050 cm SLO 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0,00 0,20 Vb [k N ]

I modo)

curva di capacità taglio alla base-spostamento della struttura con indicazione degli stati limite (caso di: combinazione 3, direzione Y, I modo).

Valori ottenuti dal programma di calcolo: = 2569,9 daN·s2/cm = 976263,625 daN/cm = 1211659,488 daN = 1,346 (spostamento di risposta SLV) = 0,614 cm (capacità di spostamento SLV) = 1,030 cm oltiplicatore delle forze (SLV) = 0,644

Pressoflessione: 1,050 cm > dmax verifica soddisfatta SLV SLO SLD 0,20 0,40 0,60 0,80 dc[cm] Curva di capacità

214 spostamento della struttura con indicazione degli

verifica soddisfatta verifica soddisfatta

SLC

(24)

Direzione Y

Combinazione 3 (Masse)

stati limite (caso di: combinazione 3, direzione Y, masse).

∑mi·Φi = 2569,9 (daN Γ = 0,347 T* = 0,320 s K* = 993521,750 daN/cm Fy* = 1260595,155 daN q* (SLV) = 1,294

Verifica in termini di capacità di spostamento maschio (SLV) H = 175 cm altezza maschio Taglio: 0,700 cm Pressoflessione: 1,050 cm SLO 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0,00 0,20 Vb [k N ] (Masse)

curva di capacità taglio alla base-spostamento della struttura con indicazione degli stati limite (caso di: combinazione 3, direzione Y, masse).

Valori ottenuti dal programma di calcolo: 2569,9 (daN·s2/cm) 993521,750 daN/cm 1260595,155 daN 1,294 (spostamento di risposta SLV) = 0,619 cm (capacità di spostamento SLV) = 1,045 cm oltiplicatore delle forze (SLV) = 0,664

0,700 cm > dmax verifica soddisfatta

Pressoflessione: 1,050 cm > dmax verifica soddisfatta SLV SLO SLD 0,20 0,40 0,60 0,80 dc[cm] Curva di capacità 215 della struttura con indicazione degli

verifica soddisfatta verifica soddisfatta

SLC

(25)

216 Si riporta di seguito una tabella riassuntiva dei risultati ottenuti.

Tabella 7.4: riepilogo dei risultati dell’analisi statica non lineare.

Comb. Carichi proporz. dmax SLV du SLV q * Verif. 1 masse 0,547 1,175 1,00 si 3 masse 0,618 1,044 1,29 si 1 I modo 0,551 1,163 1,00 si 3 I modo 0,634 1,030 1,35 si

I risultati dell’analisi mostrano che la verifica allo SLV risulta soddisfatta per la combinazione 1 sia nel caso di forze proporzionali alle masse che proporzionali al primo modo di vibrare della struttura, lo stesso vale nel caso di forze proporzionali alle masse.

Le verifiche a SLO sono state omesse in quanto non richieste dalla Norma in caso di edifici esistenti.

Un’ulteriore considerazione può essere fatta sulla capacità di spostamento della struttura ottenuta dall’analisi non lineare.

Il fatto di aver considerato la presenza di un unico piano rigido, e per lo più ad un altezza non elevata (175 cm dal livello di terra), implica che la forza sismica si concentri nel baricentro di quest’unico piano con conseguente ridotta capacità di spostamento del punto di controllo (baricentro del piano rigido).

Proprio per questo lo spostamento ultimo (del punto di controllo) nel caso di SLV risulta essere pari 1 1,164 cm in direzione X, e 1,030 cm in direzione Y.

(26)

217 Vengono di seguito analizzate in dettaglio le curve di capacità ottenute con combinazioni di forze proporzionali al primo modo di vibrare della struttura sia in direzione X che Y.

Si riportano in sostanza per gli step significativi delle curve ottenute in controllo di spostamenti, lo schema del telaio equivalente della struttura con indicazione delle plasticizzazioni delle aste che lo compongono.

Legenda delle plasticizzazioni nelle aste:

• rosso: plasticizzazione per pressoflessione nel piano; • blu: plasticizzazione per taglio;

• arancione: plasticizzazione per pressoflessione fuori piano; • ciano: plasticizzazione mista.

Direzione X

Curva di capacità

Figura 7.15: curva di capacità taglio alla base-spostamento della struttura con indicazione degli

step di carico (caso di: combinazione 1, direzione X, I modo).

Allo step 0 si ha la rottura a pressoflessione di alcune travi in muratura.

step 28 step 0 step 97 step 7 step 21 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 Vb [k N ] d_c[cm]

rottura mista rottura pressoflessione spostamento ultimo

(27)

218 Figura 7.16: telaio equivalente, indicazione delle plasticizzazioni, comb. 1 I modo - step 0. Allo step 7 si ha la rottura fuori piano di alcuni maschi in muratura; inoltre aumenta il numero di maschi soggetti a rottura per pressoflessione.

Figura 7.17: telaio equivalente, indicazione delle plasticizzazioni, comb. 1 I modo - step 7. Con lo step 21 si ha il raggiungimento della rottura a taglio del primo maschio murario (maschio centrale sulla parete N1).

Lo spostamento corrispondente a questo step è di 0,242 cm cui è associato un taglio alla base di circa 2500 daN.

(28)

219 Figura 7.18: telaio equivalente, indicazione delle plasticizzazioni, comb. 1 I modo - step 21. Allo step 28 si ha una generalizzazione delle rotture miste nei maschi in muratura in quanto ci sono elementi che si rompono sia a taglio che a pressoflessione. Tali rotture si localizzano principalmente nei maschi del secondo livello posti ad una quota di 175 cm sopra il livello del terreno.

Figura 7.19: telaio equivalente, indicazione delle plasticizzazioni, comb. 1 I modo - step 28. Arrivati allo step 97 la struttura ha esaurito tutte le sue riserve post-elastiche ed è diventata labile in corrispondenza del raggiungimento dello spostamento ultimo. Lo spostamento ultimo del punto di controllo coincidente con il baricentro dell’unico piano rigido della struttura risulta essere di 1,164 cm.

(29)

220 Figura 7.20: telaio equivalente, indicazione delle plasticizzazioni, comb. 1 I modo - step 97.

(30)

221

Direzione Y

Curva di capacità

Figura 7.21: curva di capacità taglio alla base-spostamento della struttura con indicazione degli

step di carico significativi (caso di: combinazione 3, direzione Y, I modo).

Allo step 0 si ha già una crisi per pressoflessione in alcune travi in muratura.

Figura 7.22: telaio equivalente, indicazione delle plasticizzazioni, comb. 3 I modo - step 0. Allo step 15 si nota la prima plasticizzazione a pressoflessione fuori piano per il maschio situato in corrispondenza del timpano della copertura a due falde sul lato ovest della struttura.

step 0 step 15 step 26 step 33 step 86 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 Vb [k N ] dc[cm]

rottura pressoflessione travi rottura fuori piano maschio rottura taglio maschio

(31)

222 Figura 7.23: telaio equivalente, indicazione delle plasticizzazioni, comb. 3 I modo - step 15. Allo step 26 si raggiunge la prima rottura a taglio per i maschi in muratura.

Tale rottura si raggiunge in corrispondenza di uno spostamento di 0,303 cm a cui è associato un taglio alla base di circa 3000 daN.

Figura 7.24: telaio equivalente, indicazione delle plasticizzazioni, comb. 3 I modo - step 26. Allo step 33 si hanno le prime rotture miste in quanto ci sono elementi che si rompono sia a taglio che a pressoflessione.

(32)

223 Figura 7.25: telaio equivalente, indicazione delle plasticizzazioni, comb. 3 I modo - step 33. Arrivati allo step 86 la struttura ha esaurito tutte le sue riserve post-elastiche ed è diventata labile in corrispondenza del raggiungimento dello spostamento ultimo. Lo spostamento ultimo del punto di controllo coincidente con il baricentro dell’unico piano rigido della struttura risulta essere di 1,030 cm.

(33)

7.3.5. Valutazione del fattore

Il fattore di struttura q prende in considerazione in maniera approssimata gli effetti di numerosi fattori che concorrono alla determinazione dei cicli di deformazione anelastica e della capacità dissipativa della str

del rapporto tra le azioni sismiche che la struttura subirebbe se la sua risposta fosse completamente elastica

progettazione utilizzando un classico modello e dinamica modale).

Il fattore di struttura è ricavato dal prodotto di due fattori, così come definito anche in normativa:

q = q*·OSR

Figura 7.27:

Il parametro q* è definito come:

q* = y el F F _,_max

Valutazione del fattore di struttura q

prende in considerazione in maniera approssimata gli effetti di numerosi fattori che concorrono alla determinazione dei cicli di deformazione anelastica e della capacità dissipativa della struttura; in breve è un’approssimazione tra le azioni sismiche che la struttura subirebbe se la sua risposta fosse elastica (Fel,max) e l’azione minima che può essere utilizzata nella progettazione utilizzando un classico modello elastico lineare (Fel, usato nell’analisi

Il fattore di struttura è ricavato dal prodotto di due fattori, così come definito anche

: parametri per la definizione del fattore di struttura è definito come:

224 prende in considerazione in maniera approssimata gli effetti di numerosi fattori che concorrono alla determinazione dei cicli di deformazione uttura; in breve è un’approssimazione tra le azioni sismiche che la struttura subirebbe se la sua risposta fosse che può essere utilizzata nella , usato nell’analisi

Il fattore di struttura è ricavato dal prodotto di due fattori, così come definito anche

(7.9)

arametri per la definizione del fattore di struttura q.

(34)

225 Il valore di Fy è la forza di snervamento della curva bi-lineare corrispondente alla curva di capacità del sistema ed in genere corrisponde al 90 ÷ 95% del taglio massimo.

Il parametro OSR invece rappresenta la sovra resistenza (over strengtly) del sistema che dalle NTC viene definita come αu/α1 ed in riferimento dalla figura 7.5 può essere definita come: OSR = el y F F (7.11)

Per una struttura in muratura Fy corrisponde al taglio alla base relativo al conseguimento della capacità di forza massima nel primo maschio murario.

Quindi si ottiene: OSR·q* = el y F F · y el F F _,_max = el el F F _,_max = q (7.12)

OSR dipende in maniera fondamentale da alcuni fattori tipici della modellazione tra cui le principali sono la configurazione strutturale, la ridondanza, la distribuzione delle forze sismiche in pianta ed in alzato, la rigidezza dei solai, le resistenze.

La definizione di q* è invece legata alla duttilità del sistema è può essere calcolata una volta definita la curva bilineare relativa al sistema ad un grado di libertà attraverso le seguenti equazioni:

q* = (µs -1)· 1 * + C T T per T* < TC (7.13) q* = µs per T* ≥ TC (7.14)

Dove µs è la duttilità ultima della bilineare:

µs = y d u d * * (7.15)

Lo spostamento ultimo viene preso in corrispondenza di un taglio alla base pari all’85% del taglio massimo mentre lo spostamento al limite elastico corrisponde al termine del ramo elastico della curva bilineare.

(35)

226 Un’ulteriore formulazione permette di definire q* in maniera indipendente dallo spettro di risposta utilizzato e si basa sul principio di conservazione dell’energia tra le risposte elastica lineare e non lineare della struttura:

q* = 2

µ

s −1 (7.16)

In merito al caso di studio analizzato si riportano di seguito i risultati ottenuti.

Direzione X

Figura 7.28: valutazione del fattore di struttura q (direzione X).

Fy = 5651,89 kN Fel = 2481,23 kN OSR = el y F F = 2,28 d*u = 1,164 cm d*y = 0,551 cm µs = y d u d * * = 2,11 V_max 0,6 V_max F_y d* y d * u F_el OSR

μ

_s 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 Vb [k N ] dc[cm]

(36)

227 Nell’ipotesi più cautelativa q* vale :

q* = 2

µ

_s −1 = 2⋅2,11−1= 1,79

da cui si ha:

(37)

228

Direzione Y

Figura 7.29: valutazione del fattore di struttura q (direzione Y).

Fy = 4185,84 kN Fel = 1708,56 kN OSR = el y F F = 2,45 d*u = 1,030 cm d*y = 0,436 cm µs = y d u d * * = 2,43

Nell’ipotesi più cautelativa q* vale :

q* = 2

µ

_s −1 = 2⋅2,43−1= 1,96 da cui si ha: q = q*·OSR = 1,96·2,45 = 4,81 F_y 0,6 V_max d* y d*u V_max F_el OSR

μ

_s 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 Vb [k N ] d_c[cm]

(38)

229 I valori ottenuti per le due direzioni sono molto simili e di un ordine di grandezza plausibile; inoltre sono in linea con il range indicato in normativa (per edifici in muratura di nuova costruzione), che permette in sede preliminare, per le costruzioni in muratura ordinaria, di scegliere valori di q compresi tra un minimo di 2 ed un massimo di 5, con un valore massimo di αu / α1 pari a 2,5.

(39)

230 7.4. Confronto tra analisi lineare e non lineare della struttura

L’analisi dinamica modale con spettro di risposta ha permesso di individuare i punti di criticità della struttura.

Da quest’analisi è emerso che le verifiche più critiche per i maschi murari sono quelle a taglio. La situazione migliora leggermente nel caso di verifica a pressoflessione anche se ancora numerosi elementi risultano non verificati.

L’analisi statica non lineare ha permesso di spingere in campo plastico la struttura, e di seguire l’evolvere della plasticizzazione negli elementi che la compongono.

Da quest’analisi si evince che la struttura possiede delle discrete risorse post-elastiche a cui attinge prima di pervenire al collasso, infatti come mostrato dalle curve di capacità riportate in precedenza, è necessaria la plasticizzazione di diversi elementi prima di mandare in crisi l’intera struttura.

Le curve di capacità ottenute risultano differenti per le due direzioni principali stante la non regolarità in pianta della struttura. Dalle curve possiamo notare che la maggior capacità in termini di spostamento si ha per azioni orizzontali che sollecitano la struttura lungo la direzione X.

Il fattore di struttura nelle analisi lineari è stato assunto pari a 2,25 come prescritto dalla Norma in assenza analisi più specifiche.

Il valore del fattore di struttura ottenuto con l’analisi non lineare risulta essere almeno pari a 4.

Un tale valore permetterebbe di effettuare verifiche molto meno gravose in quanto l’azione sismica risulterebbe abbattuta di circa il 50% rispetto a quanto previsto per le analisi lineari precedentemente effettuate.

Questo risultato pare molto plausibile, in particolar modo per strutture come quella oggetto d’analisi, che dispongono di notevoli risorse in campo plastico prima di raggiungere il collasso.

Ad ogni modo è necessario sottolineare come i risultati ottenuti, in particolar modo in merito alla valutazione del fattore di struttura, abbiamo una valenza relativa in quanto l’assunzione di assimilare una struttura non regolare in pianta ed in altezza, come quella oggetto di studio ad un oscillatore semplice, comporta una serie di approssimazioni più accentuate rispetto a strutture più regolari dato che la non

(40)

231 regolarità gioca un ruolo fondamentale sulle forme modali e sulla quantità di massa modale partecipante associata a ciascun modo.

È da ritenere comunque valida l’ipotesi di schematizzazione della struttura ad oscillatore semplice per il caso in esame in quanto i risultati dell’analisi modale mostrano come i modi principali di vibrare siano di tipo traslazionale nelle due direzioni X ed Y e che le masse modali per le due direzioni siano decisamente superiori al 60%.